量子力学课件第三章.docx
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量子力学课件第三章
量子力学课件第三章
第三章 形式理论 希耳伯特空间 在上两章中，我们已经看到了简单量子体系的一些有趣的特性。
其中有些是特定势能的“偶然”特点，但是另外一些是普遍的，给它们一个彻底的一劳永逸的证明是十分必要的。
本章的目的是在一个更有力的形式上重新讨论我们的理论。
从重新讨论的角度来讲，本章没有很多完全是新的内容，其基本思想是对我们已在特定情况中的发现做更清晰的了解。
波函数和算符是量子理论的两块基石。
体系的状态用波函数表示，可观察量用算符表示。
数学上讲，波函数满足抽象矢量的定义条件，算符作为线性变换作用于矢量之上。
因此，量子力学的自然语言是线性代数。
1 但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。
在N维空间中，可以简单地用对应于N个正交归一基矢的分量，?
an?
，的一个N行列矩阵表示一个矢量 ?
，即：
?
a1?
?
?
a?
?
a?
?
2?
. ?
?
?
?
?
?
aN?
两个矢量的内积 ?
?
是一个复数， ?
?
?
a1*b1?
a2*b2?
?
aN*bN. 线性变换T用矩阵表示，通过普通的矩阵乘法规则作用于矢量上：
?
t11t12?
t1N?
?
a1?
?
?
?
?
tt?
ta2?
21222N?
?
?
?
?
T?
?
b?
Ta?
. ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tt?
tNN?
?
aN?
?
N1N2但是在量子力学中我们遇到的“矢量”是函数，它们存在于无穷维 空间中，对于它们，用N行列矩阵/矩阵的方法有点笨拙，以及在有限维下有很好行为的矩阵乘法可能存在问题。
因此，即使对大多数的术语和符号比较熟悉，仍要十分谨慎。
所有x的函数的集合构成了一个矢量空间，但对于我们的目的来说它太大了。
为了表示可能的物理状态，波函数?
必须是归一化：
所有在特定区域2的平方可积函数的集合， ?
?
dx?
1 2f（x）满足 ?
baf（x）dx?
?
2构成一个的矢量空间）。
数学家称之为L2（a,b）；而物理学家 1 如果你还没有学习过线性代数，你应该在继续阅读之前参看一下附录。
2 对于我们来讲，积分限通常总是，但是目前来说，我们保持讨论最一般的情况。
称它为“希尔伯特空间”。
3因此，在量子力学中， 波函数是处于希耳伯特空间中. 我们定义两个函数f（x）和g（x）的内积如下：
fg?
?
baf（x）*g（x）dx. 如果f和g都是平方可积，它们的内积将肯定存在。
4这可从Schwarz不等式得出：
5 ?
baf（x）g（x）dx?
*?
baf（x）dx?
g（x）dx. a*2b2你自己可以验证一下式满足内积所有条件）。
注意到特别有 gf?
fg. 此外，f（x）与自己的内积：
ff?
?
f（x）dx, ab2它是一个非负实数，仅当f（x）?
0时为零。
6 如果一个函数与自身的内积为1，我们称之为归一化的；如果两个函数的内积为0，那么这两个函数是正交的；如果一组函数即是归一的也是相互正交的，称之它们为正交归一的。
fmfn?
?
mn. 最后，如果存在一组函数，其它任意函数都可以表示为这组函数的线性迭加，那么这组函数是完备的:
f（x）?
?
cnfn（x）. n?
1?
如果函数?
fn（x）?
是正交归一的，上式中的常数可以傅立叶技巧得到：
cn?
fnf, 你可以自己验证一下。
当然，在第二章中我已提起过这种方法的定态在（0,a）区间构成了一个完备正交归一系；谐振子的定态在 （?
?
?
）区间构成了一个完备正交归一系）。
3 技术上讲，一个希尔伯特空间是一个完备的内积空间，平方可积函数的集合只是希尔伯特空间的一个例子?
的确，每一个有限维矢量空间明显是一个希尔伯特空间。
但是既然L2是量子力学的表演舞台，这就是物理学家讲“希尔伯特”空间时的一般意义。
顺便说一下，“完备”一词在这里的意思是希尔伯特空间中任何函数的柯西序列中收敛于一个同样在希尔伯特空间中的函数；这个空间没有“孔洞”，就像所有的实数的集合没有孔洞一样。
。
空间的完备性同一组函数的完备性没有任何关系。
这组函数的完备性是指任何函数都可以表示为这组函数的线性组合。
4 在第二章中，在一些场合，我们被迫使用不可归一化的函数。
这些函数处在希尔伯特空间之外。
你将看到，我们将特别小心地地对待它们。
目前，我将假设，我们遇到的所有函数都是在希耳伯特空间中的。
5 其证明，可参阅和-Nagy所著，函数分析，21节。
对一个有限维矢量空间，Schwarz不等式?
?
2?
?
?
?
?
很容易证明。
但证明过程假设了内积的存 在，而这严格来说正是我们现在试图建立的。
6 除了几个孤立的点,一个函数处处是零，那会是怎样？
它的积分（式）仍然是零，尽管函数本身不为零。
如果这使你困惑，你一定是主修数学的。
在物理学中并不会出现这种变态函数，但是在任何情况下，希耳伯特空间中具有相同平方可积的两个函数被称为是等价的。
技术上讲，希耳伯特空间中的矢量代表函数的等价类。
习题：
证明，全体平方可积函数构成一个矢量空间。
提示：
要点是 证明两个平方可积函数之和也是平方可积的，利用式。
全体可归一化的函数构成一个矢量空间吗？
证明式中的积分满足内积条件。
习题：
v范围取什么值时函数f（x）?
xv是处于希尔伯特空间中的？
假设v是 实数，但不必是正的。
对于特定情况v?
1/2，f（x）在希尔伯特空间吗？
xf（x）呢？
?
d/dx?
f（x）呢？
可观测量 厄密算符 一个可观测量Q（x,p）的期望值可以用内积符号简洁表示出来：
7 ?
?
dx?
?
Q?
?
. Q?
?
?
*Q一次测量的结果应该是实数，这样一来，多次测量值的平均值也应如此：
Q?
Q. 但内积的复共轭颠倒了顺序，因此 *?
?
?
Q?
?
?
?
Q任意波函数?
都满足此式。
因此表示可观测量的算符有非常特殊的性质 ?
?
Qf?
f对任何f（x）成立. fQf我们称这样的算符为厄密算符。
事实上，许多书籍中要求一个表面上看来更强的条件：
?
?
Qf?
g对任意f（x）和g（x）成立. fQg但是忽略表面上的差异，可以证实它与我的定义（式）是完全等价的，具体的你可以在习 题中证明。
因此，两种形式随你用。
本质的一点是厄密算符即可以作用于内积的右侧项也可以作用于左侧项，结果都一样，于厄米算符的期望值是实数，它们很自然出现在量子力学中：
可观测量厄密算符表示. 让我们来验证一下。
例如，动量算符是厄密算符吗？
7?
是算符，它是在Q中通过替代P?
P?
?
（h/i）d/dx构造的。
这些算符是线性的，即对任意函记住Q数f和g及任意复数a和b，有 ?
?
af（x）?
bg（x）?
?
aQf?
（x）?
bQg?
（x）.Q它们构成了空间中全部函数的线性变换。
可是，它们有时也会把希尔伯特空间内的函数变换到空 间之外），在此种情况下算符的域也许要受到限制。
?
?
hdf?
*hdgh*?
?
?
?
?
g fpgfdx?
fg?
?
gdx?
pf?
?
?
?
idx?
?
?
?
?
idx?
i当然，我利用了分部积分，并下列理去掉了边界项：
如果f（x）和g（x）是平方可积的，它们在?
?
必定趋于零。
8注意到在分部积分时i的复共轭伴随着一个负号的产生?
算符ddx不是厄密的，它不能表示可能的可观测量。
?
* ?
?
Qh?
h，那么，对*习题证明如果对于所有的函数h都有hQh?
?
Qf?
g。
提示：
首先设h?
f?
g，然后令h?
f?
ig。
习题 证明两个厄密算符之和仍为厄密算符。
?
是厄密的，?
是一个复数。
在什么条件下?
Q?
也是厄密的？
假设Q在什么条件下两个厄密算符的积也是厄密的？
?
?
x）和哈密顿算符是厄密算符。
证明坐标算符是算符Q?
?
，有习题算符Q?
?
Q?
?
fg . fQg?
?
Q?
?
。
给出x，i，和d/dx的厄密共轭算符。
构建谐振子的升阶算符a?
的厄密共轭算符。
?
?
证明QR?
?
?
?
?
。
?
?
Q?
R定值态 通常的，当你对全同体系组成的系综测量一个可观测量Q，每个体系都处于相同的状态?
，每次测量并不能得到相同的结果—这就是量子力学中的不确定性。
9问题：
是否能够制备一个态使得每一次观测Q都一定得到同样的值？
如果你喜欢，可以称这样的态为可观测量Q的定值态。
?
n时的总能量，必定得到相应的“允许的”能量En。
Q的标准差，在定值态下应该是0，即：
2?
?
Q）2?
?
（?
?
?
（Q Q?
q）2?
?
?
（Q?
q）?
?
（Q?
q）?
?
0.?
?
q是?
以及Q但是其内积为零的唯一函数是0， 8 事实上，这并非完全正确。
正如第一章中提到的，存在平方可积的病态函数，但在无限远处并不为0。
然 而物理学中并不存在这样的函数。
如果你担心这个，我们可以简单限制算符的域，把它们排除在外。
在有限区间中，你要特别小心边界项，算符在?
?
?
是厄密算符。
但在0,?
或?
?
?
?
上并非一定是厄米算符。
如果你怀疑一维无限深方势阱，最可靠的是认为这些波函数是定义在整个一维空间—它们只不过是恰巧在之外等于0。
9 ?
?
?
?
?
?
我所讨论的是理想状态的测量?
实际测量当然总有可能出现失误，导致错误的结果，这与量子力学无关。
所以 ?
?
?
q?
. Q?
的本征值方程；?
是Q?
的一个本征函数，q是相对应的本征值。
因此这称为算符Q ?
的本征函数.定值态是Q 在这种态上测量Q一定能够得到本征值q。
注意到本征值是一个数。
任意本征函数乘以一个常数，仍然是一个具有相同本征值的本征函数。
零不算作是本征函数数都成为它的本征值，因为对所有的算符Q。
但是，零作为本征值却没 有任何不妥之处。
一个算符所有本征值的集合称为这个算符的谱。
有时候两个线性独立的本征函数具有相同的本征值；这种情况下称作谱的简并。
例如，总能量的定值态是哈密顿算符的本征函数：
?
?
?
E?
， H这正是定态薛定谔方程。
在这个意义上我们用字母E表示本征值，小写字母?
表示本征函数。
例题考虑算符 Q?
id, d?
其中?
是通常的二维极坐标。
?
是厄密算符吗？
求出它的本征函数和本征值。
Q解：
这里我们在有限的区域0?
?
?
2?
内研究函数f?
?
?
，并且约定 f（?
?
2?
）?
f（?
）, 因为?
和?
?
2?
描述的是同一个物理点。
用分部积分， ?
?
fQg?
2?
0?
dg?
f?
i?
d?
?
if?
g?
d?
?
?
2?
0?
?
2?
0?
df?
?
?
i?
?
gd?
?
Qfg, ?
d?
?
?
是厄密算符所以Q。
本征方程， i具有一般解 f（?
）?
Ae等式限定了q的可能值 ?
iq?
df（?
）?
qf（?
）, d?
?
iq?
. ?
1 ?
q?
0,?
1,?
2,.. e 这个算符的谱是一系列所有的整数值，并且是非简并的。
?
?
d2d?
2，其中?
是极坐标中的方位角习题考虑算符Q，并且函数同样遵从
?
是厄密算符吗？
求出它的本征函数和本征值。
Q?
的谱是什么？
这个谱是简并吗？
式。
Q 厄密算符的本征函数 我们的注意力从而指向厄密算符的本征函数。
分成两类情况：
如果谱是分立的则本征函数处于希耳伯特空间中并且构成物理上可实现的态。
如果谱是连续的那么本征函数是不可归一化的，并且它们不能代表可能的波函数。
某些算符仅有分立谱，某些仅有连续谱，还有一些既具有分立谱也有连续谱。
分立谱情况较易处理，因为相关的内积一定存在—实际上，这和有限维理论相似。
我们将首先处理分立谱，然后再考虑连续谱。
分立谱 数学上，厄密算符可归一化的本征函数具有两个重要性质：
定理1：
它们的本征值是实数。
证明：
假设 ?
?
qf, Qf?
的本征函数是f（x），本征值为q）,并且10所以在右边q也同样移出）。
但是ff不能是0，所以q?
q?
，因此q是实数。
证毕。
这个结果十分惬意：
如果你对粒子的一个定值态测量一个可观测量，你至少会得到一个实数。
定理2：
属于不同本征值的本征函数是正交的。
证明：
假设 ?
?
qf，Q?
g?
q?
g Qf ?
?
Qf?
g，所以?
是厄密算符。
则有fQgQ?
q?
fg?
qfg 。
但是q是实数，所以如果q?
?
q那么必然有fg?
0。
证毕。
这就是为什么无限深方势阱的定态，或者谐振子的定态，都是正交的—它们是哈密顿具有不同本征值的本征函数。
但是这个性质不独是它们所有，或者仅仅是哈密顿所特有—任何可观测值的定值态都有这一性质。
不幸的是，定理2没有告诉我们任何关于简并态的问题。
不过，如果两个本征函数具有相同的本征值，任何它们线性的组合依然是具有同样本征值的本征函数），而且，在每一个简并的子空间，我们可以利用Gram-Schmidt正交化步骤构建相互正交的本征函数。
（感谢上帝）几乎从不需要直接解这个问题，尽管在原则上我们总是可以做到的。
所以，即使存在简并，本征函数依然可以选择彼此正交，并且在建立量子力学的体系时我们将假定已是如此。
这就允许我们依据基函数的正交归一性使用傅立叶技巧。
在一个有限维的矢量空间，厄密矩阵的本征矢量具有第三个基本性质：
它们张成空间。
不幸的是，其证明不能推广到无限维的空间。
但是这个性质本身对量子力学自洽性是必须的，所以我们把它作为一个公理：
公理：
可观测量算符的本征函数是完备的：
任何函数都 12 可以用它们的线性迭加来表达。
习题 ?
算符的两个具有相同的本征值q的本征函数。
证明任何f和g 假设f（x）和g（x）是Q?
具有相同本征值q的本征函数。
的线性迭加也都是Q验证f?
x?
?
exp?
x?
与g?
x?
?
exp?
?
x?
是算符d2dx2具有相同的本征值的两个本征函数。
构造两个的f和g的线性的组合，使它们在范围内是正交的。
习题 验证例题中厄密算符的本征值是实数。
证明本征函数是正交 的。
对习题中的算符做同样的验证。
连续谱 如果一个厄密算符的谱是连续的，于内积可能不存在，其本征函数是不可归一化的，定理1和2的证明就不成立。
然而，在某种意义上三个基本的性质依然成立。
我想最好能通过特殊的例子来探讨这种微妙的情况。
例求动量算符的本征值与本征函数。
解：
设fp（x）是本征函数，p是本征值：
一般解是 fp（x）?
Aeipx/h?
dfp（x）?
pfpx（）. idx. 对于任何p值，它都不是平方可积的—动量算符在希耳伯特空间内没有本征函数。
然而，如果我们限定于实数本征值，我们的确可以得到一个人为的“正交归一性”。
参看习题和， ?
?
?
?
f（x）fp（x）dx?
A?
p?
2?
?
?
?
ei（p?
p?
）x/?
dx?
A2?
?
?
（p?
p?
）. 2如果我们取A?
1/2?
?
，有 11 ,量子力学原理，OxfordUniversityPress，NewYork。
在一些特殊的情况下完备性是可以证明的。
把一个在有些情况下可以证明的东西叫做“公理”似乎有些不恰当，但是我不知道怎么来更好的处理它。
12 fp（x）?
那么 12?
?
eipx/?
fp?
fp?
?
（p?
p?
）， 明显使人联想到真正的正交归一性求和：
任何函数f（x）都可以写成下列形式 f（x）?
?
?
?
?
c（p）fp（x）dp?
2?
?
?
?
1?
?
?
c（p）eipx/?
dp. 仍然可以利用傅立叶技巧得到展开系数：
fp?
f?
?
c（p）fp?
fpdp?
?
c（p）?
（p?
p?
）dp?
c（p?
）. ?
?
?
?
?
另外，你也可以Plancherel定理得到，这种展开不是别的，正是傅立叶变换。
动量的这个本征函数是正弦曲线，它的波长是 ?
?
2?
?
. p这正是前面的德布罗意公式，我曾承诺在适当的时候给出证明。
这看起来要比德布罗意想象的稍微有一点难解，因为我们现在知道一个粒子具有确定动量实际上并不存在。
不过我们可以做一个归一化的波包，其动量分布在一个狭窄的范围，对这样的波包可以运用德布罗意关系。
?
没有本征函数存在于在希耳伯特空间内，但是其中的一我们拿例题做什么呢？
尽管p部分位于希耳伯特空间的“郊区”附近，并且具有准-归一化的性质。
它们确实不表示可能的物理态，但是它们仍然是很有用的。
13 例题求坐标算符的本征函数与本征值。
解：
设本征函数为gy（x），本征值为y：
xgy（x）?
ygy（x）. 这里y是一个定值，但是x是一个连续的变量。
什么样的x函数具有如下的性质：
用常数y乘以函数与用x乘以函数的结果相同？
明显地，除在x?
y点之外，只能是0；实际上不是别的，就是狄拉克?
函数：
gy（x）?
A?
（x?
y）. 这次本征值必须是实数；本征函数不是平方可积的，但是它们也具有狄拉克正交归一性：
13 本征函数的本征值不是实数会怎样？
这不仅仅是不可归一化的问题——它们实际上在?
?
趋于无 限大。
我所说的希耳伯特空间“郊区”的函数具有如下的性质：
尽管它们没有与自身的内积，但它们与希耳伯特空间中所有成员的内积是存在的。
但这对 ?
的p具有非实数本征值的本征函数不成立。
特别地，我证明对希耳伯特空间中的函数而言，动量算符是厄密算 ?
具有实数本征值的的本征函数，边界项符，但是，证明是基于去掉了边界项。
如果g是p仍然为零，但是，如果本征值具有虚数部分，就非如此。
在这个意义上，任 ?
的本征值，但是只有实数才是厄密算符p?
的本征值—其余的不处在厄密算符p?
的空间。
何复数都是算符p ?
?
?
?
g?
y?
（x）gy（x）dx?
A2?
?
?
?
?
（x?
y?
）?
（x?
y）dx?
A?
（y?
y?
）. 2如果我们取A?
1，就有 gy（x）?
?
（x, ?
y）这样 gy?
gy?
?
（y?
y?
）. 这些本征函数也是完备的：
f（x）?
?
?
?
?
c（y）gy（x）dy?
?
c（y）?
（x?
y）dy, ?
?
?
有 c（y）?
f（y） 。
如果厄密算符的谱是连续的，本征函数是不可归一化的，它们不在希耳伯特空间内并且不能代表可能的物理态；然而，具有实数本征值的本征函数具有狄拉克正交归一性，并且是完备的。
幸运的是，这正是我们所需要的。
习题 （a）从第二章中列举一个仅具有分立谱线的哈密顿。
（b）从第二章中列举一个仅具有连续谱的哈密顿。
（c）从第二章中列举一个既具有分立谱又具有连续谱的哈密顿。
习题无限深方势阱的基态是动量的本征函数吗？
如果是，它的动量是什么？
如果不是，为什么不是？
广义统计诠释 第一章我们介绍了怎样去求一个粒子在某一特定位置出现的几率，以及如何确定任意一个可观测量的期望值。
在第二章中，我们学习了如何求出能量测量的可能结果及其出现的几率。
那么，现在，我们能够来阐述广义统计诠释，这一概念包含了上述内容，而且可使我们计算出任何测量的可能结果以及出现这些结果的几率。
这和薛定谔方程一起构成了量子力学的基础。
广义统计诠释：
如果测量一个处于?
（x,t）态的粒子的可观测量Q（x,p），那么，其结 ?
（x,?
id?
/dx）的一个本征值。
如果Q?
的谱是分立的，得到与正交归一果一定是厄密算符Q本征函数fn（x）相应的本征值qn的几率是 cn, 其中 cn?
fn?
. 2?
的谱是连续的，具有实数本征值q（z）及狄拉克-正交归一的本征函数f（x），则得到如果Qz结果在范围dz的几率是 c（z）dz 其中c（z）?
2zf?
. 测量之后，波函数“坍塌”于相应的本征态。
14 统计诠释与我们在经典物理学中学到的东西完全不同。
从不同的侧面可以帮助我们更好地理解：
一个可观测量的本征函数是完备的，所以波函数可以写作它们的线性迭加：
14 在连续谱的情况下，取决于测量设备的精密程度，坍塌是朝向测量到的值的一个狭窄的范围。
?
（x,t）?
?
cnnnf（x）. 于本征函数是正交归一的， 15 展开系数可傅立叶技巧得出：
cn?
fn?
?
?
fn（x）?
?
（x,t）dx. ?
的一个本征值，定性上来说，cn告诉我们“?
中包含有多少fn”，并且一次测量一定给出算符Q它看起来是合理的，得到某一特定本征值qn的几率应该取决于?
中“包含fn的量”。
但是，因为几率是波函数的模平方决定的，其精确度量实际上是cn。
这才是广义统计诠释的精髓所在。
16 当然，总的几率必须是1：
2 ?
cn?
1, n2这也可以从波函数归一化得出：
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
cn?
fn?
?
?
?
cnfn?
?
?
?
cn?
cnfn?
fn n?
n?
n?
?
?
n?
?
?
?
?
?
cn?
cn?
n?
n?
?
cncn?
?
cn. n?
nnn2类似地，Q的期望值应该是任何可能性的本征值与本征值出现几率的乘积的求和：
Q?
的确 ?
qncn. n2?
?
?
?
Q?
?
Q?
?
?
?
?
cfQcf?
?
n?
n?
?
?
nn?
?
n?
?
?
n?
2?
?
qf，所以但是Qfnnn Q?
?
?
cn?
?
cnqnfn?
fn?
?
?
cn?
?
cnqn?
n?
n?
?
qncn. n?
nn?
nn不管怎样，到此为止，所有的结果是一致的。
那么，我们能不能用现在的语言对原先的位置测量的统计诠释重新论述呢？
当然可以—这有点絮叨，但值得检验。
测量一个处于?
态的粒子的x其结果一定是坐标算符的一个本征值。
在例题中，我们发现每个实数y都是x的一个本征值，相应的本征函数是 gy（x）?
?
（x?
y）。
显然有 c（y）?
gy?
?
?
?
?
?
?
（x?
y）?
（x,t）dx?
?
（y,t）, 2所以，获得结果处于某一范围dy的几率就是?
（y,t）dy，这也正是原先的统计诠释。
1516 注意时间依赖性—此处没有讨论这个问题—体现在展开系数中；如果明显写出应为cn（t）。
再次，我小心地避开常见的论述“cn 2 是粒子处于fn态的概率。
”这毫无意义。
粒子是处于态?
。
而cn 2 2 是测量Q的值得到q的概率。
这种测量会使态坍塌向本征函数fn。
所以正确说法是“cn的粒子在测量Q值后将处于fn态的几率”…但是这是完全不同的论述。
是处于?
态
动量又如何呢？
在例题中我们发现动量算符的本征函数是 fp（x）?
（1/2?
?
）?
exp（ipx/?
），所以 ?
?
?
c（p）?
fp?
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2?
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1?
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e?
ipx/?
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（x,t）dx. 这是非常重要的一个量，我们赋给它一个特殊的名字和记号：
动量空间波函数，?
（p,t）。
它其实就是坐标空间波函数?
（x,t）的傅立叶变换?
根据Plancherel定理，后者又是它的逆变换：
?
（p,t）?
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（x,t）?
2?
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?
根据广义统计诠释，对动量的测量得到结果在dp范围的几率是 22?
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11?
e?
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（x,t）dx; e?
ipx/?
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（p,t）dp. ?
（p,t）dp. 例题一个质量为m的粒子处在?
函数势V（x）?
?
?
?
（x）中。
对其动量进行测量，得到结果比p0?
m?
/?
大的几率是多少？
解：
波函数是 ?
（x,t）?
m?
?
m?
x/?
2?
iEt/?
ee?
22。
因此动量空间的波函数是 3/2?
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m?
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iEt/?
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m?
x/?
22p0e ?
（p,t）?
eeedx?
22?
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p?
p2?
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01。
所以，要求的几率就是 2?
p?
30p0?
11dp?
22（
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