高中数学平面向量专题.docx

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高中数学平面向量专题

第一部分：

平面向量的概念及线性运算

一.基础知识自主学习

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有又有的量；向量的大小叫做向量的（或称）

平面向量是自由向量

零向量

长度为的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于的

向量

非零向量a的单位向量为±

平行向量

方向或的非零向量

0与任一向量或共线

共线向量

的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度且方向的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度且方向的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何

意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝b＋a.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|.

（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向；

当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.

λ（μa）＝λμa；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb.

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

二.难点正本　疑点清源

1．向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．

2．向量平行与直线平行的区别

向量平行包括向量共线（或重合）的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

三．基础自测

1．化简－＋－的结果等于________．

2．下列命题：

①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．

3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝________（用b、c表示）．

4．如图，向量a－b等于（　　）

A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2

C．e1－3e2D．3e1－e2

5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）

A．A、B、DB．A、B、C

C．B、C、DD．A、C、D

四．题型分类深度剖析

题型一　平面向量的有关概念

例1　给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．

变式训练1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．

（1）若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b；

（2）若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

（3）若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；

（4）由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；

（5）若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；

（6）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；

（7）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

（8）任一向量与它的相反向量不相等

题型二　平面向量的线性运算

例2　如图，以向量＝a，＝b为边作▱OADB，＝，＝，用a、b表示、、.

变式训练2△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设＝a，＝b，用a、b表示向量、、、、、.

题型三　平面向量的共线问题

例3　设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

（1）求证：

A、B、D三点共线；

（2）若＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．

变式训练3设两个非零向量a与b不共线，

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．求证：

A、B、D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

五．思想与方法

5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题

试题：

如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

六．思想方法感悟提高

方法与技巧

1．将向量用其它向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如∥且AB与CD不共线，则AB∥CD；若∥，则A、B、C三点共线．

失误与防

1．解决向量的概念问题要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

七．课后练习

1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③λa＝0（λ为实数），则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误命题的个数为（　　）

A．1　　　　B．2C．3　　　　D．4

2．若A、B、C、D是平面任意四点，给出下列式子：

＋＝＋；②＋=；③－＝+.其中正确的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

3.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足=0，则等于（　　）

A.－B.＋2

C.－D.＋

4.如图所示，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则等于（　　）

A.a＋bB．－a＋b

C.a＋bD．－a＋b

5.在四边形ABCD中，＝a＋2b,＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．矩形B．平行四边形

C．梯形D．以上都不对

6.＝8，＝5，则的取值围是__________．

7．给出下列命题：

①向量的长度与向量的长度与向量的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．

其中不正确的个数为____________．

8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.若＝m，

＝n，则m＋n的值为________．

9．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－2a）共线，则λ＝________.

10.在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，求，.

11.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．

12.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.

（1）求＋＋；

（2）若PQ过△ABO的重心G,且＝a,＝b，＝ma，＝nb，求证：

＋＝3.

第二部分：

平面向量的基本定理及坐标表示

一．基础知识自主学习

1．两个向量的夹角

定义

围

已知两个向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角（如图）

向量夹角θ的围是,

当θ＝时,两向量共线，当θ＝时，两向量垂直，记作a⊥b.

2.平面向量基本定理及坐标表示

（1）平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面的两个向量，那么对于这一平面的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面所有向量的一组．

（2）平面向量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．

（3）平面向量的坐标表示

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面的任一向量a都可由x，y唯一确定，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．

②设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是的坐标，即若＝（x，y），则A点坐标为，反之亦成立．（O是坐标原点）

3．平面向量坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

a＋b＝，a－b＝，

λa＝，|a|＝.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝，||＝.

4．平面向量共线的坐标表示：

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.a∥b⇔.

二．难点正本　疑点清源

1．基底的不唯一性

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

2．向量坐标与点的坐标的区别

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为（x，y），但应注意其表示形式的区别，如点A（x，y），向量a＝＝（x，y）．

当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝（x，y）,但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．

三．基础自测

1．已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1,2），若（a＋b）∥c，则m＝________.

2．已知向量a＝（1,2），b＝（－3,2），若ka＋b与b平行，则k＝________.

3．设向量a＝（1，－3），b＝（－2,4），c＝（－1，－2）．若表示向量4a、4b－2c、2（a－c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d＝____________.

4．已知四边形ABCD的三个顶点A（0,2），B（－1，－2），C（3,1），且＝2，则顶点D的坐标为（　　）

A.B.

C．（3,2）D．（1,3）

5．已知平面向量a＝（x,1），b＝（－x，x2），则向量a＋b（　　）

A．平行于y轴B．平行于第一、三象限的角平分线

C．平行于x轴D．平行于第二、四象限的角平分线

四．题型分类深度剖析

题型一　平面向量基本定理的应用

例1　如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.

变式训练1如图，P是△ABC一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用p表示.

题型二　向量坐标的基本运算

例2　已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4）．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，

（1）求3a＋b－3c；

（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；（3）求M、N的坐标及向量的坐标．

变式训练2

（1）已知点A、B、C的坐标分别为A（2，－4）、B（0，6）、C（－8,10），求向量＋2－的坐标；

（2）已知a＝（2,1），b＝（－3,4），求：

①3a＋4b；②a－3b；③a－b.

题型三　平行向量的坐标运算

例3　平面给定三个向量a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1），请解答下列问题：

（1）求满