高一数学修三统计学和概率主要知识点梳理.docx

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高一数学修三统计学和概率主要知识点梳理

2.1.1简单随机抽样

一、简单随机抽样的概念

一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。

【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：

（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。

（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。

（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。

（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。

（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。

二、抽签法和随机数法

1、抽签法的定义。

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。

【说明】抽签法的一般步骤：

（1）将总体的个体编号。

（2）连续抽签获取样本号码。

（3）抽签法优点和缺点：

简单易行，当总体个数不多时，是总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这是每个个体有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性，但是总体中的个数较多时，将总体搅拌均匀就比较困难，用抽签法产生的样本代表性差的可能性大。

2、随机数法的定义：

利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。

【说明】随机数表法的步骤：

（1）将总体的个体编号。

（2）在随机数表中选择开始数字。

（3）读数获取样本号码。

1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：

放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。

2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。

3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开业，避免在解题中出现错误。

2.1.2系统抽样

一、系统抽样的定义：

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。

【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：

（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。

（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[

].

（3）预先制定的规则指的是：

在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。

1、在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：

（1）采用随机的方法将总体中个体编号；

（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k（k∈N）；

（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；

（4）按照事先预定的规则抽取样本。

2、在确定分段间隔k时应注意：

分段间隔k为整数，当

不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。

【说明】从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。

2.1.3分层抽样

一、分层抽样的定义。

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。

【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：

（1）分层：

将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。

（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。

二、分层抽样的步骤：

（1）分层：

按某种特征将总体分成若干部分。

（2）按比例确定每层抽取个体的个数。

（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。

（4）综合每层抽样，组成样本。

【说明】

（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。

（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。

（3）各层抽样按简单随机抽样进行。

知识点2简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较

类别

共同点

各自特点

联系

适用

范围

简单

随机

抽样

（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等

（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样

从总体中逐个抽取

总体个数较少

将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取

在起始部分

样时采用简

随机抽样

总体个数较多

系统

抽样

将总体分成几层，

分层进行抽取

分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

总体由差异明显的几部分组成

分层

抽样

1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：

（1）、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。

（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。

（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。

2、分层抽样的优点是：

使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。

２.2.1用样本的频率分布估计总体分布

〈一〉频率分布的概念：

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。

一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。

其一般步骤为：

（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差

（2）决定组距与组数

（3）将数据分组

（4）列频率分布表

（5）画频率分布直方图

频率分布直方图的特征：

（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。

（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。

〈二〉频率分布折线图、总体密度曲线

1．频率分布折线图的定义：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。

2．总体密度曲线的定义：

在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。

它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。

（见课本）

〖思考〗：

１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？

为什么？

２．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？

为什么？

实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．

〈三〉茎叶图

１．茎叶图的概念：

当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。

（见课本P6１例子）

2．茎叶图的特征：

（１）用茎叶图表示数据有两个优点：

一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。

（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。

小结

1．总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。

2．总体的分布分两种情况：

当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。

２.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

<一>、众数、中位数、平均数

1.众数、中位数、平均数的基本概念：

众数：

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；

中位数：

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

平均数：

一组数据的算术平均数,即

2.利用频率分布直方图求样本数据的数字特征：

（1）众数是最高的矩形的底边的中点；

（2）中位数左右两侧直方图的面积相等；

（3）平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；

3.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但他们能粗略估计其众数、中位数和平均数.

小结

3．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：

a）用样本平均数估计总体平均数。

b）用样本标准差估计总体标准差。

样本容量越大，估计就越精确。

4．平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。

5．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。

3.1随机事件的概率

2、基本概念：

（1）必然事件：

在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；

（2）不可能事件：

在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；

（3）确定事件：

必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

（4）随机事件：

在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

（5）频数与频率：

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn（A）=

为事件A出现的概率：

对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

（6）频率与概率的区别与联系：

随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值

，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。

频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3概率的基本性质

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P119；

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：

P（A∪B）=P（A）+P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）．

2、例题分析：

例1一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?

哪些是对立事件?

事件A：

命中环数大于7环；事件B：

命中环数为10环；

事件C：

命中环数小于6环；事件D：

命中环数为6、7、8、9、10环.

分析：

要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。

解：

A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.

例2抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P（A）=

，P（B）=

，求出“出现奇数点或偶数点”．

分析：

抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．

解：

记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P（C）=P（A）+P（B）=

+

=1

答：

出现奇数点或偶数点的概率为1

例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是

，取到方块（事件B）的概率是

，问：

（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

分析：

事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P（D）=1—P（C）．

解：

（1）P（C）=P（A）+P（B）=

（2）P（D）=1—P（C）=

例4袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为

，得到黑球或黄球的概率是

，得到黄球或绿球的概率也是

，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

分析：

利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．

解：

从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P（B∪C）=P（B）+P（C）=

；P（C∪D）=P（C）+P（D）=

；P（B∪C∪D）=1-P（A）=1-

=

解的P（B）=

P（C）=

P（D）=

答：

得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是

、

、

．

4、小结：

概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P（A）≤1；

2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：

P（A∪B）=P（A）+P（B）；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，于是有P（A）=1—P（B）；

3.互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：

（1）事件A发生且事件B不发生；

（2）事件A不发生且事件B发生；

（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（a）事件A发生B不发生；（b）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

5、练习：

1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品；

2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=

，P（B）=

，求出现奇数点或2点的概率之和。

3．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率。

4．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是

，从中取出2粒都是白子的概率是

，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？

6、评价标准：

1．解：

依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：

（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：

（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。

（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。

2．解：

“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=

+

=

3．解：

（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。

（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。

4．解：

从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为

+

=

3.2古典概型

2、基本概念：

（1）正确理解古典概型的两大特点：

a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；b.每个基本事件出现的可能性相等；

（2）古典概型的概率计算公式：

P（A）=

．

3.小结：

利用古典概型的计算公式时应注意两点：

（1）所有的基本事件必须是互斥的；

（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏。

4、小结：

本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：

（1）古典概型的使用条件：

试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

（2）古典概型的解题步骤；

①求出总的基本事件数；

②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=

（3）随机数量具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中。

（3）在利用古典概型解题是，关键是要求2个值

（1）试验所产生的所有结果的个数。

（即基本事件的总数）

（2）事件A中所包含的基本事件的个数

（4）在求上述2个值时，有2种处理方法

（1）利用列举方法，把试验的所有结果一一都写出来，再

从中找出事件A所包括的结果的个数（课本中的方法）

（2）利用排列和组合以及分步与分类的原理，进行计算

3.3几何概型

2、基本概念：

（1）几何概率模型：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：

P（A）=

；

（3）几何概型的特点：

1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．