求数列通项公式的解题思路.docx

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求数列通项公式的解题思路

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求数列通项公式的解题思路

求数列通项公式的解题思路

　　广东省高州市第二中学梁志华

　　数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。

求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。

下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。

　　一、已知数列的前几项

　　已知数列的前几项，求通项公式。

通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。

这种方法称为观察法，也即是归纳推理。

　　例1、求数列的通项公式

（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……

（2）9，99，999，……

　　分析：

（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。

（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。

　　此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。

　　二、已知数列的前n项和sn

　　已知数列的前n项和sn，求通项公式an，主要通过an与sn的关系转化，即an-{s1（n＝1）sn-sn——1（n≥2）

　　例2、已知数列{an}的前n项和sn=2n+3，求an

　　分析：

sn=a1+a2+……+an——1+an

　　sn——1＝a1+a2+……+an——1

　　上两式相减得sn-sn——1=an

　　解：

当n=1时，a1=s1=5

　　当n≥2时，an=sn-sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1

　　∵n=1不适合上式

　　∴an={5（n=1）2n——1（n≥2）

　　三、已知an与sn关系

　　已知数列的第n项an与前n项和sn间的关系：

sn=f（an），求an。

一般的思路是先将sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。

不同的类型，要用不同的方法解决。

（1）an=an——1+k。

数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。

　　例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。

　　分析：

由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。

（2）an=kan——1（k为常数）。

数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。

　　例4、数列{an}的前n项和sn,a1=1，an+1=2sn+1（n∈n+）

　　求数列{an}的通项公式。

　　分析：

根据an与sn的关系，将an+1=2sn+1转化为an与an+1的关系。

　　解：

由an+1=2sn+1

　　得an=2sn-1+1（n≥2）

　　两式相减，得an+1-an=2an

　　∴an+1=3an（n≥2）

　　∵a2=2sn+1=3

　　∴a2=3a1

　　∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列

　　∴an=3n-1

　　（3）an+1=an+f（n），用叠加法

　　思路：

令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2=a1+f

（1）

　　a3=a2+f

（2）

　　a4=a3+f（3）

　　……

　　+）an=an——1+f（n-1）

　　an=a1+f

（1）+f

（2）+…+f（n-1）

　　例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n

　　则{an}的通项公式=（）

　　解：

∵an+1=an+2n

　　∴a2=a1+2×1

　　a3=a2+2×2

　　a4=a3+2×3

　　……

　　+）an=an——1+2（n-1）

　　an=a1+2（1+2+3+…+n-1）

　　=2+2×（1+n-1）（n-1）

　　=n2-n+2

　　（4）an+1=f（n）an，用累积法

　　思路：

令n=1，2，3，……，n-1

　　得a2=f

（1）a1a3=f

（2）a2a4=f（3）a3

　　……

　　×）an=f（n-1）an-1

　　an=a1·f

（1）·f

（2）·f（3）……f（n-1）

　　例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（）

　　解：

∵an+1=2nan∴a2=21a1

　　a3=22a2a4=23a3

　　……

　　×）an=2n——1·an——1

　　an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2

　　（5）an=pan——1+q，an=pan——1+f（n）

　　an+1=an+p·qn（pq≠0），

　　an=p（an——1）q，an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）

　　（p、q、r为常数）

　　这些类型均可用构造法或迭代法。

　　①an=pan——1+q（p、q为常数）

　　构造法：

将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。

　　将关系式两边都加上x

　　得an+x=pan——1+q+x

　　=p（an——1+q+x/p）

　　令x=q+x/p，得x=q/p-1

　　∴an+q/p-1=p（an——1+q/p-1）

　　∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，p为公比的等比数列。

　　∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）pn-1

　　∴an=（a1+q/p-1）pn-1-q/p-1

　　迭代法：

an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q

　　=p2（（pan-3+q）+pq+q……

　　例7、数列{an}的前n项和为sn，且sn=2an-n（n∈n+）求an

　　解析：

由sn=2an-n得sn-1=2an-1-（n-1）（n≥2,n∈n+）

　　两式相减得an=2an-1+1

　　两边加1得an+1=2（an-1+1）（n≥2，n∈n+）

　　构造成以2为公比的等比数列{an+1}

　　②an=pan-1+f（n）

　　例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈n）

　　证明：

an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5

　　分析：

这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。

　　方法一：

构造公比为-2的等比数列{an+λ·3n}

　　用比较系数法可求得λ=-1/5

　　方法二：

构造等差型数列{an/（-2）n}。

由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用叠加法处理。

　　方法三：

迭代法。

　　an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1

　　=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1

　　=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5

　　③an+1=λan+p·qn（pq≠0）

　　（ⅰ）当λ=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。

　　例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

　　分析：

在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1

　　∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。

　　（ⅱ）当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

　　例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

　　分析：

从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，

　　得an/2n=3/2an-1/2n-1+1/2

　　令an/2n=bn

　　则bn=3/2bn-1+1/2

　　④an=p（an——1）q（p、q为常数）

　　例11、已知an=1/aan——12，首项a1，求an。

　　方法一：

将已知两边取对数

　　得lgan=2lgan——1-lga

　　令bn=lgan

　　得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。

　　方法二：

迭代法

　　an=1/aa2n——1=1/a（1/aa2n——2）2=1/a3a4n——2

　　=1/a3（1/aa2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23

　　=……=a·（a1/a）2n——1

　　⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，pr≠0，q≠r）

　　将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再构造成等比数列求an。

　　例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

　　解：

∵an+1=an/an+2

　　∴1/an+1=2·1/an+1

　　两边加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）

　　∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列

　　∴1/an+1=2×2n-1=2n

　　∴an=1/2n-1

　　以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。

遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。

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