自动控制原理考试试题第七章习题与答案.docx

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自动控制原理考试试题第七章习题与答案

第七章非线性控制系统分析

练习题及答案

7-1设一阶非线性系统的微分方程为

xx

3

x

试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解令x0得

3（21）

（1）

（1）0

xxxxxxx

系统平衡状态

xe0,1,1

其中：

x0：

稳定的平衡状态；

e

x1,1：

不稳定平衡状态。

e

计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。

x-2-11301312

x-600.3850-0.38506

x112010211

图解7-1系统相轨迹

可见：

当x（0）1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x（0）1时，系统发散；x（0）1

时，x（t）;x（0）1时，x（t）。

注：

系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x~x平面上任意分布。

7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

（1）xxx0

（2）

x

1

x

2

x

x

1

2

2xx

12

解

（1）系统方程为

1

:

xxx0（x0）

:

xxx0（x0）

令xx0，得平衡点：

xe0。

系统特征方程及特征根：

132

:

ss10,sj（稳定的焦点）

1,2

222

:

ss10,s1.618,0.618（鞍点）

1,2

xf（x,x）xx,

dx

dx

xxx

dx

dx

1

x

x

1

xxx

1

1

I:

1（x0）

1

II:

1（x0）

计算列表

-∞-3-1-1/301/313∞

x0:

11-1-2/302-∞-4-2-4/3-1

x0:

11-1-4/3-2-4∞20-2/3-1

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。

2

图解7-2（a）系统相平面图

（2）xxx

112①

x22xx②

12

由式①：

x2x1x1③

式③代入②：

（x1x1）2x1（x1x1）

即x12x1x10④

令x1x10

得平衡点：

xe0

由式④得特征方程及特征根为

2.414

2s

s2101,2（鞍点）

0.414

画相轨迹，由④式

xx

11

dx

1

dx

x12x1x1

x

1

x

1

2

计算列表

3

22.53∞11.52

=1/（-2）∞210-1-2∞

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。

7-3已知系统运动方程为xsinx0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制

相平面图。

解求平衡点，令xx0得

sinx0

平衡点xek（k0,1,2,）。

将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。

设F（x）xsinx0

F

x

F

x

x

xexe

x0

xxex0

cos

xx0

xk（k0,2,4,

e

）

xx0

xk（k1,3,5,

e

）

特征方程及特征根：

2

k为偶数时s10,j（中心点）

12

2

k为奇数时s

10,1（鞍点）

12

用等倾斜线法作相平面

x

dx

dx

sinxxsinx

0

1

xsinx

-2-1-1/2-1/401/41/212

-1/1/2124∞-4-2-1-1/2

作出系统相平面图如图解7-3所示。

4

7-4若非线性系统的微分方程为

2

（1）x（3x0.5）xxx0

（2）xxxx0

试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。

解

（1）由原方程得

222

xf（x,x）（3x0.5）xxx3x0.5xxx

令x1x10

2

（1）0得xxxx

解出奇点xe0,1

在奇点处线性化处理。

在xe0处：

x

f（x,x）f（x,x）

x

xx0

x

x0

x

x

0

0

x

（12x）x（6x0.5）xx0.5x

xx0xx0

即x0.5xx0

特征方程及特征根

2

2.50.54

s120.25j0.984（不稳定的焦点）

2

在xe1处

5

x（12x）

x

x

1

0

x

（

6x

2.65）

x

x

1

0

x

x

0.5x

即x0.5xx0

特征根

2

0.50.541.218

s（鞍点）

1,2

20.718

概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4

（1）所示：

（2）由原方程

xf（x,x）xxx

令xx0得奇点xe0,在奇点处线性化

x

f

x

f

x

x

xx0xx0

x

（x1）xxx

xx0xx0

得xx

即xx0

特征根sj

1,2。

奇点xe0（中心点）处的相轨迹如图解7-4

（2）

所示。

7-5非线性系统的结构图如图7-36所示。

系统开始是静止的，输入信号r（t）41（t），试写

出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系

统的相平面图，并分析系统的运动特点。

解由结构图，线性部分传递函数为

C（s）1

2

M（s）s

得c（t）m（t）①

6

由非线性环节有

0e2

m（t）e（t）2e2②

e（t）2e2

由综合点得

c（t）r（t）e（t）4e（t）③

将③、②代入①得

0e2I

e（t）2e（t）e2II

2e（t）e2III

开关线方程为e（t）2

:

e（t）0ec（常数）

:

ee20

II令ee0得奇点e

02

特征方程及特征根

2

s10,s,j（中心点）

12

III：

ee20

III令ee0得奇点e

02

特征方程及特征根

2

s10,s,j（中心点）

12

绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现

周期振荡状态。

7-6图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单

位阶跃响应的影响。

7

解由系统结构图有

:

c0C（s）51

E（s）s0.5s12:

c0

s（0.5s12）C（s）5E（s）

2.75c

0.6c

3c

c

5e

5e

c

c

0

0

I

II

①

因为cre1e②

②代入①式有

e6e10e0e0I

e2e10e0e0II

特征方程与特征根

I:

2

s

6s100s3j（稳定的焦点

1,2

）

II:

2

s

2s100s1

1,2

j

3

（

不稳定的焦点

）

依题意c（0）0,c（0）0

可得

e（0）1c（0）1

e（0）c（0）0

以（1,0）为起点概略作出系统相轨迹。

可见系统阶跃响

应过程是振荡收敛的。

7-7已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38

所示。

图7-38具有理想继电器的非线性系统

试用相平面法分析：

8

（1）Td0时系统的运动；

（2）Td0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用；

（3）Td2时系统的运动特点。

解依结构图，线性部分微分方程为

cu①

非线性部分方程为

u

1

1

e

e

Te

d

T

d

e

0

0

②

开关线方程：

e

1

e

T

d

由综合口：

cre1e③

③、②代入①并整理得

e

1

1

e

e

Te

d

Te

d

0

0

在I区：

ee

de

de

1

220（抛物线）解出：

ee（e）

同理在II区可得：

220（抛物线）ee（e）

开关线方程分别为

Td0时，e0;

Td0.5时，e2e;

Td2时，e0.5e.

概略作出相平面图如图解7-7所示。

图习题集P178T8-10

9

由相平面图可见：

加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡

性减小，响应加快。

7-8具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响

应。

解非线性特性的数学表达式为

e|e|a

yMea

Mea

线性部分的微分方程式为

图7-39非线性系统结构图

TccKy

考虑到rce，上式又可以写成

TeeKyTrr

输入信号为阶跃函数，在t0时有，rr0，因此有

TeeKy0

根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。

Ⅰ区：

系统的微分方程为

TeeKe0（ea）

按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。

图

解7-8（a）为Ⅰ区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。

Ⅱ区：

系统的微分方程为

TeeKM0（ea）

设一般情况下，初始条件为

e（0）e0,e（0）e。

则上式的解为

0

tT

e（t）e0（e0KM）T（e0KM）TeKMt

对上式求一次导数，得

tT

e（t）（e0KM）eKM

故当初始条件e'KM时，相轨迹方程为e'KM。

0

当e'KM时，相轨迹方程为

0

e

e0（ee）TKMTln

0

e

e

0

KM

KM

10

由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8（b）所示，相轨迹渐进于直线eKM。

Ⅲ区：

此时系统的微分方程为

TeeKM0（ea）

将Ⅱ区相轨迹方程中的KM改变符号，即得Ⅲ区的相轨迹方程

eKM（

eKM

0

）

e

e

0

（ee）TKMT

0

ln

e

e

0

KM

KM

（e

0

KM

）

该区的相轨迹如图解7-8（b）所示。

将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8（c）所示。

假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为

e（0）R,e（0）0。

此时的系统的相平面图如图解7-8（d）所示。

由图可知，系统在阶

跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。

动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量

可从图中量得。

图解7-8非线性系统的相平面图

11

7-9试推导非线性特性yx3的描述函数。

解y（t）A3sin3t

3

14A

2

34

B2

1Asintdt

00

1

4

2

（1co2st）dt

333

AAA2

2

22cos

（12tcos2t）dtsin2t

0

0

2

3

Aco4st1

2

dt

0

2

3A

333

AAA3

0cos4dt2

2tdt

2224

00

N（A）

BA

11

j

AA

3

2

A

4

7-10三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为

（1）G（s）

1

s（0.1s1）

（2）G（s）

2

s（s1）

（3）G（s）

2（1.5s1）

s（s1）（0.1s1）

试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？

解线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。

分别作出三个

系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-10所示。

12

由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统

（2）的描

述函数法分析结果的准确程度较高。

7-11将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的

传递函数。

图7-40非线性系统结构图

解（a）将系统结构图等效变换为图解7-11（a）的形式。

G（s）G1（s）[1H1（s）]

（b）将系统结构图等效变换为图解7-11（b）的形式。

G（s）H（s）

1

1

G（s）

1

G（s）

1

7-12判断题7-41图中各系统是否稳定；1N（A）与G（j）两曲线交点是否为自振点。

13

题7-41图自振分析

解（a）不是

（b）是

（c）是

（d）a、c点是，b点不是

（e）是

（f）a点不是，b点是

（g）a点不是，b点是

（h）系统不稳定

（i）系统不稳定

（j）系统稳定

7-13已知非线性系统的结构图如图7－42所示

图7-427-13题图

图中非线性环节的描述函数为

A6

N（A）（A0）

A2

14

试用描述函数法确定：

（1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的Ｋ值范围；

（2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。

解

（1）

1（A2）

N（A）A6

11

N（0）3N

1

（）

1

dN（A）4

2

dA（A2）

0

N（A）单调降，1N（A）也为单调降函数。

画出负倒描述函数曲线1N（A）和G（j）曲线

如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。

求使Im[G（j）]0的值：

令G（j）902arctg180

得arctg45,1

令Gj

（）

1

K

2

2

1

1

K

2

1

3

1

K

K

1

3

2

3

2

可得出K值与系统特性之间的关系：

15

（2）由图解7-13可见，当1N（A）和G（j）相交时，系统一定会自振。

由自振条件

N（A）G（j）

1

A

A

6

22

1

（A6）K2A4

6K4

2A

解出（K2）

2K

3

1

7-14具有滞环继电特性的非线性控制系统如图7-43（a）所示，其中M1,h1。

（1）当T0.5时，分析系统的稳定性，若存在自振，确定自振参数；

（2）讨论T对自振的影响。

图7-43非线性系统结构图及自振分析

解具有滞环继电特性的描述函数为

4Mh4hM

2

N（A）1（）j,

2

AAA

Ah

代入M1,h1，有

N（A）

4

A

1

（

1

）

A

24

j

2

A

N

11

2

A（1（）j）

12

AA

A

（A）4

1111

22

4（1（）j）（1（）j）

AAAA

1j

4

16

其负倒描述函数1N（A）曲线如题7-43（b）所示，G（j）曲线位于第三象限，两曲线必

然有交点，且该点为自振点。

G（s）

5（Ts

2

s

1）

G（j）

5

2

j

5T

G（j）

N

1

（

A）

根据虚部相等，有

5T

jj

4

20T

自振角频率随T增大而增大，当T0.5时，3.18。

根据实部相等，有

（

52

A

20T

4

2

）

1

解出非线性输入端振幅为

2

A1

4

400T

当T0.5时，A1.18。

自振振幅随T增大而减小。

7-15非线性系统如图7-44所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统

输出信号振荡的振幅和频率。

17

解将系统结构图等效变换为图解7-15。

G（j）

101010

j

22

j（j1）1

（1）

N（A）

4

A

1

2.8

A

2

j

4

0.7

2

A

4

A

1

0.6

A

2

j

0.2

A

1A1

N（A）40.20.2

2

1j

AA

4

A

1

2

0.20.2

j

AA

令G（j）与1N（A）的实部、虚部分别相等得

10

2

1

A

4

1

0.2

A

2

10

2

（1）

0.2

4

0.157

两式联立求解得3.91,A0.806。

10.806

由图7-44，r（t）0时，有c（），所以c（t）的振幅为0.161

（t）e（t）xt

55

。

7-16用描述函数法分析图7-45所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。

若存在

自振，求出自振振幅和自振频率（Mh）。

图7-45非线性系统结构图

18

解因为Mh，所以当xc0时N1（A）环节输出为Mh，N2（A）环节输出

也为Mh。

同样N3（A）输出也是M；当x0时情况类似。

所以实际上N2（A）和N3（A）

不起作用，系统可等效为如图解7-16（a）的形式。

画出1N（A）和G（j）曲线如图解7-16（b）所示。

可见系统一定自振。

由自振条件

N1（A）G（j）1

4M10

即1

Aj（1j）（2j）

40M22

j（1j）（2j）3j（2

A

）

比较实部、虚部有

40M

A

3

2

2

（2）0

A2.12M解出

图解7-16

2

7-17试用描述函数法说明图7-46所示系

统必然存在自振，并确定输出信号c的自振振幅

和频率，分别画出信号c、x、y的稳态波形。

解

41

N（A）,

AN（A）

4

A

图7-46非线性系统结构图

绘出1N（A）和G（j）曲线如图解7-17（a）所示，可见D点是自振点，系统一定会自振。

由自振条件可得

N（A）

1

G（j）

4j（j2）

A10

即

2

2j

2

4（4）

1010

19

令虚部为零解出=2，代入实部得

A=0.796。

则输出信号的自振幅值

为：

AcA20.398。

画出c、x、y点的信号波形

如图解7-17（b）所示。

20