高三数学理科几何证明总复习教学案.docx

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第十六　几何证明选讲

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考试要求重难点击命题展望

　　1了解平行线截割定理

2会证明并应用直角三角形射影定理

3会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明

4会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明

了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）

6了解下面的定理

定理：

在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β（π与l平行，记β＝0），则：

①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线

7会利用丹迪林（Dandelin）双球（如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F，E）证明上述定理①的情形：

当β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆

（图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点，线段B与平面π相交于点A）

8会证明以下结果：

①在7中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行记这个圆所在的平面为π′

②如果平面π与平面π′的交线为，在6①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线的距离比是小于1的常数e（称点F为这个椭圆的焦点，直线为椭圆的准线，常数e为离心率）

9了解定理6③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果　　本重点：

相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中

本难点：

对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握

　　本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力

第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力第三讲内容是新增内容，在新程高考下，要求很低，只作了解

知识网络

161　相似三角形的判定及有关性质

典例精析

题型一　相似三角形的判定与性质

【例1】如图，已知在△AB中，D是B边的中点，且AD＝A，DE⊥B，DE与AB相交于点E，E与AD相交于点F

（1）求证：

△AB∽△FD；

（2）若S△FD＝，B＝10，求DE的长

【解析】

（1）因为DE⊥B，D是B的中点，所以EB＝E，所以∠B＝∠1

又因为AD＝A，所以∠2＝∠AB所以△AB∽△FD

（2）过点A作A⊥B，垂足为点因为△AB∽△FD，B＝2D，所以S△ABS△FD＝（BD）2＝4，又因为S△FD＝，所以S△AB＝20因为S△AB＝12B•A，B＝10，所以20＝12×10×A，所以A＝4又因为DE∥A，所以DEA＝BDB，因为D＝12D＝2，B＝BD＋D，BD＝12B＝，所以DE4＝＋2，所以DE＝83

【变式训练1】如右图，在△AB中，AB＝14，ADBD＝9，DE∥B，D⊥AB，D＝12求△ADE的面积和周长

【解析】由AB＝14，D＝12，D⊥AB，得S△AB＝842

再由DE∥B可得△AB∽△ADE由S△ADES△AB＝（ADAB）2可求得S△ADE＝772利用勾股定理求出B，A，再由相似三角形性质可得△ADE的周长为1

题型二　探求几何结论

【例2】如图，在梯形ABD中，点E，F分别在AB，D上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动

（1）若AEEB＝12，求证：

3EF＝B＋2AD；

（2）若AEEB＝23，试判断EF与B，AD之间的关系，并说明理由；

（3）请你探究一般结论，即若AEEB＝n，那么你可以得到什么结论？

【解析】过点A作AH∥D分别交EF，B于点G、H

（1）因为AEEB＝12，所以AEAB＝13，

又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB＝13，即3EG＝BH，

又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝13（B－H）＋AD，

所以EF＝13B＋23AD，即3EF＝B＋2AD

（2）EF与B，AD的关系式为EF＝2B＋3AD，理由和

（1）类似

（3）因为AEEB＝n，所以AEAB＝＋n，

又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB，即EG＝＋nBH

EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝＋n（B－AD）＋AD，

所以EF＝＋nB＋n＋nAD，

即（＋n）EF＝B＋nAD

【点拨】在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪

【变式训练2】如右图，正方形ABD的边长为1，P是D边上中点，点Q在线段B上，设BQ＝，是否存在这样的实数，使得以Q，，P为顶点的三角形与△ADP相似？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

【解析】设存在满足条的实数，

则在正方形ABD中，∠D＝∠＝90°，

由Rt△ADP∽Rt△QP或Rt△ADP∽Rt△PQ得ADQ＝DPP或ADP＝DPQ，

由此解得Q＝1或Q＝14

从而＝0或＝34

题型三　解决线的位置或数量关系

【例3】（2009江苏）如图，在四边形ABD中，△AB△BAD，求证：

AB∥D

【证明】由△AB≌△BAD得∠AB＝∠BDA，所以A、B、、D四点共圆，

所以∠AB＝∠DB

再由△AB≌△BAD得∠AB＝∠DBA，

所以∠DBA＝∠DB，即AB∥D

【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点，AB∥A1B1且AB＝12A1B1，△AB的外接圆的直径为1，则△A1B1的外接圆的直径为　　　

【解析】因为AB∥A1B1且AB＝12A1B1，所以△AB∽△A1B1

因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比

所以△A1B1的外接圆直径为2

总结提高

1相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导相似三角形的证法有：

定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法

相似三角形的性质主要有对应线的比值相等（边长、高线、中线、周长、内切圆半径等），对应角相等，面积的比等于相似比的平方

2“平行出相似”“平行成比例”，故此中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线

162　直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质

典例精析

题型一　切线的判定和性质的运用

【例1】如图，AB是⊙的直径，A是弦，∠BA的平分线AD交⊙于点D，DE⊥A，交A的延长线于点E，E交AD于点F

（1）求证：

DE是⊙的切线；

（2）若AAB＝2，求AFDF的值

【解析】

（1）证明：

连接D，可得∠DA＝∠AD＝∠DA，

所以D∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥D，

又D为半径，所以DE是⊙的切线

（2）过D作DH⊥AB于H，则有∠DH＝∠AB，

HD＝s∠DH＝s∠AB＝AAB＝2，

设D＝x，则AB＝10x，H＝2x，所以AH＝7x

由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，

又由△AEF∽△DF可得AF∶DF＝AE∶D＝7，

所以AFDF＝7

【变式训练1】已知在直角三角形AB中，∠AB＝90°，以B为直径的⊙交AB于点D，连接D并延长交A的延长线于点E，⊙的切线DF交A于点F

（1）求证：

AF＝F；

（2）若ED＝4，sin∠E＝3，求E的长

【解析】

（1）方法一：

设线段FD延长线上一点G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BD＝π2，所以∠ADF＋∠BD＝π2，又因为在⊙中D＝B，∠BD＝∠BD，所以∠ADF＋∠BD＝π2

在Rt△AB中，∠A＋∠BA＝π2，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD

又在Rt△AB中，直角边B为⊙的直径，所以A为⊙的切线，

又FD为⊙的切线，所以FD＝F

所以AF＝F

方法二：

在直角三角形AB中，直角边B为⊙的直径，所以A为⊙的切线，

又FD为⊙的切线，所以FD＝F，且∠FD＝∠FD

又由B为⊙的直径可知，∠ADF＋∠FD＝π2，∠A＋∠FD＝π2，

所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF

所以AF＝F

（2）因为在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝3，所以s∠E＝4，所以FE＝

又FD＝3＝F，所以E＝2

题型二　圆中有关定理的综合应用

【例2】如图所示，已知⊙1与⊙2相交于A、B两点，过点A作⊙1的切线交⊙2于点，过点B作两圆的割线，分别交⊙1、⊙2于点D、E，DE与A相交于点P

（1）求证：

AD∥E；

（2）若AD是⊙2的切线，且PA＝6，P＝2，BD＝9，求AD的长

【解析】

（1）连接AB，因为A是⊙1的切线，所以∠BA＝∠D，

又因为∠BA＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥E

（2）方法一：

因为PA是⊙1的切线，PD是⊙1的割线，

所以PA2＝PB•PD，所以62＝PB•（PB＋9），所以PB＝3

在⊙2中，由相交弦定理得PA•P＝BP•PE，所以PE＝4

因为AD是⊙2的切线，DE是⊙2的割线，

所以AD2＝DB•DE＝9×16，所以AD＝12

方法二：

设BP＝x，PE＝

因为PA＝6，P＝2，所以由相交弦定理得PA•P＝BP•PE，即x＝12①

因为AD∥E，所以DPPE＝APP，所以9＋x＝62②

由①②可得或（舍去），所以DE＝9＋x＋＝16

因为AD是⊙2的切线，DE是⊙2的割线，所以AD2＝DB•DE＝9×16，所以AD＝12

【变式训练2】如图，⊙的直径AB的延长线与弦D的延长线相交于点P，E为⊙上一点，，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4

（1）求PF的长度；

（2）若圆F与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度

【解析】

（1）连接，D，E，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条可得∠DE＝∠A

又∠DE＝∠P＋∠PFD，∠A＝∠P＋∠P，

从而∠PFD＝∠P，故△PFD∽△P，所以PFP＝PDP

由割线定理知P•PD＝PA•PB＝12，故PF＝＝124＝3

（2）若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，

因为F＝2－r＝1，即r＝1，

所以B是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，

则PT2＝PB•P＝2×4＝8，即PT＝22

题型三　四点共圆问题

【例3】如图，圆与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆上，圆的弦B切圆P于点B，P及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥E，交B的延长线于点F

（1）求证：

B、P、E、F四点共圆；

（2）若D＝2，B＝22，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径

【解析】

（1）证明：

连接PB因为B切圆P于点B，所以PB⊥B

又因为EF⊥E，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，

所以B，P，E，F四点共圆

（2）因为B，P，E，F四点共圆，且EF⊥E，PB⊥B，所以此圆的直径就是PF

因为B切圆P于点B，且D＝2，B＝22，

所以由切割线定理B2＝D•E，得E＝4，DE＝2，BP＝1

又因为Rt△BP∽Rt△EF，所以EF∶PB＝E∶B，得EF＝2

在Rt△FEP中，PF＝PE2＋EF2＝3，

即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为3

【变式训练3】如图，△AB是直角三角形，∠AB＝90°以AB为直径的圆交A于点E，点D是B边的中点连接D交圆于点求证：

（1），B，D，E四点共圆；

（2）2DE2＝D•A＋D•AB

【证明】

（1）连接BE，则BE⊥E

又D是B的中点，所以DE＝BD

又E＝B，D＝D，所以△DE≌△DB，

所以∠BD＝∠ED＝90°，所以D，E，，B四点共圆

（2）延长D交圆于点H

因为DE2＝D•DH＝D•（D＋H）＝D•D＋D•H＝D•（12A）＋D•（12AB），

所以2DE2＝D•A＋D•AB

总结提高

1直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系

本在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据

2圆中的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解