初一数学压轴题.docx
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初一数学压轴题
一．解答题（共19小题）
1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：
10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：
d（10）= ，d（10﹣2）= ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（
）=d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
= （a为正数），若d
（2）=，则d（4）= ，d（5）= ，d（）= ；
（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x
3
5
6
8
9
12
27
d（x）
3a﹣b+c
2a﹣b
a+c
1+a﹣b﹣c
3﹣3a﹣3c
4a﹣2b
3﹣b﹣2c
6a﹣3b
2．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算以下各对数的值：
log24= ，log216= ，log264= ．
（2）观察
（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）猜想一般性的结论：
logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：
am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．
3．（2012•沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
4．（2009•佛山）阅读材料：
把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：
（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（
x﹣2）2+
x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．
5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由
（1）、
（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
6．（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：
4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗为什么
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗为什么
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗为什么
8．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
9．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
10．（2015•铁岭一模）已知：
△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：
AF⊥AQ．
11．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：
MB=MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在
（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则
（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗说明理由．
12．（2012•昌平区模拟）
（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=
∠BAD．
求证：
EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=
∠BAD，
（1）中的结论是否仍然成立
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=
∠BAD，
（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
13．（2011•泰安）已知：
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：
AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
14．（2005•扬州）（本题有3小题，第
（1）小题为必答题，满分5分；第
（2）、（3）小题为选答题，其中，第
（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第
（2）小题评分．）
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：
DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系请写出这个等量关系，并加以证明．
注意：
第
（2）、（3）小题你选答的是第2小题．
15．（2012•淮安）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：
如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：
如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
探究发现
（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角 （填“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：
若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
16．（2011•房山区一模）已知：
等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：
PA+PD+PC＞BD．
17．（2010•丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F是否在直线NE上都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，
（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断
（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
18．（2006•西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．
说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明
（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；
②∠BAC=90°（如图）
附加题：
如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．
19．（2006•大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．
说明：
（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明
（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．
1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；
2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．
附加题：
如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．
2016年06月26日9的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共19小题）
1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：
10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：
d（10）= 1 ，d（10﹣2）= ﹣2 ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（
）=d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
= 3 （a为正数），若d
（2）=，则d（4）= ，d（5）= ，d（）= ﹣ ；
（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x
3
5
6
8
9
12
27
d（x）
3a﹣b+c
2a﹣b
a+c
1+a﹣b﹣c
3﹣3a﹣3c
4a﹣2b
3﹣b﹣2c
6a﹣3b
【考点】整式的混合运算；反证法．
【专题】压轴题．
【分析】
（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；
（2）根据d（a3）=d（a•a•a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得
的值；
（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d（5）正确，可以求得d
（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．
【解答】解：
（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；
故答案为：
1，﹣2；
（2）
=
=3；
因为d
（2）=
故d（4）=d
（2）+d
（2）=，
d（5）=d（10）﹣d
（2）=1﹣=，
d（）=d（8×10﹣2）=3d
（2）+d（10﹣2）=﹣；
（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，
d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，
从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
∴d（3）=2a﹣b，
若d（5）≠a+c，则d
（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，
∴d（8）=3d
（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）=d（3）+d
（2）≠1+a﹣b﹣c，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d（5）=a+c．
∴表中只有d（）和d（12）的值是错误的，应纠正为：
d（）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，
d（12）=d（3）+2d
（2）=2﹣b﹣2c．
【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．
2．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算以下各对数的值：
log24= 2 ，log216= 4 ，log264= 6 ．
（2）观察
（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）猜想一般性的结论：
logaM+logaN= loga（MN） （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：
am•an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】
（1）根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；
（2）根据
（1）的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；
（3）设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．
【解答】解：
（1）log24=2，log216=4，log264=6；
（2）log24+log216=log264；
（3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．
证明：
设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，
故可得MN=ab1•ab2=ab1+b2，b1+b2=loga（MN），
即logaM+logaN=loga（MN）．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．
3．（2012•沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：
（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
【考点】完全平方公式．
【专题】压轴题；阅读型；规律型．
【分析】
（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；
（2）首先求得当n=1，2，3，4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和，即可求得答案；
（3）结合
（2），即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和．
【解答】解：
（1）∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：
0=
，
当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：
1=
，
当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：
3=
，
当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：
6=
，
…
∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：
；
（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：
2n；
（3）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：
1+1=2=21，
当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：
1+2+1=4=22，
当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：
1+3+3+1=8=23，
当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：
1+4+6+4+1=16=24，
…
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：
S=2n．
【点评】此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．
4．（2009•佛山）阅读材料：
把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：
（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（
x﹣2）2+
x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．
【考点】完全平方公式．
【专题】压轴题；阅读型．
【分析】
（1）
（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．
【解答】解：
（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：
x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，
x2﹣4x+2=（x+
）2﹣（2
+4）x，
x2﹣4x+2=（
x﹣
）2﹣x2；
（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，
a2+ab+b2=（a+
b）2+
b2；
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，
=（a2﹣ab+
b2）+（
b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），
=（a2﹣ab+
b2）+
（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），
=（a﹣
b）2+
（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，
从而有a﹣
b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，
即a=1，b=2，c=1，
∴a+b+c=4．
【点评】本题考查了根据完全平方公式：
a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．
5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；
16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由
（1）、
（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
【考点】平方差公式．
【专题】压轴题．
【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=202﹣92，同理思考其它的．
【解答】解：
（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；
14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；
17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；
20×20=202﹣02．（4分）
例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，
因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；
所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（5分）
（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92．5分）
（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）
（3）①若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤202=400．（8分）
②若a+b=40，则ab≤202=400．（8分）
③若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤
．（9分）
④若a+b=m，则ab≤
．（9分）
⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且
|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且
|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．（10分）
说明：
给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2分）；
给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．
6．（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个
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