第4讲二次函数的应用教师版.docx

第4讲二次函数的应用教师版.docx

《第4讲二次函数的应用教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4讲二次函数的应用教师版.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第4讲二次函数的应用教师版

第4讲　二次函数的应用

一．根据实际问题列二次函数关系式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．

①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．

②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．

二．二次函数的应用

1．利用二次函数解决利润问题：

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

2．几何图形中的最值问题：

几何图形中的二次函数问题常见的有：

几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．

3．构建二次函数模型解决实际问题：

利用二次函数解决抛物线形的隧道．大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

注：

二次函数的取值范围：

一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．

考点一、二次函数的应用

【例1】（☆☆）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：

当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

（1）请直接写出y与x的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？

最大利润是多少？

【解答】解：

（1）设y=kx+b，

把（22，36）与（24，32）代入得：

，

解得：

，

则y=-2x+80；

（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，

根据题意得：

（x-20）y=150，

则（x-20）（-2x+80）=150，

整理得：

x2-60x+875=0，

（x-25）（x-35）=0，

解得：

x1=25，x2=35，

∵20≤x≤28，

∴x=35（不合题意舍去），

答：

每本纪念册的销售单价是25元；

（3）由题意可得：

w=（x-20）（-2x+80）

=-2x2+120x-1600

=-2（x-30）2+200，

此时当x=30时，w最大，

又∵售价不低于20元且不高于28元，

∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=-2（28-30）2+200=192（元），

答：

该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．

【例2】（☆☆）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

【解答】解：

（1）当50≤x≤80时，y=210-（x-50），即y=260-x，

当80＜x＜140时，y=210-（80-50）-3（x-80），即y=420-3x．

则

，

（2）由利润=（售价-成本）×销售量可以列出函数关系式

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80）

w=-3x2+540x-16800（80＜x＜140），

（3）当50≤x≤80时，w=-x2+300x-10400，

当x=80有最大值，最大值为7200，

当80＜x＜140时，w=-3x2+540x-16800，

当x=90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90元．利润最大为7500元．

【例3】（☆☆☆）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：

y=﹣10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

【解答】解：

（1）当x=20时，y=-10x+500=-10×20+500=300，

300×（12-10）=300×2=600元，

即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）由题意得，w=（x-10）（-10x+500）

=-10x2+600x-5000

=-10（x-30）2+4000

∵a=-10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．

（3）由题意得：

-10x2+600x-5000=3000，

解得：

x1=20，x2=40．

∵a=-10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：

当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．

又∵x≤25，

∴当20≤x≤25时，w≥3000．

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p=（12-10）×（-10x+500）

=-20x+1000．

∵k=-20＜0．

∴p随x的增大而减小，

∴当x=25时，p有最小值500元．

即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．

举一反三

1．（☆☆☆）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．

（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．

（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？

（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：

①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人．问：

这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？

【解答】解：

（1）根据题意，得：

y=50-x，（0≤x≤50，且x为整数）；

（2）W=（120+10x-20）（50-x）

=-10x2+400x+5000

=-10（x-20）2+9000，

∵a=-10＜0

∴当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元，

答：

当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；

（3）由

解得20≤x≤40

∵房间数y=50-x，

又∵-1＜0，

∴当x=40时，y的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少，

最少人数为2y=2（-x+50）=20（人）．

2．（☆☆）今年以来，国务院连续发布了《关于加快构建大众创业万众创新支撑平台的指导意见》等一系列支持性政策，各地政府高度重视．积极响应，中国掀起了大众创业万众创新的新浪潮．某创新公司生产营销A．B两种新产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：

销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx，当x=1时，y=7；当x=2时，y=12．

信息2：

销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=2x．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求a，b的值；

（2）该公司准备生产营销A．B两种产品共10吨，请设计一个生产方案，使销售A．B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

【解答】解：

（1）将x=1，y=7；x=2，y=12代入y=ax2+bx得：

，

解得：

．

答：

a=-1，b=8；

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，

则W=-m2+8m+2（10-m）=-m2+6m+20=-（m-3）2+29，

∵-1＜0，

∴当m=3时，W有最大值29万，

∴购进A产品3吨，购进B产品7吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是29万元．

3.（☆☆）某政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元．销售过程中发现，月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：

y=-10x+n．

（1）当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，则n=______；

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

并求最大利润为多少元．

【解答】解：

（1）∵y=-10x+n，当销售单价x定为25元时，李明每月获得利润为w为1250元，

∴则W=（25-20）×（-10×25+n）=1250，

解得：

n=500；

故答案为：

500．

（2）由题意，得：

w=（x-20）•y，

=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000，

令：

-10x2+700x-10000=2000，

解这个方程得：

x1=30，x2=40（舍）．

答：

李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．

（3）由

（2）知：

w=-10x2+700x-10000，∴x＝−

＝35．

∵-10＜0，∴抛物线开口向下．

∵x≤32∴w随x的增大而增大．

∴当x=32时，w最大=2160．

答：

销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润为2160元．

【例4】（☆☆☆）屈原食品公司接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只5元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小明第x天生产的粽子数量为n只，n与x满足如下关系式：

．

（1）小明第几天生产的粽子数量为390只？

（2）设第x天每只粽子的成本是y元，y与x之间的关系的函数图象如图所示．若小明第x天的净利润为w元，试求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的净利润最大？

最大值是多少元？

（提示：

净利润=出厂价﹣成本）

【解答】解：

（1）∵45×5=225＜390，

∴30x+90=390，

解得：

x=10，

答：

小明第10天生产的粽子数量为390只；

（2）由图象可知，当0≤x≤9时，y=3.4；

当9＜x≤15时，设y=kx+b，

将（9，3.4）、（15，4）代入，得：

，

解得：

，

∴y=0.1x+2.5；

①当0≤x≤5时，w=（5-3.4）×45x=72x，

∵w随x的增大而增大，

∴当x=5时，w取得最大值，w最大=360元；

②当5＜x≤9时，w=（5-3.4）（30x+90）=48x+144，

∵w随x的增大而增大，

∴当x=9时，w取得最大值，w最大=576元；

③当9＜x≤15时，w=[5-（0.1x+2.5）]（30x+90）

=-3x2+66x+225

=-3（x-11）2+588，

∴当x=11时，w取得最大值，w最大=588元；

综上，当x=11时，w取得最大值，w最大=588元，

答：

第11天的净利润最大，最大值是588元．

举一反三

1.（☆☆）润土企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：

y=

．

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？

（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？

【解答】解：

（1）根据题意，得：

∵若7.5x=70，得：

x=

＞4，不符合题意；

∴5x+10=70，

解得：

x=12，

答：

工人甲第12天生产的产品数量为70件；

（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，

当4＜x≤14时，设P=kx+b，

将（4，40）、（14，50）代入，得：

，

解得：

，

∴P=x+36；

①当0≤x≤4时，W=（60-40）•7.5x=150x，

∵W随x的增大而增大，

∴当x=4时，W最大=600元；

②当4＜x≤14时，W=（60-x-36）（5x+10）=-5x2+110x+240=-5（x-11）2+845，

∴当x=11时，W最大=845，

∵845＞600，

∴当x=11时，W取得最大值，845元，

答：

第11天时，利润最大，最大利润是845元．

2．（☆☆）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王宏按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：

y=﹣10x+400．

（1）王宏在开始创业的第一个月将销售单价定为18元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设王宏获得的利润为W（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）若物价部门规定，这种节能灯销售单价不得高于24元．如果王宏想要每月获得的利润不低于2000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

【解答】解：

（1）当x=18时，y=-10x+400=-10×18+400=220，

220×（12-10）=220×2=440元．

即政府这个月为他承担的总差价为440元．

（2）依题意得，w=（x-10）（-10x+400）

=-10x2+500x-4000

=-10（x-25）2+2250

∵a=-10＜0，

∴当x=25时，w有最大值2250元．

即当销售单价定为25元时，每月可获得最大利润2250元．

（3）由题意得：

-10x2+500x-4000=2000，

解得：

x1=20，x2=30．

∵a=-10＜0，抛物线开口向下，

当20≤x≤30时，2250≥w≥2000．

又∵x≤24，

∴当20≤x≤24时，w≥2000．

∴当x=24时，政府每个月为他承担的总差价最小，y=-24×10+400=160，

160×2=320，

∴政府每个月为他承担的总差价最小值320元．

即销售单价定为24元时，政府每个月为他承担的总差价最少为320元．

【例5】（☆）（2018•江干区一模）2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛季后赛正如火如荼的进行．在浙江广厦队与深圳马可波罗对的一场比赛中，广厦队员福特森在距篮下4米处跳起投篮，篮球准确落入篮圈．已知篮球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，篮圈中心到地面的距离为3.05m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数表达式；

（2）已知福特森身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少？

【解答】解：

（1）根据题意知抛物线的顶点坐标为（0，3.5），且过点（1.5，3.05），

设抛物线解析式为y=ax2+3.5，

将（1.5，3.05）代入，得：

a=-0.2，

则抛物线解析式为y=-0.2x2+3.5；

（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，

∵y=-0.2x2+3.5，

而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，

∴h+2.05=-0.2×（-2.5）2+3.5，

∴h=0.2．

答：

球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．

举一反三

1．（☆）如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；

（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：

球出手时，他跳离地面的高度是多少？

【解答】解：

（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，

∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），

∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5．

由图知图象过以下点：

（1.5，3.05）．

∴2.25a+3.5=3.05，

解得：

a=-0.2，

∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5．

（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，

∵y=-0.2x2+3.5，

而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，

∴h+2.05=-0.2×（-2.5）2+3.5，

∴h=0.2．

答：

球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．

【例6】（☆☆）有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥；

（3）若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．

【解答】解：

（1）y=-

x2（-9≤x≤9）

（2）∵CD=9

∴点E的横坐标为

，则点E的纵坐标为−

×（

）2＝−2

∴点E的坐标为（

，−2），

因此要使货船能通过拱桥，则货船最大高度不能超过8-2=6（米）

【例7】（☆☆）如图，把一张长15cm，宽12cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的小正方形的边长为xcm．

（1）请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积；

（2）当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130cm2？

（3）试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？

若有，试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，试说明理由．

【解答】解：

（1）（15-2x）（12-2x）cm2；

（2）依题意得：

（15-2x）（12-2x）=130，即2x2-27x+25=0，

解得x1=1，x2＝

（不合题意，舍去），

∴当剪去的小正方形的边长为1cm时，其底面积是130cm2；

（3）设长方体盒子的侧面积是S，则S=2[（15-2x）x+（12-2x）x]，即S=54x-8x2，

S=-8（x-

）2+

，（0＜x＜6），

当x=

时，S最大值＝

，

即当剪去的小正方形的边长为

cm时，长方体盒子的侧面积有最大值

cm2．

【例8】（☆☆）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．

已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，求饲养室占地的最大面积是多少？

【解答】解：

设垂直于墙的边长为xm．

由题意可得面积S=x（27+3-3x）

=x（30-3x）

=-3x2+30x

∴-

=-

=5，

当x=5时，S最大=5（30-3×5）=75

答：

饲养室占地的最大面积是75m2．

举一反三

1.（☆☆）某农场拟建三件矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长≤20m），中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料

可建围墙的总长为60m，设饲养室宽为x（m），总占地面积为y（m2）（如图所示）．

（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗？

请说明理由．

【解答】解：

（1）设饲养室宽为x（m），则长为（60-4x）m，

∴y=x（60-4x）=-4x2+60x，

∵0＜60-4x≤20，

∴10≤x＜15；

（2）不能，理由如下：

当y=210时，-4x2+60x=210，

解得：

x=

或x=

，

∵x=

＜10，且x=

＜10，

∴不能．

2.（☆☆）如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．设剪去的正方形的边长为xcm．

（1）要使折成长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）设折成长方体盒子的侧面积为y（cm2），求y关于x的函数关系式，并确定折成长方体盒子的侧面积是否有最大值？

如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

【解答】解：

（1）设正方形的边长为xcm．

则（10-2x）（8-2x）=48，

即x2-9x+8=0，

解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．

答：

剪去的正方形的边长为1cm．

（2）正方形的边长为xcm，设盒子的侧面积为ycm2，

则y与x的函数关系式为：

y=2（10-2x）x+2（8-2x）x，

即y=-8x2+36x．（0＜x＜4）

改写为y=-8（x-

）2+

，

∴当x=2.25时，y最大=40.5．

即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．

1．（☆）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（　B　）

A．y=10x2﹣100x﹣160B．y=﹣10x2+200x﹣360

C．y=x2﹣20x+36D．y=﹣10x2+310x﹣2340

2．（☆）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（　C　）

A．y=36（1﹣x）B．y=36（1+x）C．y=18（1﹣x）2D．y=18（1+x2）　

3．（☆）已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为xm，圆柱的侧面积为ym2，则y与x的函数关系式为（　C）

A．y=﹣2πx2+18πxB．y=2πx2﹣18πxC．y=﹣2πx2+36πxD．y=2πx2﹣36πx　

4．（☆）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　C　）

A．y=

B．y=﹣

C．y=﹣