全等三角形特殊三角形综合题型中的变与不变学生版教师版含答案.docx
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全等三角形特殊三角形综合题型中的变与不变学生版教师版含答案
全等三角形、特殊三角形综合题型中的变与不变(学生版)
1、典例(母题)
在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,
求证:
(1)△ABE≌△DBC,AE=DC
(2)∠AHD=60。
(3)△AGB≌△DFB,△EGB≌△CFB
(4)
△BGF为等边三角形,GF∥AC
2、变式练习1、如图两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,
求证:
(1)△ABE≌△DBC,AE=DC
(2)直线AE与DC的所夹锐角为60。
3、变式练习2、如图两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,求证:
(1)△ABE≌△DBC,AE=DC
(2)AE与DC所夹锐角为60。
4、变式练习3、
(1).如图1,点C是线段AB上一点,分别以AC,BC为边在
AB的同侧作等边△ACM和△CBN,连接AN,BM.分别取BM,AN的
中点E,F,连接CE,CF,EF.观察并猜想△CEF的形状,并说明理由.
(2).若将
(1)中的“以AC,BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC,BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN,∠ACM=∠BCN.”如图2,其他条件不变,那么
(1)中的结论还成立吗?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
图1图2
5、如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.①若MN=EF,则MN⊥EF;②若MN⊥EF,则MN=EF.你认为正确的是_______.(填序号)
6、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为4,则BE等于().
A.1B.3C.2D.2.5
7、如图,点A在DE上,点F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于().A.DCB.BCC.ABD.AE+AC
5题图6题图7题图
8、已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为边AB的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于点E、F.
当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图
(1)),易证S△DEF+S△CEF=
S△ABC。
当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,在图
(2)和图(3)这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予说明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?
9、如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为AN的中点;
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),
求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
全等三角形、特殊三角形综合题型中的变与不变(教师版)
(含思路导引、参考答案)
1、典例(母题)
在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,
求证:
(1)△ABE≌△DBC,AE=DC
(思路:
充分考虑等边三角形的性质用SAS证)
(2)∠AHD=60。
(思路:
由△ABE≌△DBC,得∠BAG=∠BDF,又∠AGB=∠DGH,根据三角形内角和都等于180。
可推出∠AHD=ABG=60。
)
(3)△AGB≌△DFB,△EGB≌△CFB
(思路:
由已证的△ABE≌△DBC得出相应的一些条件,用ASA证全等)
(5)△BGF为等边三角形,GF∥AC
(思路:
由△AGB≌△DFB得BG=BF;根据平角180度可知∠GBF=60。
)
2、变式练习1、如图两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,
求证:
(1)△ABE≌△DBC,AE=DC
(2)直线AE与DC的所夹锐角为60。
(思路:
同母题思路)
3、变式练习2、如图两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,求证:
(1)△ABE≌△DBC,AE=DC
(2)AE与DC所夹锐角为60。
(思路:
同母题思路)
4、变式练习3、
(1)如图1,点C是线段AB上一点,分别以AC,BC为边在
AB的同侧作等边△ACM和△CBN,连接AN,BM.分别取BM,AN的
中点E,F,连接CE,CF,EF.观察并猜想△CEF的形状,并说明理由.
(思路:
先证△ACN≌△MCB,再证△FCN≌△ECB,得CF=CE,∠FCE=60度)
(2)若将
(1)中的“以AC,BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC,BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN,∠ACM=∠BCN.”如图2,其他条件不变,那么
(1)中的结论还成立吗?
若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
(思路:
不成立,不是等边三角形,只是等腰三角形.△ACN≌△MCB,再证△FCN≌△ECB,得CF=CE)
图1图2
5、如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.①若MN=EF,则MN⊥EF;②若MN⊥EF,则MN=EF.你认为正确的是___①_②___.(填序号)
(思路:
分别过点E、点M作AB、AD的平行线,构造全等的直角三角形,①(HL)、②(ASA))
6、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为4,则BE等于(C).
A.1B.3C.2D.2.5
(思路:
将△BAE绕点B逆时针旋转90度,原四边形ABCD通过割补转换成正方形)
7、如图,点A在DE上,点F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于(C).A.DCB.BCC.ABD.AE+AC
5题图6题图7题图
(思路:
由∠1=∠2,可得∠D=∠B;由∠3=∠2,可得∠ECD=∠ACB;又EC=AC,所以△DEC≌△BAC(AAS),故DE=AB)
8、已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为边AB的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于点E、F.
当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图
(1)),易证S△DEF+S△CEF=
S△ABC。
当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时,在图
(2)和图(3)这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予说明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?
(思路:
图2,成立。
连接CD,充分考虑等腰直角三角形ACB的性质、D为AB中点、∠EDF=90°的条件,证△ECD≌△FBD(AAS),将S△DEF+S△CEF转化为
S△CDB)
(图3,不成立。
连接CD,证△ECD≌△FBD(AAS),则S△DEF=S△CDB+S△CEF
=
S△ABC+S△CEF)
9、如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为AN的中点;
(思路:
证△ADM≌△NEM(ASA/AAS))
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),
求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(思路:
充分考虑等腰直角三角形的特性和已证的△ADM≌△NEM,证△ABC≌△NEC(SAS),进一步可证△ACN为等腰直角三角形)
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
(思路:
在四边形BNEC中,考虑内角和360度,得∠CBN+∠NEC=180度;又∠CBN+∠ABC=180度,故∠NEC=∠ABC,再结合其它条件,可证△ABC≌△NEC(SAS),进一步可证△ACN为等腰直角三角形)