小学六年级奥数基础教程讲全.docx

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小学六年级奥数基础教程讲全

第一讲比较分数的大小

同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：

分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；

分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

也就是说，

6.借助第三个数进行比较。

有以下几种情况：

（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。

（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。

前一个差比较小，所以m＜n。

（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。

注意，

（2）与（3）的差别在于，

（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。

（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。

新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。

利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。

比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：

“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。

练习1

1.比较下列各组分数的大小：

答案与提示练习1

第二讲巧求分数

我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。

这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。

数。

分析：

若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。

个分数。

分析与解：

因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。

，这个分数是多少？

分析与解：

如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：

这个分数是多少？

于是与例3类似，可以求出

在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？

数a。

分析与解：

分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。

约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉

45-43=2。

求这个自然数。

同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变

例7一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，

分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到

分析与解：

分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加8×2=16。

在例8中，分母应加的数是

在例9中，分子应加的数是

由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：

分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；

分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。

分析与解：

这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。

（2x+2）×3=（x+5）×4，

6x+6=4x+20，

2x=14，

x=7。

练习2

是多少？

答案与提示练习2

5.5。

解：

（53+79）÷（4+7）=12，a=53-4×12=5。

6.13。

解：

（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。

解：

设分子为x，根据分母可列方程

第三讲分数运算的技巧

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

1.凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

2.约分法

3.裂项法

若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。

例7在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。

分析与解：

这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1，而分母不同的

就非常简单了。

括号。

此题要求的是10个数的倒数和为1，于是做成：

所求的10个数是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。

的10和30，仍是符合题意的解。

4.代数法

5.分组法

分析与解：

利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。

分母为n的分数之和为

原式中分母为2～20的分数之和依次为

练习3

8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。

答案与提示 练习3

1.3。

8.2，6，8，12，20，30，42，56。

9.5680。

解：

从前向后，分子与分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有（n-1）个。

分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个）

5671+9=5680（个）。