第三章图形的平移与旋转教案.docx
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第三章图形的平移与旋转教案
第三章图形的平移与旋转教案
【知识精讲】
知识点1平移、旋转和轴对称的区别和联系
（1）区别。
①三者概念的区别：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。
如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。
②三者运动方式不同：
平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。
旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。
③对应线段、对应角之间的关系不同：
平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。
轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：
对应点的连线被对称轴垂直平分。
旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。
④三者作图所需的条件不同：
平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：
轴对称要有对称轴。
（2）联系。
①它们都在平面内进行图形变换
②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。
③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。
知识点2组合图案的形成
（1）确定图案中的“基本图案”。
（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。
（3）探索该图案的形成过程：
运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。
要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。
运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。
整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。
知识点3利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题
在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。
从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。
这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。
移动图形一般有三种方法：
（1）平移法。
（2）旋转法：
利用旋转变换。
（3）对称：
可利用中心对称和轴对称。
知识点4欣赏现实生活中的一些精美图案
通过欣赏现实生活中的一些精美图案，引起学生的兴趣。
通过分析它们的形成过程，为今后进行图案设计提供素材。
知识点5图案设计的步骤
1、整体构思
（1）图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致，具有一定的意义，例如，奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱体育运动，携手共创美好的未来。
（2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案”（不宜太复杂）。
（3）构思图案的形成过程：
首先构思该图案由哪几部分构成。
再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。
2、具体作图
根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案。
有条件的同学可用几何画板画出满意的图案。
【典型例题】
例1.如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。
分析：
假设桥为MN，从A→B要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AM＋NB最小即可。
例2.在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的大小关系。
分析：
四条线段AB、AC、AD、AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。
证明：
将△AEC沿EB的方向平移到△FBD位置
∴FB＝AE，FD＝AC
设FD与AB的交点为O
在△AOD中，AO＋OD＞AD
在△FOB中，FO＋OB＞FB
例3.已知：
AB＝CD＝1，AB与CD交于O点，∠DOB＝60°，比较AC＋BD与1的大小。
分析：
利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。
解：
证明：
过C作CE∥AB，过B作BE∥AC，连结DE
∴四边形ABEC为平行四边形
∴AC＝BE，AB＝CE
∵∠DOB＝60°，AB∥CE
∴∠DCE＝60°
∵AB＝CD＝1
∴CE＝CD＝1
∴△DCE为等边三角形
∴DE＝1
在△DEB中，DB＋BE＞DE
即DB＋AC＞1
例4.已知：
如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。
分析：
由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。
解：
把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：
∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD
∵ABCD为正方形
∴∠D＝∠ABF'＝90°
∴F'、B、E、C在一条直线上
又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠F'AE＋∠2＝90°
又∵∠AFD＋∠1＝90°
∴∠AF'B＋∠1＝90°
∵∠1＝∠2
∴∠F'AE＝∠AF'B
∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE
例5.如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。
分析：
此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。
而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。
解：
由旋转的性质及特征可知：
∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP'
∴在△BPP'中，
又∵AP的延长线正好经过P'点
∴∠AP'C＝90°
∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135°
从而可得∠APB＝135°
例6.已知：
如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。
求证：
AE＝FG
分析：
AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。
证明：
延长AB至F'使BF'＝BE，连结CF'
∵正方形ABCD
∴AB＝CB，∠ABC＝90°
又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'
∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'
∴AE＝CF'，AE⊥CF'
∵FG⊥AE
∴FG∥CF'
又∵正方形ABCD，AB∥CD
∴四边形GFF'C为平行四边形
∴CF'＝FG
∴AE＝FG
例7.如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE⊥AD于E，PF⊥CD于F。
求证：
（1）OE⊥OF
（2）OE＝OF
分析：
充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。
证明：
∵正方形ABCD
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45°
∵DE⊥AD，∴∠PED＝90°
∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90°
∴四边形EPFD为矩形
∴PE＝DF
又∵∠PED＝90°，∠DAC＝45°
∴∠APE＝45°
∴△AEP中，AE＝PE
∴AE＝DF
∵正方形ABCD为中心对称图形
∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合
∴A与D为对应点
又∵AE＝DF
∴E与F为对应点
由旋转变换的特征知：
OE⊥OF，OE＝OF
例8.△ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，且AE＝BF＝CD，连结AF、BD、CE，分别交于点G、H、M。
（1）求∠1的度数；
（2）判断△GMH的形状。
分析：
等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60°，∠1是△BCH的外角，可知∠1＝∠2＋∠3。
而∠2＝∠4
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°，从而得证。
解：
（1）∵等边△ABC是旋转对称图形，且AE＝BF＝CD
所以，△ABC绕旋转中心旋转120°后，△AEC、△BFA、△CDB能够重合
∴∠2＝∠4
由∠1＝∠2＋∠3
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°
（2）同理可得：
∠GMH＝∠MGH＝60°
∴△GMH是等边三角形
第三章《图形的旋转与平移》整章水平测试
一、耐心填一填，一锤定音！
（每小题3分，共27分）
1．在下列给出的五种运动中，其中属于平移的是．
（1）急刹车的小汽车在地面上的运动；
（2）自行车轮子的运动；（3）时钟的分针的运动；（4）高层建筑内的电梯的运动；（5）小球从高处作自由落体运动．
2．将面积为12cm2的等腰直角△ABC向右上方平移20cm，得到△MNP，则△MNP是三角形，它的面积是cm2．
3．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，BC=8，AD=3，AB=4，CD=3，将AB平移到DE处，则△CDE为三角形，周长为．
4．如图2，Rt△AOB绕点O逆时针旋转到△COD的位置，若∠BOC=127°，则旋转角
是．
5．△ABC经过平移得到△DEF，并且A与D，B与E，C与F是对应点，AD=3cm，则
BE=cm，AD与BE之间的关系是，AB与DE之间的关系是．
6．如图3，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是．
7．如图4给出的图案，可看作由“基本图案”：
旋转度得到的，旋转的两个图形必．
8．如图5，绕点O旋转得到的两个图形的对应点M与N到旋转中心O的距离（相等或不相等）．
9．如图6，正方形ABCD可看作是由图形经次平移得到的，也可看作
是由图形绕点O旋转次得到．
二、精心选一选，慧眼识金！
（每小题3分，共27分）
1．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
2．如图7，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，
已知AD=5，∠B=70°，则（）
A．FG=5，∠G=70°B．EH=5，∠F=70°
C．EF=5，∠F=70°D．EF=5，∠E=70°
3．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．下列说法正确的是（）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小
B．平移和旋转的共同点是改变图形的位置
C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
D．由平移得到的图形也一定可由旋转得到
5．
6．下列说法正确的是（）
A．若△ABC≌△DEF，则△ABC可以看作是由△DEF平移得到的
B．若∠A=∠B，则∠A可以看作是由∠B平移得到的
C．若∠A经过平移后为∠A′，则∠A=∠A′
D．若线段a∥b，则线段a可以看作由线段b平移得到的
7．如图9，O是六个正三角形的公共顶点，下列图形中可由△OBC平移得到的是（）
A．△OCDB．△OABC．△FAOD．△OEF
8．图10中，可以视为是图形平移的不同组合对数（一个梅花对另一个梅花不计方向）有（）
A．9对B．10对C．5对D．8对
9．如果将一图形沿北偏东30°的方向平移3厘米，再沿某方向平移3厘米，所得的图形与将原图形向正东方向平移3厘米所得的图形重合，则这一方向应为（）
A．北偏东60°B．北偏东30°C．南偏东60°D．南偏东30°
三、用心想一想，马到成功！
（本大题共45分）
1．（本小题8分）请画一个圆，画出圆的直径AB，分析直径AB两侧的两个半圆可以怎样相互得到？
2．（本小题9分）如图11，四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD．试判断：
（1）图中哪些边可以通过平移得到；
（2）图中哪些三角形可以通过旋转得到．
3．（本小题9分）在图12中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案．
4．（本小题9分）剪两个全等的三角形，把这两个三角形重叠在一起放在桌面上，实际操作试一试，保持其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到图13中的两个图形？
5．（本小题10分）如图14是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸上将该图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它变换后的图形，你会得到一个美丽的图形，快来试一试吧!
四、综合应用，再接再厉！
（本大题共21分）
1．（本小题10分）如图15，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置．若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．
2．（本小题11分）观察下列图案，你能利用图案16来分析图案17和图案18是如何形成的吗？
参考答案：
一、1．
（1），（4），（5）2．等腰直角，123．直角，12
4．37°5．3，平行且相等，平行且相等6．55°
7．三角形，180，全等8．相等9．小正方形AEOF，三，△AOD（答案不惟一），三
二、1．B2．B3．D4．B5．B6．C7．C8．B9．D
三、1．略．2．略．3．将其中的关键点绕上顶点逆时针旋转90°后，连接各关键点成“A”即可．图略．
4．略．5．略．
四、1．AD=5．
2．图案17是将图案16进行连续的平移得到的；图案18是将图案16进行连续的平移、旋转再平移得到的．说明略．
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