第4章 锐角三角函数副本.docx

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第4章锐角三角函数副本

第4章锐角三角函数

4.1正弦和余弦

第1课时正弦的概念和正弦值的求法

【知识与技能】

1.使学生理解锐角正弦的定义.

2.会求直三角形中锐角的正弦值.

3.会用计算器计算任意一个锐角的正弦值.

【过程与方法】

使学生经历探索正弦定义的过程.逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力.

【情感态度】通过探索、发现,培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

【教学重点】根据定义求锐角的正弦值.

【教学难点】

探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程.

一、情景导入，初步认知

1.下图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法求出旗杆的高度吗？

2.学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”.

二、思考探究，获取新知

1.画一个直角三角形，其中一个锐角为65°,量出65°角的对边长度和斜边长度，计算：

65°角的对边/斜边=_______=_______.

（1）与同桌和邻桌的同学交流，看看你们计算出的比值是否相等.

（2）根据计算的结果，你能得到什么结论？

（3）这个结论是正确的吗？

（4）若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？

2.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α、∠C=∠F=90°,则BC/AB=EF/DE成立吗？

请说出你的证明过程.

通过我们的证明，这就说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

3.计算sin30°、sin45°、sin60°的值.

4.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们应该如何来计算呢？

5.利用计算器计算sin50°的值.

在计算器上依次按键sin50，则屏幕上显示的就是sin50°的值，

6.如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.

例如：

已知sinα=0.7071，求α的度数.我们可以依次按键2ndFsin0.7071，则屏幕上显示的就是α的度数.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P110例1、P113例2.

2.在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于（）

A.6B.2C.3D．26【答案】A

3.计算sin36°=_____.（保留四个有效数字）．【答案】0.5878

4.若sinA=0.1234sinB=0.2135,则A_____B（填＜、＞、＝）

解析：

根据sin30°=1/2,sin45°=

/2,sin60°=

/2，我们可以发现锐角的度数越大，正弦值越大.【答案】＜

5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

（1）求∠A的正弦sinA.

（2）求∠B的正弦sinB.

6.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值（）

A.不变化B.扩大3倍C.缩小1/3D.缩小3倍【答案】A

7.已知：

在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求BC的长．

8.求sin63°52′41″的值.（精确到0.0001）

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:

教材“习题4.1”中第3、4题.

第2课时余弦的概念和余弦值的求法

【知识与技能】

1.使学生理解锐角余弦的定义.

2.会求直三角形中锐角的余弦值.

3.会用计算器求一般锐角的余弦值.

【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

【情感态度】

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

【教学重点】

求直三角形中锐角的余弦值.

【教学难点】

求直三角形中锐角的余弦值.

一、情景导入，初步认知

1.什么叫作正弦？

2.sin30°、sin45°、sin60°的值分别是多少？

二、思考探究，获取新知

1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°,则

成立吗？

为什么？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin（90°-α）,从而有：

sinα=cos（90°-α）.

2.计算cos30°，cos45°，cos60°的值.

3.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算.

例如，求cos50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键

，则屏幕上显示的就是cos50°的值.

4.如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.

例如：

已知cosα=0.8661，求α的度数.我们可以依次按键

，则屏幕上显示的就是α的度数.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P115例4.

2.下列说法正确的个数有（）

（1）对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1

（2）对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2

（3）如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2

（4）对于任意锐角α，都有sinα=cos（90°-α）

A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C

3.在△ABC中，∠C=90°，若2AC=

AB，求∠A的度数及cosB的值．

4.计算：

（1）｜-

｜-2sin60°+sin45°·cos45°;

（2）cos260°+cos245°+

sin30°·sin45°.

5.用计算器求值（保留四位小数）：

（1）sin38°19′；

（2）cos78°43′16″．

解：

（1）按MODE，出现：

DEG，按sin，38，“．”，19，“．”，=，显示：

0.620007287,则结果为0.6200.

（2）按MODE，出现：

DEG，按cos，78，“．”，43，“．”，16，“．”=，显示：

0.195584815,则结果为0.1956.

6.若sin40°=cosα，求α的度数．

7.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，求BC/AB的值.

8.正方形网格中，∠AOB如图放置，求cos∠AOB的值.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:

教材“习题4.1”中第6、7、8题.

第3课时正弦和余弦

【知识与技能】

1.进一步认识正弦和余弦；

2.正弦和余弦的综合应用.

【过程与方法】

通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算.

【情感态度】

经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力.

【教学重点】

直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用.

【教学难点】

直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用.

一、情景导入，初步认知

1.正弦和余弦的定义是什么？

2.正弦和余弦之间有什么关系？

【教学说明】复习有关知识，为本节课的教学作准备.

二、思考探究，获取新知

一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.01m）

三、运用新知，深化理解

1.求下列式子的值.

2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=3/5,求cosA.

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝12/13，AC＝10，AB等于多少?

sinB呢?

4.已知：

如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：

BC2＝AB·BD.（用正弦、余弦函数的定义证明）

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:

教材“习题4.1”中第9、10题.

4.2正切

【知识与技能】

使学生了解正切的概念，能够正确地用tanA表示直角三角形（其中一个锐角为∠A）中两直角边的比，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子.

【过程与方法】

逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.

【情感态度】

培养学生独立思考、勇于创新的精神.

【教学重点】

了解正切的概念，熟记特殊角的正切值.

【教学难点】

正切的应用.

一、情景导入，初步认知

1.如图：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，

sinA=________；cosA=________.

2.当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？

二、思考探究，获取新知

1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°,则BC/AC=EF/DF成立吗？

为什么？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

2.求tan30°、tan45°、tan60°的值.

3.30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值分别是多少？

【归纳结论】

4.如何用计算器求一般锐角的正切值？

例如：

求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键

，则屏幕上显示的0.4663…就是25°角的正切值.

5.如果已知正切值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.

例如：

已知tanα=0.8391，求α的度数.我们可以依次按键

，则屏幕上显示的就是α的度数.

6.什么是锐角三角函数？

【归纳结论】我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.

三、运用新知，深化理解

1.求tan70°45′的值.（精确到0.0001）

2.

（1）求下列三角函数值：

sin60°，cos70°，tan45°，sin29.12°，cos37°42′6″，tan18°31′.

（2）计算下列各式：

sin25°+cos65°;sin36°·cos72°;

tan56°·tan34°

解：

略

3.计算：

4.在△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=3/4，求BC的长．

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：

，其中正确的结论是______.（只需填上正确结论的序号）

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，AC=6，求BC，AB的长.（精确到0.001）

7.如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角（∠ACB）的大小（结果精确到度）.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:

教材“习题4.2”中第1、2、3题.

4.3解直角三角形

【知识与技能】

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

【过程与方法】

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

【情感态度】

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

【教学重点】

直角三角形的解法．

【教学难点】

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

一、情景导入，初步认知

1.什么是锐角三角函数？

2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？

二、思考探究，获取新知

1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边、角之间的关系：

sinA=∠A的对边/斜边cosA=∠A的邻边/斜边

tanA=∠A的对边/∠A的邻边

（2）三边之间的关系：

a2+b2=c2（勾股定理）

（3）锐角之间的关系：

∠A+∠B=90°．

3.做一做：

在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

4.做一做：

在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

5.想一想：

在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.求∠B、b、c.

7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P122例2.

2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝8

，∠A＝60°，求∠B、a、b．

3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3

，∠A＝30°，求∠B、b、c.

4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝

-2，a＝

－1，求∠A、∠B、b.

5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝2

，求∠A、∠B、c.

6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．

7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:

教材“习题4.3”中第1、3、4题.

第1课时俯角和仰角问题

【知识与技能】

比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.

【过程与方法】

通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.

【情感态度】

培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

【教学重点】

应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.

【教学难点】

选用恰当的直角三角形，分析解题思路.

一、情景导入，初步认知

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

你是如何想的?

与同伴进行交流.

二、思考探究，获取新知

1.某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？

2.如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结果精确到1m）

三、运用新知，深化理解

1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）

2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?

3.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．（计算结果可保留根号）

4.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？

（结果保留到0.1米）

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:

教材“习题4.4”中第2、4、5题.

第2课时坡度和方位角问题

【知识与技能】

1.了解测量中坡度、坡角的概念；

2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.

【过程与方法】

通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.

【情感态度】

进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

【教学重点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.

【教学难点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.

一、情景导入，初步认知

如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?

显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.

即tanA1＞tanA.

二、思考探究，获取新知

1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.

如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度（或坡比），记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.

2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？

小刚上升了多少米？

（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）

3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？

三、运用新知，深化理解

1.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．

2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：

如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．

3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶

，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？

（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：

（1）∠D的度数；

（2）线段AE的长．

5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.

（参考数据：

sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125）

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:

教材“习题4.1”中第1、6、7题.

章末复习

【知识与技能】

1.了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值.

2.能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.

3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.

【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想.

【情感态度】

通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.

【教学重点】

会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.

【教学难点】

会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.

【布置作业】

完成本课时对应练习，并提醒学生预习下一节的内容。

一、知识结构

二、释疑解惑，加深理解

1.正弦的概念：

在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα，即：

sinα=角α的对边/斜边.

2.余弦的概念：

在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边.

3.正切的概念：

在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα，即：

tanα=角α的对边/角α的邻边

4.特殊角的三角函数值：

5.三角函数的概念：

我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.

6.解直角三角形的概念：

在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.

7.仰角、俯角的概念：

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．

8.坡度的概念：

坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度（或坡比）；记作i，坡度通常用l∶m的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.

三、运用新知，深化理解

1.已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB=2/3，求sin∠DAC．

2.计算：

tan230°＋cos230°－sin245°tan45°

3.如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=3/5，则下列结论正确的个数为（）

①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2

cm．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

4.如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（结果保留根号）．

四、复习训练，巩固提高

1.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）

A．2B．2

C．3D．3【答案】C

2.如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：

≈1.73）

3.如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）．

五、师生互动，课堂小结

师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？

还存在哪些疑惑？

同学之间可以相互交流.

布置作业:

教材“复习题4”中第1、3、6、8、1