高考数学大一轮复习第九章立体几何初步练习文.docx
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高考数学大一轮复习第九章立体几何初步练习文
2019-2020年高考数学大一轮复习第九章立体几何初步练习文
第49课 平面的性质与空间直线的位置关系
A 应知应会
1.给出下列三个命题:
①书桌面是平面;
②有一个平面的长是50m,宽是20m;
③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确命题的个数为 .
2.空间中,可以确定一个平面的条件是 .（填序号）
①两条直线; ②一点和一条直线;
③一个三角形; ④三个点.
3.已知平面α与平面β,γ都相交,那么这三个平面的交线可能有 条.
4.（2016·苏州十中）已知α,β为平面,A,B,M,N为不同的点,a为直线,下列推理错误的是 .（填序号）
①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β;
②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN;
③A∈α,A∈β⇒α∩β=A;
④A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合.
5.如图,点P,Q,R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上,且PQ∩BC=X,QR∩CD=Z,PR∩BD=Y,试探究X,Y,Z三点的关系,并说明理由.
（第5题）
6.在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是棱A'D'的中点.
（1）求异面直线AE和CC'所成角的正切值;
（2）找出直线AE和BA'所成的角.
（第6题）
B 巩固提升
1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）条件.
2.已知l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,给出下列四个命题:
①l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3;
②l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3;
③l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面;
④l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面.
其中正确的命题是 .（填序号）
（第3题）
3.在如图所示的正方体中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角的大小为 .
4.（2016·靖江中学）在空间四边形ABCD中,各边长均为1.若BD=1,则AC的取值范围是 .
5.如图,点P,Q,R分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,BB1,DD1上,试作出过P,Q,R三点的截面图.
（第5题）
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.
（1）求证:
C1,O,M三点共线;
（2）求证:
E,C,D1,F四点共面.
（第6题）
第50课 线面平行与面面平行
A 应知应会
1.已知直线l,m,平面α,且m⊂α,那么“l∥m”是“l∥α”的 （从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）条件.
2.若直线l上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,则直线l与平面α的位置关系是 .
3.在长方体的所有面中,互相平行的面共有 对.
4.给出下列四个命题:
①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一条直线的两个平面互相平行;
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
其中为真命题的是 .（填序号）
5.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为线段A1A,C1B的中点,求证:
EF∥平面ABC.
（第5题）
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC和SC的中点,求证:
平面EFG∥平面BDD1B1.
（第6题）
B 巩固提升
1.（2016·东莞二模）已知平面α,β和直线m,给出以下条件:
①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.由这五个条件中的两个同时成立能推导出m∥β的是 .（填序号）
2.下列命题正确的是 .（填序号）
①若直线a不在平面α内,则a∥α;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若直线l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点;
④平行于同一平面的两条直线可以相交.
3.（2016·南京三模）已知α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不同的直线,l⊥α,m⊂β.给出下列四个命题:
①α∥β⇒l⊥m; ②α⊥β⇒l∥m;
③m∥α⇒l⊥β; ④l⊥β⇒m∥α.
其中正确的命题是 .（填序号）
4.下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出直线AB∥平面MNP的图形是 .（填序号）
（第4题）
5.（2016·合肥模拟改编）如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形.若AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:
平面DMN∥平面BEC.
（第5题）
6.（2015·南通期末）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,CC1=4,M是棱CC1上的一点,N是AB的中点,且CN∥平面AB1M,求CM的长.
（第6题）
第51课 直线与平面、平面与平面的垂直
A 应知应会
1.在一个平面内,和这个平面的一条斜线垂直的直线有 条.
2.已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,l为空间的一条直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的 （从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）条件.
3.已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是 .（填序号）
①若m∥α,n∥α,则m∥n;
②若m⊥α,n⊂α,则m⊥n;
③若m⊥α,m⊥n,则n∥α;
④若m∥α,m⊥n,则n⊥α.
4.已知两条不同的直线a,b与三个不重合的平面α,β,γ,那么能使α⊥β的条件是 .（填序号）
①α⊥γ,β⊥γ; ②α∩β=a,b⊥a,b⊂β;
③a∥β,a∥α; ④a∥α,a⊥β.
5.（2015·扬州期末改编）如图,在三棱锥P-ABC中,D为AB的中点.若PA=PB,且锐角三角形PCD所在平面与平面ABC垂直,求证:
AB⊥PC.
（第5题）
6.（2016·盐城三模）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AB,PC的中点.
（1）求证:
EF∥平面PAD;
（2）求证:
平面PDE⊥平面PEC.
（第6题）
B 巩固提升
1.（2015·泰州期末）若α,β是两个相交平面,则下列命题正确的是 .（填序号）
①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;
②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;
③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;
④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.
2.（2016·贵阳检测）如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是 .（填序号）
①AP⊥PB,AP⊥PC;
②AP⊥PB,BC⊥PB;
③平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC;
④AP⊥平面PBC.
（第2题）
3.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,给出下列四个命题:
①PA⊥BC; ②PB⊥AC;
③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正确命题的个数是 .
4.（2016·济南名校联考）如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下面命题正确的是 .（填序号）
①平面ABD⊥平面ABC;
②平面ADC⊥平面BDC;
③平面ABC⊥平面BDC;
④平面ADC⊥平面ABC.
（第4题）
5.（2016·苏州期末）如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,A1C1与B1D1交于点O.
（1）求证:
A1,C1,F,E四点共面;
（2）若底面ABCD是菱形,且OD⊥A1E,求证:
OD⊥平面A1C1FE.
（第5题）
6.（2016·苏州、无锡、常州、镇江二模）如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,M是AD的中点,N是PC的中点.
（1）求证:
MN∥平面PAB;
（2）若平面PMC⊥平面PAD,求证:
CM⊥AD.
（第6题）
第52课 空间几何体的表面积与体积
A 应知应会
1.若两个球的表面积之比为1∶4,则这两个球的体积之比为 .
2.若圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为 .
3.（2015·南通、扬州、淮安、连云港二调）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3cm,AD=2cm,AA1=1cm,则三棱锥B1-ABD1的体积为 cm3.
（第3题）
4.（2015·泰州二模）若圆柱的侧面积和体积都是12π,则该圆柱的高为 .
5.已知正四棱锥的底面是边长为4cm的正方形,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.
6.（2016·福州质检）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF=.
（1）求证:
AD⊥BE;
（2）若BE=,求三棱锥F-BCD的体积.
（第6题）
B 巩固提升
1.（2016·苏州期末）将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,若这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1+r2+r3= .
（第2题）
2.（2016·南京、盐城、连云港、徐州二模）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=4,AA1=6.若E,F分别是棱BB1,CC1上的点,则三棱锥A-A1EF的体积是 .
3.（2016·扬州中学）有一根高为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为 cm.
4.有一个表面积为12π的圆柱,那么当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为 .
5.（2016·武汉模拟）如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,一只蚂蚁沿侧面CC1D1D从点C出发,经过棱DD1上的一点M到达点A1,当蚂蚁所走的路径最短时.
（1）求B1M的长;
（2）求证:
B1M⊥平面MAC.
（第5题）
6.（2016·广州模拟）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是C1C上的一点.
（1）当CF=2时,求证:
B1F⊥平面ADF;
（2）若FD⊥B1D,求三棱锥B1-ADF的体积.
（第6题）
第53课 立体几何综合
A 应知应会
1.四面体的四个面中最多可以有 个直角三角形.
2.经过平面外一点作与此平面垂直的平面,则这样的平面可以作 个.
3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,下列命题正确的是 .（填序号）
①若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;
②若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;
③若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β;
④若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β.
4.（2016·南昌调研）已知两个不重合的平面α,β和两条不同的直线m,n,下列四个命题不正确的是 .（填序号）
①若m∥n,m⊥α,则n⊥α;
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β;
④若m∥α,α∩β=n,则m∥n.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD=CD=AB,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.
（1）求证:
BC⊥平面PAC;
（2）若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN∶PB的值.
（第5题）
6.如图
（1）,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的一点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFCB,连接A1B,A1P,如图
（2）所示.
（1）若Q为A1B的中点,求证:
PQ∥平面A1EF;
（2）求证:
A1E⊥EP.
图
（1）
图
（2）
（第6题）
B 巩固提升
1.在正四面体ABCD中,E是AB的中点,那么异面直线CE与BD所成角的余弦值为 .
（第2题）
2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在直线 上.
3.（2016·苏州园区调研）已知△ABC为等腰直角三角形,斜边BC上的中线AD=2.若将△ABC沿AD折成60°的二面角,连接BC,则三棱锥C-ABD的体积为 .
（第4题）
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下四个结论:
①直线D1C∥平面A1ABB1;
②直线A1D1与平面BCD1相交;
③直线AD⊥平面D1DB;
④平面BCD1⊥平面A1ABB1.
其中正确的结论是 .（填序号）
5.如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ（0<λ<1）.
（1）求证:
不论λ为何值时,总有平面BEF⊥平面ABC;
（2）当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
（第5题）
6.（2016·西安调研）如图
（1）,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图
（2）中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.
（1）求证:
CD⊥平面A1OC;
（2）当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.
图
（1）
图
（2）
（第6题）
第九章 立体几何初步
第49课 平面的性质与空间直线的位置关系
A 应知应会
1.1 2.③ 3.1,2或3
4.③ 【解析】因为A∈α,A∈β,所以A∈α∩β.由公理知α∩β为经过A的一条直线而不是一个点A,故③错误.
5.【解答】因为P,Q,R三点不共线,
所以P,Q,R三点可以确定一个平面α.
因为X∈PQ,PQ⊂α,所以X∈α.
又X∈BC,BC⊂平面BCD,所以X∈平面BCD,
所以X是平面α和平面BCD的公共点.
同理可证Y,Z也是这两个平面的公共点,
所以点X,Y,Z都在平面α与平面BCD的交线上.故点X,Y,Z共线.
6.【解答】
（1）因为AA'∥BB'∥CC',故AE和AA'所成的锐角∠A'AE就是AE和CC'所成的角.
在Rt△AA'E中,tan∠A'AE==,所以AE和CC'所成角的正切值是.
（2）如图,取B'C'的中点F,连接EF,BF,
则有EFA'B'AB,
所以四边形ABFE是平行四边形,
从而BF∥AE且BF=AE,
所以BF与BA'所成的锐角∠A'BF就是AE和BA'所成的角.
（第6题）
B 巩固提升
1.充分不必要 【解析】若两条直线无公共点,则这两条直线可能异面,也可能平行.若两条直线是异面直线,则这两条直线必无公共点.
2.② 【解析】在空间中,垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,故①错误;两条平行线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,故②正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故③错误;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故④错误.
3.60° 【解析】构造△ACD1,然后再借助长度关系求∠CAD1的大小.
4.（0,） 【解析】如图,△ABD与△BCD均为边长是1的正三角形,当△ABD与△CBD重合时,AC=0;将△ABD以BD为轴进行转动,当A,B,C,D四点共面时,AC=.故AC的取值范围是（0,）.
（第4题）
5.【解答】作法:
（1）连接PQ并延长,交A1B1的延长线于点T;
（2）连接PR并延长,交A1D1的延长线于点S;
（第5题）
（3）连接ST,分别交C1D1,B1C1于点M,N,则线段MN为平面PQR与平面A1B1C1D1的交线;
（4）连接RM,QN,则线段RM,QN分别是平面PQR与平面DCC1D1,平面BCC1B1的交线.
因此,五边形PQNMR即为所求的截面,如图所示.
6.【解答】
（1）因为C1,O,M∈平面BDC1,
且C1,O,M∈平面A1ACC1,
由公理2知,点C1,O,M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,
所以C1,O,M三点共线.
（2）连接A1B,CD1,EF.
因为E,F分别是AB,A1A的中点,
所以EF∥A1B.
因为A1B∥CD1,所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面.
第50课 线面平行与面面平行
A 应知应会
1.既不充分也不必要 【解析】由l∥m可知l∥α或l⊂α;若l∥α且m⊂α,则l∥m或l与m异面.
2.l∥α或l⊂α 【解析】由于l上有三个相异点到平面α的距离相等,则l∥α或l⊂α.
3.3
4.④
5.【解答】如图,取BC的中点G,连接AG,FG.
因为F为C1B的中点,
所以FG∥C1C且FG=C1C.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1AC1C,且E为A1A的中点,
所以FGEA,
所以四边形AEFG是平行四边形,
所以EF∥AG.
因为EF⊄平面ABC,AG⊂平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
（第5题）
6.【解答】如图,连接SB,SD.
因为F,G分别是DC,SC的中点,
所以FG∥SD.
又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1.
又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
（第6题）
B 巩固提升
1.③⑤ 【解析】由③m⊂α与⑤α∥β及面面平行的性质定理可知m∥β.
2.③④ 【解析】当a∩α=A时,a⊄α,故①错误;直线l与α相交时,l上有无数个点不在α内,故②错误;l∥α,l与α无公共点,所以l与α内任意一条直线都无公共点,故③正确;长方体中A1C1与B1D1都与平面ABCD平行,故④正确.
3.①④ 【解析】①由l⊥α,α∥β,得l⊥β.又因为m⊂β,所以l⊥m.②由l⊥α,α⊥β,得l∥β或l⊂β.又因为m⊂β,所以l与m的位置关系不确定.③由l⊥α,m∥α,得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m,所以不能确定l是否垂直于β.④由l⊥α,l⊥β,得α∥β.又因为m⊂β,所以m∥α.
4.①③ 【解析】对于①,该正方体经过直线AB的侧面与平面MNP平行,因此直线AB∥平面MNP;对于②,直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交,因此直线AB与平面MNP相交;对于③,直线AB与MP平行,且直线AB位于平面MNP外,因此直线AB与平面MNP平行;对于④,易知AB与平面MNP相交.
5.【解答】因为N是AB的中点,△ABD为正三角形,所以DN⊥AB.
因为BC⊥AB,所以DN∥BC.
因为BC⊂平面BCE,DN⊄平面BCE,
所以DN∥平面BCE.
因为M为AE的中点,N为AB的中点,
所以MN∥BE.
因为MN⊄平面BCE,BE⊂平面BCE,
所以MN∥平面BCE.
因为MN∩DN=N,
所以平面MND∥平面BCE.
6.【解答】方法一:
如图
（1）,取AB1的中点P,连接NP,PM.
（第6题
（1））
因为N是AB的中点,所以NP∥BB1.
因为CM∥BB1,所以NP∥CM,
所以NP与CM共面.
因为CN∥平面AB1M,平面CNPM∩平面AB1M=MP,所以CN∥MP,
所以四边形CNPM为平行四边形,
所以CM=NP=BB1=CC1=2.
方法二:
如图
（2）,设NC与CC1确定的平面交AB1于点P,连接NP,PM.
（第6题
（2））
因为CN∥平面AB1M,CN⊂平面CNPM,平面AB1M∩平面CNPM=PM,
所以CN∥MP.
因为BB1∥CM,BB1⊄平面CNPM,CM⊂平面CNPM,所以BB1∥平面CNPM.
又BB1⊂平面ABB1,平面ABB1∩平面CNPM=NP,
所以BB1∥NP,所以CM∥NP,
所以四边形CNPM为平行四边形.
因为N是AB的中点,
所以CM=NP=BB1=CC1=2.
第51课 直线与平面、平面与平面的垂直
A 应知应会
1.无数 2.充分不必要
3.② 【解析】①中m,n可以平行、相交或异面;③中n∥α或n⊂α;④中直线n与平面α的位置关系不确定;只有②正确.
4.④ 【解析】由面面垂直的定义及判定定理可得.
5.【解答】因为PA=PB,D为AB的中点,
所以AB⊥PD.
如图,在锐角三角形PCD所在平面内过点P作PO⊥CD于点O.
因为平面PCD⊥平面ABC,平面PCD∩平面ABC=CD,
所以PO⊥平面ABC.
因为AB⊂平面ABC,所以PO⊥AB.
又PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PCD,
所以AB⊥平面PCD.
又PC⊂平面PCD,所以AB⊥PC.
（第5题）
6.【解答】
（1）如图
（1）,取PD的中点G,连接AG,FG.
因为F,G分别是PC,PD的中点,
所以GF∥DC,且GF=DC.
又E是AB的中点,所以AE∥DC,且AE=DC,所以GF∥AE,且GF=AE,
所以四边形AEFG是平行四边形,
故EF∥AG.
又EF⊄平面PAD,AG⊂平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
（第6题
（1））
（2）如图
（2）,因为PD⊥底面ABCD,EC⊂底面ABCD,所以CE⊥PD.
取DC的中点H,连接EH.
因为四边形ABCD是矩形,且AB=2AD,
所以四边形ADHE和四边形BCHE都是正方形,所以∠DEH=∠CEH=45°,
所以CE⊥DE.
又PD,DE⊂平面PDE,PD∩DE=D,
所以CE⊥平面PDE.
因为CE⊂平面PEC,
所以平面PDE⊥平面PEC.
（第6题
（2））
B 巩固提升
1.②④ 【解析】对于①,若两个平面互相垂直,显然在平面β内存在与直线m平行的直线,故①不正确;对于②,m⊥α,m一定与两个平面的交线垂直,所以在平面β内,存在无数条直线与m垂直,故②正确;对于④,若m与两个平面的交线平行或m为交线,显然存在,若m与交线相交,设交点为A,在直线m上任取一点B（异于点A）,过点B向平面β引垂线,垂足为C,则直线BC⊥平面β,在平面β内作直线l垂直于AC,可以证明l⊥平面ABC,则l⊥m,故④正确,③不正确.
2.② 【解析】对于①,由AP⊥PB
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