版高考文科数学大一轮复习人教A版51 平面向量的概念及线性运算 Word版含答案.docx

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版高考文科数学大一轮复习人教A版51平面向量的概念及线性运算Word版含答案

§　平面向量的概念及线性运算

最新考纲

考情考向分析

.了解向量的实际背景．

.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．

.理解向量的几何表示．

.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

.了解向量线性运算的性质及其几何意义

主要考查平面向量的线性运算（加法、减法、数乘向量）及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.

．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为的向量；其方向是任意的

记作

单位向量

长度等于个单位长度的向量

非零向量的单位向量为±

平行向量（共线向量）

方向相同或相反的非零向量

与任一向量平行或共线

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

的相反向量为

.向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（）交换律：

＋＝＋；

（）结合律：

（＋）＋

＝＋（＋）

减法

求与的相反向量－的和的运算

－＝＋（－）

数乘

求实数λ与向量的积的运算

（）λ＝λ；

（）当λ>时，λ与的方向相同；当λ<时，λ与的方向相反；当λ＝时，λ＝

（）λ（μ）＝（λμ）；

（）（λ＋μ）＝λ＋μ；

（）λ（＋）＝λ＋λ

.共线向量定理

向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使＝λ.

知识拓展

．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

．若为线段的中点，为平面内任一点，则＝（＋）．

＝λ＋μ（λ，μ为实数），若点，，共线，则λ＋μ＝.

题组一思考辨析

．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（×）

（）与是否相等与，的方向无关．（√）

（）若∥，∥，则∥.（×）

（）若向量与向量是共线向量，则，，，四点在一条直线上．（×）

（）当两个非零向量，共线时，一定有＝λ，反之成立．（√）

（）若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．（×）

题组二教材改编

．[例]已知▱的对角线和相交于点，且＝，＝，则＝，＝.（用，表示）

答案－　－－

解析如图，＝＝－＝－，＝－＝－－＝－－.

．[组]在平行四边形中，若＋＝－，则四边形的形状为．

答案矩形

解析如图，因为＋＝，－＝，所以＝.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形是矩形．

题组三易错自纠

．对于非零向量，，“＋＝”是“∥”的（）

．充分不必要条件．必要不充分条件

．充要条件．既不充分也不必要条件

答案

解析若＋＝，则＝－，所以∥.若∥，则＋＝不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

．设向量，不平行，向量λ＋与＋平行，则实数λ＝.

答案

解析∵向量，不平行，∴＋≠，又向量λ＋与＋平行，则存在唯一的实数μ，使λ＋＝μ（＋）成立，即λ＋＝μ＋μ，则解得λ＝μ＝.

．设，分别是△的边，上的点，＝，＝.若＝λ＋λ（λ，λ为实数），则λ＋λ的值为．

答案

解析＝＋＝＋

＝＋（＋）＝－＋，

∴λ＝－，λ＝，即λ＋λ＝.

题型一　平面向量的概念

．有下列命题：

①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；②若＝，则＝；③若＝，则四边形是平行四边形；④若＝，＝，则＝；⑤若∥，∥，则∥；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（）

．．

．．

答案

解析对于①，两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同，①正确；对于②，若＝，方向不确定，则，不一定相等，∴②错误；对于③，若＝，，不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若＝，＝，则＝，④正确；对于⑤，若∥，∥，当＝时，∥不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，

∴⑥错误．

综上，假命题是②③⑤⑥，共个，故选.

．设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则＝；②若与平行，则＝；③若与平行且＝，则＝.上述命题中，假命题的个数是（）

．．．．

答案

解析向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时＝－，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是.

思维升华向量有关概念的关键点

（）向量定义的关键是方向和长度．

（）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

（）相等向量的关键是方向相同且长度相等．

（）单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

（）零向量的关键是长度是，规定零向量与任何向量共线．

题型二　平面向量的线性运算

命题点向量的线性运算

典例（）（届贵州遵义航天高级中学一模）如图所示，向量＝，＝，＝，，，在一条直线上，且＝－，则（）

．＝－．＝－

．＝－＋．＝＋

答案

解析由＝－，可得－＝－（－），则＝－＝－，故选.

（）（·青海西宁一模）如图，在△中，点在边上，且＝，点在边上，且＝，则用向量，表示为（）

．＋．－

．＋．－

答案

解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝（＋）－＝－

＝－.

命题点根据向量线性运算求参数

典例（）（届河北省武邑中学调研）如图，在平行四边形中，，相交于点，为线段的中点．若＝λ＋μ（λ，μ∈），则λ＋μ等于（）

．．．．

答案

解析∵为线段的中点，

∴＝＋＝＋

＝＋＝λ＋μ，

∴λ＋μ＝＋＝，故选.

（）在△中，点在线段的延长线上，且＝，点在线段上（与点，不重合），若＝＋（－），则的取值范围是（）

．．

．．

答案

解析设＝，

∵＝＋

＝＋＝＋（－）

＝－＋（＋）.

∵＝，点在线段上（与点，不重合），

∴∈，∵＝＋（－），

∴＝－，∴∈.

思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（）向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

（）求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

（）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．

跟踪训练（）（·江西赣州二模）如图，已知＝，＝，＝，＝，则等于（）

．－．－

．－．－

答案

解析由平面向量的三角形法则可知，

＝＋＝＋

＝（－）－

＝－＋

＝－＋，故选.

（）如图，直线与平行四边形的两边，分别交于，两点，且与对角线交于点，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为．

答案

解析∵＝，＝，

∴＝，＝.

由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋，

∴＝λ＝λ（＋）

＝λ

＝λ＋λ，

∵，，三点共线，∴λ＋λ＝，∴λ＝.

题型三　共线向量定理的应用

典例设两个非零向量与不共线．

（）若＝＋，＝＋，＝（－），

求证：

，，三点共线；

（）试确定实数，使＋和＋共线．

（）证明∵＝＋，＝＋，＝（－），

∴＝＋＝＋＋（－）

＝＋＋－＝（＋）＝，

∴，共线．

又∵它们有公共点，∴，，三点共线．

（）解假设＋与＋共线，

则存在实数λ，使＋＝λ（＋），

即（－λ）＝（λ－）.

又，是两个不共线的非零向量，

∴－λ＝λ－＝.

消去λ，得－＝，∴＝±.

引申探究

若将本例（）中“＝＋”改为“＝＋”，则为何值时，，，三点共线？

解＋＝（＋）＋（－）＝＋（－），

即＝＋（－）.

若，，三点共线，则存在实数λ，使＝λ.

即＋（－）＝λ（＋）．

∴解得＝.

故当＝时，，，三点共线．

思维升华（）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（）向量，共线是指存在不全为零的实数λ，λ，使λ＋λ＝成立，若λ＋λ＝，当且仅当λ＝λ＝时成立，则向量，不共线．

跟踪训练（）（·资阳模拟）已知向量＝＋，＝＋，＝－＋，则（）

．，，三点共线．，，三点共线

．，，三点共线．，，三点共线

答案

解析∵＝＋＝＋＝（＋）＝，

∴，共线，又有公共点，

∴，，三点共线．故选.

（）已知，，是直线上不同的三个点，点不在直线上，则使等式＋＋＝成立的实数的取值集合为（）

．{}．∅

．{－}．{，－}

答案

解析∵＝－，∴＋＋－＝，

即＝－－（－），∵，，三点共线，

∴－－（－）＝，即＋＝，解得＝或＝－.

当＝时，＋＋＝，此时，两点重合，不合题意，舍去．故＝－.故选.

容易忽视的零向量

典例下列叙述错误的是．（填序号）

①若非零向量与方向相同或相反，则＋与，之一的方向相同；

②＋＝＋⇔与方向相同；

③向量与向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ；

④＋＝；

⑤若λ＝λ，则＝.

错解展示：

④中两个向量的和仍是一个向量，所以＋＝.

错误答案④

现场纠错

解析对于①，当＋＝时，其方向任意，它与，的方向都不相同．

对于②，当，之一为零向量时结论不成立．

对于③，当＝且＝时，λ有无数个值；当＝但≠或≠但＝时，λ不存在．

对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，

所以＋＝.

对于⑤，当λ＝时，不管与的大小与方向如何，都有λ＝λ，此时不一定有＝.

故①②③④⑤均错．

答案①②③④⑤

纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．

．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③λ＝（λ为实数），则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．

其中正确的命题的个数为（）

．．

．．

答案

解析因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题①错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此②是正确的；若λ＝（λ为实数），则也可以为零向量，因此命题③是错误的；若λ，μ为，尽管有λ＝μ，则与也不一定共线，即命题④是错误的，故选.

．（·安徽淮北第一中学最后一卷）设，都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是（）

．＝．＝

．∥且＝．∥且方向相同

答案

解析表示方向的单位向量，因此＝的充要条件是与同向即可，故选.

．（·四川乐山调研）如图，已知是圆的直径，点，是半圆弧的两个三等分点，＝，＝，则等于（）

．－．－

．＋．＋

答案

解析连接，，，由点，是半圆弧的三等分点，可得∠＝∠＝∠＝°，且△和△均为边长等于圆半径的等边三角形，所以四边形为菱形，

所以＝＋＝＋＝＋，故选.

．已知＝＋，＝－＋，＝－，则下列一定共线的三点是（）

．，，．，，

．，，．，，

答案

解析因为＝＋＋＝＋＝（＋）＝，又，有公共点，所以，，三点共线．

．（·济宁模拟）如图所示，在△中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若＝，＝，则＋的值为（）

．．

．．

答案

解析∵为的中点，

∴＝（＋）

＝（＋）＝＋，

∵，，三点共线，∴＋＝，∴＋＝.

．（届南宁二中、柳州高中联考）已知，是不共线的向量，＝λ＋，＝＋（λ－），且，，三点共线，则λ等于（）

．－．－

．－或．－或

答案

解析由于，，三点共线，故＝μ，

即λ·（λ－）－×＝，解得λ＝－或.故选.

．已知两个非零向量，满足＋＝－，则下列结论正确的是．（填序号）

①∥；②⊥；③＝；④＋＝－.

答案②

解析根据向量加法、减法的几何意义可知，＋与－分别为以向量，为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为＋＝－，所以该平行四边形为矩形，所以⊥.

．（·青岛质检）已知，，分别为△的边，，的中点，且＝，＝，给出下列命题：

①＝－；②＝＋；③＝－＋；

④＋＋＝.

其中正确命题的序号为．

答案②③④

解析＝，＝，

＝＋＝－－，

＝＋＝＋，

＝（＋）＝（－＋）

＝－＋，

所以＋＋＝－－＋＋＋－＝.

所以正确命题的序号为②③④.

．（·辽宁大连双基测试）在锐角△中，＝，＝＋，则＝.

答案

解析由题设可得＋＝（－），

即＝＋，亦即＝＋，

则＝，＝，故＝.

．在直角梯形中，＝°，＝°，＝，＝，点在线段上，若＝＋μ，则μ的取值范围是．

答案

解析由题意可求得＝，＝，∴＝，

∵点在线段上，∴＝λ（≤λ≤）．

∵＝＋，

又＝＋μ＝＋μ＝＋，

∴＝，即μ＝，∵≤λ≤，

∴≤μ≤.

即μ的取值范围是.

．（·重庆调研）如图所示，在△中，，分别是，的中点，与交于点，设＝，＝，试用，表示向量.

解由，，三点共线，可设＝＝（－）＝＝－＋（为实数），

同理，可设＝＝（－）

＝＝－＋（为实数），①

又＝＋＝－＋

＝－（＋）＋，②

所以由①②，得－＋＝－（＋）＋，

即（＋－）＋＝.

又，不共线，

所以解得

所以＝－＋.

所以＝＋

＝＋＝（＋）．

．设，是不共线的两个非零向量．

（）若＝－，＝＋，＝－，求证：

，，三点共线；

（）若＝＋，＝－，＝－，且，，三点共线，求的值．

（）证明由已知得，

＝－＝＋－＋＝＋，

＝－＝－－－＝－－，

故＝－，又与有公共点，

所以，，三点共线．

（）解＝＋＝－，＝－.

因为，，三点共线，所以＝λ，

即－＝λ－λ，

所以所以

综上，的值为.

．（·安徽马鞍山质检）已知，为△中不同的两点，且＋＋＝，＋＋＝，则△∶△为（）

．∶．∶

．∶．∶

答案

解析因为＋＋＝（＋）＋＋＝，所以在与平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得△＝△，＋＋＝，可得是△的重心，因此△＝△，△∶△＝∶，故选.

．（·泉州模拟）已知点为△所在平面上一点，且满足＝－，若△的面积为，则△的面积为．

答案

解析由＝－，得＝＋，

所以－＝（－），即＝.

所以点在边上，且＝，

所以△＝△＝.

．（·太原质检）设为△的重心，且·＋·＋·＝，则角的大小为．

答案°

解析∵是△的重心，∴＋＋＝，＝－（＋），将其代入·＋·＋·＝，得（－）＋（－）＝.又，不共线，

∴－＝，－＝，

则＝＝．根据正弦定理知，＝＝，

∴△是等边三角形，则＝°.

．（·河北百校联盟联考）已知在△中，点满足＋＝，过点的直线与直线，分别交于点，，＝λ，＝μ.若λ>，μ>，则λ＋μ的最小值为．

答案

解析因为＋＝，所以＝，

＝＋＝＋＝＋（－）

＝＋.

因为，，三点共线，所以存在∈，使＝＋（－），则＝λ＋（－）μ，

所以λ＋（－）μ＝＋，所以λ＝，（－）μ＝，所以＝，－＝，

所以＋＝，

所以λ＋μ＝（λ＋μ）

＝≥，

当且仅当λ＝μ时等号成立，

所以λ＋μ的最小值为.