A.
B.
C.
D.
9．函数f（x）＝lg（|x|－1）的大致图象是
10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（－∞，0]上单调递减，则不等式f（lgx）＞f（－2）的解集是
A.
B．（100，＋∞）
C.
D.
∪（100，＋∞）
11．已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝
；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝
（a＞0）．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为
A.
B．5C.
D．2
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
二、填空题：
本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．已知100a＝5，10b＝2，则2a＋b＝__________．
13．函数f（x）＝
的定义域是__________．
14．若函数f（x）＝|2x－2|－m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．
三、解答题：
本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分8分）
（1）计算：
27
－2log23×log2
＋log23×log34；
（2）已知0＜x＜1，且x＋x－1＝3，求x
－x－
的值．
16.（本小题满分10分）
已知A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x－b＝0}，且A∩B＝{2}．
（1）求a，b的值；
（2）设全集U＝A∪B，求（∁UA）∪（∁UB）．
17.（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝b·ax（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）设g（x）＝
－
，确定函数g（x）的奇偶性；
（2）若对任意x∈（－∞，1]，不等式
≥2m＋1恒成立，求实数m的取值范围．
第Ⅱ卷（满分50分）
一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．
18．设所有被4除余数为k（k＝0，1，2，3）的整数组成的集合为Ak,即Ak＝{x|x＝4n＋k，n∈Z}，则下列结论中错误的是（ ）
A.2016∈A0B．－1∈A3
C.若a∈Ak，b∈Ak，则a－b∈A0D.a＋b∈A3，则a∈A1，b∈A2
19．若函数f（x）＝lg（ax－1）－lg（x－1）在区间[2，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是________．
二、本大题共3个大题，共38分．
20．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝x2＋4ax＋2a＋6.
（1）若函数y＝log2f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函数g（a）＝2－a|a＋3|的值域.
21.（本小题满分13分）
今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为：
f（x）＝|log25（x＋1）－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．
（1）若a＝
，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
22.（本小题满分13分）
已知函数f（x）＝
，g（x）＝ax－3.
（1）当a＝1时，确定函数h（x）＝f（x）－g（x）在（0，＋∞）上的单调性；
（2）若对任意x∈[0，4]，总存在x0∈[－2，2]，使得g（x0）＝f（x）成立，求实数a的取值范围．
湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期中考试数学参考答案－（这是边文，请据需要手工删加）
湖南师大附中2016－2017学年度高一第一学期期中考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（满分100分）
一、选择题：
本大题共11小题，每小题5分，共55分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
D
A
C
D
C
B
B
D
A
11.A 【解析】设投资x万元经销甲商品，投资（20－x）万元经销乙商品，总利润为y，则
y＝P＋Q＝
＋
·
，0≤x≤20.
令y≥5，则
＋
·
≥5，即a
≥10－
，
即a≥
对0≤x≤20恒成立．
而f（x）＝
的最大值为
，所以amin＝
，选A.
二、填空题：
本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．1
13.（－∞，0）
14．（0，2） 【解析】令|2x－2|－m＝0，则|2x－2|＝m.据题意，函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝m有两个不同的交点，得0＜m＜2.
三、解答题：
本大题共3个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】
（1）原式＝（33）
－3×log22－3＋log23×log322＝9－3×（－3）＋2＝20.（4分）
（2）因为x＋x－1＝3，则
＝x＋x－1－2＝1.（6分）
因为0＜x＜1，则x
－x－
＝
－
＝
<0，
所以x
－x－
＝－1.（8分）
16．【解析】因为A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B.（3分）
所以8＋2a＋2＝0，且4＋6－b＝0，得a＝－5，b＝10.（5分）
（2）因为A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝
，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}．（7分）
则U＝
，∁UA＝{－5}，∁UB＝
，（9分）
所以（∁UA）∪（∁UB）＝
.（10分）
17．【解析】
（1）由已知，f
（1）＝6，f（3）＝24，则
，（1分）
解得a＝2，b＝3，所以f（x）＝3·2x.（2分）
由题设，g（x）＝
－
＝
＝
·
.（3分）
显然g（x）的定义域为R，又g（－x）＝
·
＝
·
＝－g（x），所以g（x）为奇函数．（6分）
（2）设h（x）＝
＝
，
则当x∈（－∞，1]时，h（x）≥2m＋1恒成立，
所以h（x）min≥2m＋1.（8分）
因为h（x）在R上为减函数，则当x∈（－∞，1]时，hmin（x）＝h
（1）＝
.（10分）
由2m＋1≤
，得m≤－
，
所以m的取值范围是
.（12分）
第Ⅱ卷（满分50分）
一、本大题共2个小题，每小题6分，共12分．
18．D
19.
【解析】因为f（x）＝lg
＝lg
在[2，＋∞）上是增函数，则y＝a＋
在[2，＋∞）上是增函数，所以a－1＜0，
即a＜1.又f（x）在[2，＋∞）上有意义，则当x∈[2，＋∞）时，
ax－1＞0恒成立，即a>
恒成立，所以a>
＝
.
故a∈
.
二、本大题共3个大题，共38分．
20．【解析】
（1）f（x）＝（x＋2a）2＋2a＋6－4a2.（1分）
据题意，f（x）的最小值为4，则2a＋6－4a2＝4，（3分）
即2a2－a－1＝0，即（2a＋1）（a－1）＝0，所以a＝1或－
.（5分）
（2）因为f（x）≥0恒成立，则Δ＝16a2－4（2a＋6）≤0，（6分）
即2a2－a－3≤0，即（2a－3）（a＋1）≤0.所以－1≤a≤
.（7分）
g（a）＝2－a|a＋3|＝2－a（a＋3）＝－a2－3a＋2
＝－
＋
.（9分）
因为g（a）在区间
单调递减，
所以g（a）max＝g（－1）＝4,g（a）min＝g
＝－
.（11分）
所以函数g（a）的值域是
.（12分）
21．【解析】
（1）因为a＝
，则f（x）＝|log25（x＋1）－
|＋2≥2.（2分）
当f（x）＝2时，log25（x＋1）－
＝0，得x＋1＝25
＝5，即x＝4.（3分）
所以一天中晚上4点该市的空气污染指数最低．（4分）
（2）设t＝log25（x＋1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1.（6分）
设g（t）＝
＋2a＋1，t∈[0，1]，
则g（t）＝
.（7分）
显然g（t）在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，
则f（x）max＝max{g（0），g
（1）}.（8分）
因为g（0）＝3a＋1，g
（1）＝a＋2，
法一：
由g（0）－g
（1）＝2a－1>0，得a>
.
所以f（x）max＝
.（10分）
当0时，2<3，符合要求；（11分）
当
.（12分）
故调节参数a应控制在
内．（13分）
法二：
由题：
即
解得0故调节参数a应控制在
内．
22．【解析】
（1）当a＝1时，h（x）＝
－x＋3.
设x1＞x2＞0，则h（x1）－h（x2）＝
－x1－
＋x2
＝
－
－（x1－x2）
＝
－（x1－x2）
＝（x1－x2）
.（2分）
因为
>
＝x1，
>
＝x2，
则
＋
>x1＋x2，
得
<1，即
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