高三数学下学期第三次模拟考试试题.docx

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高三数学下学期第三次模拟考试试题

2019-2020年高三数学下学期第三次模拟考试试题

棱锥的体积V＝Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知集合A＝{－1，1，2}，B＝{0，1，2，7}，则集合A∪B中元素的个数为________．

2.设a，b∈R，＝a＋bi（i为虚数单位），则b的值为________．

（第5题）

3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的离心率是________．

4.现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．

5.如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为________．

6.已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是________．

7.已知实数x，y满足则的取值范围是________．

8.若函数f（x）＝2sin（2x＋φ）的图象过点（0，），则函数f（x）在上的单调减区间是________．

9.在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中，Sn为{an}的前n项和．若a1＝，且S5＝S2＋2，则q的值为________．

10.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为________．

（第10题）

　　　　　　（第11题）

11.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax（a>1）的图象上，则实数a的值为________．

12.已知对于任意的x∈（－∞，1）∪（5，＋∞），都有x2－2（a－2）x＋a>0，则实数a的取值范围是________．

13.在平面直角坐标系xOy中，圆C：

（x＋2）2＋（y－m）2＝3.若圆C存在以G为中点的弦AB，且AB＝2GO，则实数m的取值范围是________．

14.已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C＝，c＝2.当·取得最大值时，的值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．

15.（本小题满分14分）

如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝，cos∠ACB＝，BC＝13.

（1）求cosB的值；

（2）求CD的长．

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.

（1）求证：

AB∥EF；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：

AF⊥EF.

17.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．

（1）若QF＝2FP，求直线l的方程；

（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1＝λk2？

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

18.（本小题满分16分）

某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆D的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且≥.设∠EOF＝θ，透光区域的面积为S.

（1）求S关于θ的函数关系式，并求出定义域．

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB的长度．

19.（本小题满分16分）

已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，a1＝1，S2＝4，对任意的n∈N*，都有3Sn＋1＝2Sn＋Sn＋2＋an.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若{bn}为等差数列，对任意的n∈N*，都有Sn>Tn.证明：

an>bn；

（3）若{bn}为等比数列，b1＝a1，b2＝a2，求满足＝ak（k∈N*）的n值．

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝＋xlnx（m>0），g（x）＝lnx－2.

（1）当m＝1时，求函数f（x）的单调增区间；

（2）设函数h（x）＝f（x）－xg（x）－，x>0.若函数y＝h（h（x））的最小值是，求m的值；

（3）若函数f（x），g（x）的定义域都是，对于函数f（x）的图象上的任意一点A，在函数g（x）的图象上都存在一点B，使得OA⊥OB，其中e是自然对数的底数，0为坐标原点．求m的取值范围．

密封线

（这是边文，请据需要手工删加）

密封线

____________　号学　　____________　名姓　　____________　级班　　____________　校学

（这是边文，请据需要手工删加）

2017届高三年级第三次模拟考试（三）·数学附加题　第页（共2页）

（这是边文，请据需要手工删加）

2017届高三年级第三次模拟考试（三）

数学附加题21.本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.（本小题满分10分）

如图，圆O的弦AB，MN交于点C，且A为弧MN的中点，点D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的度数．

B.（本小题满分10分）

已知矩阵A＝，若A＝＝，求矩阵A的特征值．

C.（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知点A，点B在直线l：

ρcosθ＋ρsinθ＝0（0≤θ≤2π）上．当线段AB最短时，求点B的极坐标．

D.（本小题满分10分）

已知a，b，c为正实数，且a3＋b3＋c3＝a2b2c2.求证：

a＋b＋c≥3.

【必做题】第22题、第23题．每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，点F（1，0），直线x＝－1与动直线y＝n的交点为M，线段MF的中垂线与动直线y＝n的交点为P.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过动点M作曲线E的两条切线，切点分别为A，B，求证：

∠AMB的大小为定值．

23.（本小题满分10分）

已知集合U＝{1，2，…，n}{n∈N*，n≥2），对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B＝∅，则称（A，B）为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f（n）（视（A，B）与（B，A）为同一组“互斥子集”）．

（1）写出f

（2），f（3），f（4）的值；

（2）求f（n）.

2017届高三年级第三次模拟考试（三）（苏北三市）

数学参考答案

一、填空题

1.5　2.1　3.　4.　5.6　6.（或5.2）　7.　8.（，）　9.　10.　11.　12.（1，5]（或1

二、解答题

15.

（1）在△ABC中，cosA＝，A∈（0，π），

所以sinA＝＝＝.（2分）

同理可得，sin∠ACB＝.（4分）

所以cosB＝cos

＝－cos（A＋∠ACB）

＝sinAsin∠ACB－cosAcos∠ACB（6分）

＝×－×＝.（8分）

（2）在△ABC中，由正弦定理得，AB＝sin∠ACB＝×＝20.（10分）

又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.（12分）

在△BCD中，由余弦定理得，

CD＝

＝

＝9.（14分）

16.

（1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD.（2分）

又因为AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，

所以AB∥平面PDC.（4分）

又因为AB⊂平面ABEF，

平面ABEF∩平面PDC＝EF，

所以AB∥EF.（6分）

（2）因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD.（8分）

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.（10分）

又AF⊂平面PAD，所以AB⊥AF.（12分）

又由

（1）知AB∥EF，所以AF⊥EF.（14分）

17.

（1）因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，

所以F的坐标为（1，0），（1分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x＝my＋1，

代入椭圆方程，得（4＋3m2）y2＋6my－9＝0，

则y1＝，

y2＝.（4分）

若QF＝2PF，则＋2×＝0，

解得m＝，故直线l的方程为x－2y－＝0.（6分）

（2）由

（1）知，y1＋y2＝，y1y2＝，

所以my1y2＝＝（y1＋y2），（8分）

所以＝·＝（12分）

＝＝，

故存在常数λ＝，使得k1＝k2.（14分）

18.

（1）过点O作OH⊥FG于点H，则∠OFH＝∠EOF＝θ，

所以OH＝OFsinθ＝sinθ，

FH＝OFcosθ＝cosθ.（2分）

所以S＝4S△OFH＋4S扇形OEF

＝2sinθcosθ＋4×

＝sin2θ＋2θ，（6分）

因为≥，所以sinθ≥，

所以定义域为.（8分）

（2）矩形窗面的面积为S矩形＝AD·AB＝2×2sinθ＝4sinθ.

则透光区域与矩形窗面的面积比值为

＝＋.（10分）

设f（θ）＝＋，≤θ<.

则f′（θ）＝－sinθ＋

＝＝

＝，（12分）

因为≤θ<，所以sin2θ≤，

所以sin2θ－θ<0，故f′（θ）<0，

所以函数f（θ）在上单调减．

所以当θ＝时，f（θ）有最大值＋，此时AB＝2sinθ＝1（m）．（14分）

答：

（1）S关于θ的函数关系式为S＝sin2θ＋2θ，定义域为；

（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，AB的长度为1m.（16分）

19.

（1）由3Sn＋1＝2Sn＋Sn＋2＋an，得2（Sn＋1－Sn）＝Sn＋2－Sn＋1＋an，

即2an＋1＝an＋2＋an，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an.（2分）

由a1＝1，S2＝4，可知a2＝3.

所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

故{an}的通项公式为an＝2n－1.（4分）

（2）证法一：

设数列{bn}的公差为d，则Tn＝nb1＋d，

由

（1）知，Sn＝n2.

因为Sn>Tn，所以n2>nb1＋d，即（2－d）n＋d－2b1>0恒成立，

所以即（6分）

又由S1>T1，得b1<1，

所以an－bn＝2n－1－b1－（n－1）d＝（2－d）n＋d－1－b1

≥（2－d）＋d－1－b1＝1－b1>0.

所以an>bn，得证.（8分）

证法二：

设{bn}的公差为d，假设存在自然数n0≥2，使得an0≤bn0，

则a1＋（n0－1）×2≤b1＋（n0－1）d，即a1－b1≤（n0－1）（d－2），

因为a1>b1，所以d>2.（6分）

所以Tn－Sn＝nb1＋d－n2＝n2＋n，

因为－1>0，所以存在N0∈N*，当n>N0时，Tn－Sn>0恒成立．

这与“对任意的n∈N*，都有Sn>Tn”矛盾！

所以an>bn，得证.（8分）

（3）由

（1）知，Sn＝n2.因为{bn}为等比数列，且b1＝1，b2＝3，

所以{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列．

所以bn＝3n－1，Tn＝.（10分）

则＝＝＝3－，

因为n∈N*，所以6n2－2n＋2>0，所以<3.（12分）

而ak＝2k－1，所以＝1，即3n－1