z
1
向上
直线
b
x=-西
/b
（-五，
4acb2、
4a）
①当x>-白时，y随x的增大而增大②当x<-2时，y随x的增大而减小
当x=--2a时，
y有最小值，
y最小值=
4acb24a
a<0
?
><
h
iJ一
向下
直线
b
x=-酉
（-~b，
.2
4acb、
4a）
①当x>一在时，y随x的增大而减小②当x<-我时，y随x的增大而增大
当x=-3a时，
y有最大值，
即
y最大值
4acb2
=4a
J
£=O
C<0
;八Kz
।
1、11
CMQ
三.二次函数图象的平移
1.平移步骤:
2
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk,确定其顶点坐标h,k；
⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h,k处，具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.
概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）
温馨提示
二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函
数图像间的平移.
四.二次函数yaxh2k与yax2bxc的比较
22
从解析式上看，yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,
222
b4acbb,4acb
即yax-,其中h一,k.
2a4a2a4a
五.二次函数解析式的三种表示方法
名称
解析式
使用范围
一般式
2
yaxbxc（a0）
已知任意三个点
顶点式
2
ya（xh）k（a0）
已知顶点（h,k）及另,点
交点式
ya（xx1）（xx2）（a0）
已知与x轴的两个交点及另一个点
温馨提示
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有
抛物线与x轴有交点，即b24ac。
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形
式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.
六.二次函数的图象与各项系数之间的关系
抛物线的形状相同，即|a|相同.
2.一次项系数b1由a和对称轴共同决定】
对称轴在y轴的左侧，a,b同号；对称轴在y轴的右侧，a,b异号.
（左同右异b为0时，对称轴为y轴）
3.常数项c
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
七．二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：
y=ax2+bx+c（aw。
，a、b、c都是常数）
1.占b2-4ac>0抛物线与x轴有两个交点
2.△=b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点
3.占b2-4ac<0抛物线与x轴没有交点
①当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；
②当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0.
八.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二
次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c=0的解（从图象上进行判断）.
2.二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解；
在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解.
九.二次函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
☆☆二次函数抛物线简单的图形变换^翁
2
（1）顶点式【ya（xh）k（aw°）]
名称
a
顶点（h,k）
平移
a
（h,k）
JJ
左加右减上加下减
对
称
关于x轴对称
-a
（h，-k）
关于y轴对称
a
（-h,k）
关于原点对称
-a
（-h，-k）
旋转（绕顶点旋转180°）
-a
（h,k）
2
（2）一般式【yaxbxc（aw°）]
2
①平移：
如将二次函数yaxbxc向右平移m（m>0）个单位，再向下平移n（n>0）个单位，得到
222,
ya（xm）b（xm）cnax（2amb）xambmcn
②对称
名称
a、b、c的变化
解析式变化
关于x轴对称
a-—a;b-—b;c一-c
y=ax2+bx+cfy=-ax2-bx-c
关于y轴对称
a—不变；b-—b;c—不
变
y=ax2+bx+cfy=ax2-bx+c
关于原点对称
a-—a;b—M、变；c-—c
y=ax2+bx+cfy=-ax2+bx-c
注：
无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解
二次函数对应练习试题
.选择题
2
1
.二次函数yx4x7的顶点坐标是（）
一..一2一一k..
3.函数ykxk和y—（k0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）
x
2
2
.把抛物线y2x向上平移1个单位，得到的抛物线是（）
22
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5.方程2xx22的正根的个数为（）
x
B.y2（x1）C.y2x1D.y
8.已知抛物线过点A（2,0）,B（-1,0）,与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为（
22
A.yxx2B.yxx2
2八_2c2_32c
C.yxx2或yxx2D.yxx2或yxx2
二.填空题
2
9.二次函数yxbx3的对称轴是x2,则b.
10.已知抛物线y=-2（x+3）2+5,如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是.
11.一个函数具有下列性质：
①图象过点（一1,2）,②当x<0时，函数值y随自变量x的增大而增大;
满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）.
一一__2
12.抛物线y2（x2）6的顶点为C,已知直线ykx3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的
三角形面积为.
22
13.二次函数y2x4x1的图象是由y2xbxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的，贝Ub=,c=.
14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（兀取3.14）.
三.解答题：
5
15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过（1,-6）,且与y轴的交点为（0,-）.
2
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当x为何值时，这个函数的函数值为0?
（3）当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？
口
第15题图
12，一
16.某种爆竹点燃后，其上升图度h（米）和时间t（秒）符合关系式hv0t-gt（02
力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以vo=20米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由^
18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结
算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润，准
备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：
当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综
合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x（元），该
经销店的月利润为y（元）.
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：
“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？
请说明理由.
19.某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高
于40%,经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y=kx+b,且x=70
时，y=50;x=80时，y=40;
（1）求出一次函数y=kx+b的解析式
（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少
时，商场可获得最大利润，最大利润是多少?
二次函数应用题训练
1.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：
y
=-0.1x2+2.6x+43（0（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？
当x在什么范围内时，学生的接受能力
逐步减弱？
（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少?
（3）第几分钟时，学生的接受能力最强?
2.如图，已知4ABC是一等腰三角形铁板余料淇中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在4ABC上截出一
矩形零件DEFG,使EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少？
3.已知锐角△ABC中，边BC长为12,高AD长为8
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K
①求生的值
AK
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式，并求S的最大值
（2）若ABAC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写
出正方形PQMN的边长
4.如图，MBC中,/B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；
点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P.Q同时出发，问经过几秒钟^PBQ的面积
最大？
最大面积是多少？
5.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m,宽AB为2m,以BC所在的直线
为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离
为6m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗？
⑶如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道
吗？
【举一反三】如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m,宽AB为3m,隧道的顶
端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m.
求圆弧AED所在圆的半径
如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5m,宽2.3m,问这辆货运卡车能否通过该隧道
6.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时,
达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：
球出手时，他跳离地面的高度
是多少.
50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡
7.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用
场，设它的长度为xm.
（1）要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m?
（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m?
比较
（1）
（2）的
结果，你能得到什么结论？
8.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）
满足关系：
m=140-2x.
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？
最大销售利润为多少?
y
c的图象如图所示，则点（ac,bc）在
2.
axbx
A.第
A.第
bxc的图象如图所示
D.3
A.ac<0
B.a-b+c>0
C.b=-4aD.关于x的方程ax2+bx+c=0的根是xi=-1,x2=5
8.已知二次函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象如图所示，有下列结论:
①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0其中，正确结论的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
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