东北师大附中吉林一中学长春11高和松原实验中学等届高三第一次五校联考数学理试题 Word版含答案.docx

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东北师大附中、吉林市第一中学校、长春11高和松原实验中学等2016届高三第一次五校联考

吉林省五校高考高端命题研究协作体

2015－2016学年第一次联合命题数学（理科）试题

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.）

1.已知集合，则=（）

A．B．C．D．

2.复数z＝，则（）

A.|z|＝2B.z的实部为1C.z的虚部为－iD.z的共轭复数为－1＋i

3.下列判断错误的是（）

A．“”是“a

B．命题“”的否定是“”

C．“若a=1，则直线和直线互相垂直”的逆否命题

D．若为假命题，则p，q均为假命题

4.已知f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则f（x）的表达式为（　　）

A．f（x）＝2sin（x＋）B．f（x）＝2sin（x＋）

C．f（x）＝2sin（x＋）D．f（x）＝2sin（x＋π）

5.若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）

A.11B.C.13D.

6.若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（）

A．B．C．D．

7.过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为（）

A．或B．

C．或　D．或

8.在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是（　　）

A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形

9.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，

则函数的零点是（）

A．B．

C．D．

10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.B.C.D.

11.已知双曲线与函数的图象交于点.若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（）

A.B.C.D.

12.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：

和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：

①在内单调递增；

②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；

③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；

④和之间存在唯一的“隔离直线”.

其中真命题的个数有（）

A.个B.个C.个D.个

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填写在横线上）

13.执行如图所示的程序框图，输出的T=．

14.若loga（a2＋1）

15.已知函数，若数列满足

（），且是递增数列，则实数的取

值范围是___________．

16.同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的

底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则的值是．

三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知的三个角的对边分别为，且成等差数列，且．数列是等比数列，且首项，公比为．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元。

距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，

，，，五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：

（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款。

现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；

（）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有95℅以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附：

临界值表参考公式：

，．

19.（本小题满分12分）如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.

（Ⅰ）求证：

AB∥平面MCD；

（Ⅱ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．

（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；

（Ⅱ）经过A,B两点分别作抛物线C的切线，切线与相交于点M．证明

21.（本小题满分12分）已知函数．．

（Ⅰ）若，求函数的最大值；

（Ⅱ）令，讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若，正实数满足，证明．

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．

22.（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：

DE∥AB；

（Ⅱ）求证：

AC·BC＝2AD·CD．

23.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2．

（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos（θ＋）＝的距离的最大值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数f（x）＝|x－1|．

（Ⅰ）解不等式f（x）＋f（x＋4）≥8；

（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：

f（ab）＞|a|f（）．

李大博、王玉梅、李明月

吉林省五校高考高端命题研究协作体

2015－2016学年第一次联合命题数学（理科）答案

一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

D

B

A

D

D

D

D

C

A

C

二．填空题

13.2914.

15.16.

三．解答题

17.解：

（Ⅰ）成等差数列,………………6分

（Ⅱ）………………8分

；2

………………12分

18.解：

（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：

………………………2分

（Ⅱ）由频率分布直方图可得，损失超过4000元的居民共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，损失超过8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户，因此，

的可能取值为0，1，2

,

0

1

2

的分布列为

………………………7分

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

9

39

捐款不超

过500元

5

6

11

合计

35

15

50

（Ⅲ）如图：

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

经济损失不超过

4000元

经济损失超过

4000元

合计

捐款超过

500元

30

捐款不超

过500元

6

合计

（图2）

，

所以有95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元

有关．………………………12分

19.解:

（Ⅰ）证明：

取CD中点O，因为△MCD为正三角形，所以MO⊥CD.

由于平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.又因为AB⊥平面BCD，

所以AB∥MO.又AB⊄平面MCD，MO⊂平面MCD，所以AB∥平面MCD.………………6分

（Ⅱ）连接OB，则OB⊥CD，又MO⊥平面BCD.

取O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示．

OB＝OM＝，则各点坐标分别为C（1,0,0），M（0,0，），B（0，－，0），A（0，－，2）．

＝（－1,0，），＝（－1，－，2）．

设平面ACM的法向量为n1＝（x，y，z），

由得

解得x＝z，y＝z，取z＝1，得n1＝（，1,1）．又平面BCD的法向量为n2＝（0,0,1），

所以cos〈n1，n2〉＝＝.设所求二面角为θ，则sinθ＝.………………12分

20.解：

（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为．

设椭圆的方程为，半焦距为．由已知可得：

解得．所以椭圆的方程为：

．………………4分

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，………………6分

故可设直线的方程为，

由,消去并整理得∴．

∵抛物线的方程为，求导得，

∴过抛物线上两点的切线方程分别是，,

即，，

解得两条切线的交点的坐标为，即，

∴．………………………………12分

21.解:

（Ⅰ）因为，所以，此时，

由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，

故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为．………………4分

（Ⅱ），

所以．

当时，因为，所以．

所以在上是递增函数，

当时，，

令，得．所以当时，；当时，，