教科版高中物理选修34《12单摆》练习.docx

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教科版高中物理选修34《12单摆》练习

高中物理学习材料

（灿若寒星**整理制作）

1.单摆的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方

向的分力，只有在摆角较小时，才满足F＝－

kx，才可看做简谐运动。

2．单摆在平衡位置时速度最大，回复力为零，

但摆球所受合外力不为零。

3．单摆的周期公式T＝2π

，其大小与摆球

质量及振幅无关。

1．单摆

2．单摆的回复力

（1）回复力的来源：

摆球所受重力沿方向的分力。

（2）回复力的特点：

在偏角很小时，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成，方向总指向，即F＝或F＝。

3．单摆做简谐运动的条件

在偏角较小的情况下，单摆做运动。

1．单摆的特点

（1）单摆的理想化特点：

单摆是一个理想化模型。

实际摆在满足以下条件时可看成是单摆。

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，摆线的质量与摆球质量相比小得多，可把摆线看成是不可伸长且没有质量的。

②摆球的大小与摆线长度相比小得多，可把摆球看成是质点。

（2）单摆的运动特点：

①摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都受向心力。

②摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力。

2．单摆的动力学特征

（1）任意位置：

如图1－2－1所示，G2＝Gcosθ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsinθ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力。

（2）平衡位置：

图1－2－1

摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符。

（3）单摆做简谐运动的推证：

在θ很小时，sinθ≈tanθ＝

，

G1＝Gsinθ＝

x，

G1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力

F回＝G1＝－

x＝－kx。

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。

（摆角一般不超过5°）

1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（　　）

A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用

B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大

C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大

D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向

1．影响单摆周期的因素

实验表明，单摆振动的周期与摆球无关，在振幅较小时与无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越。

2．单摆的周期公式

（1）探究单摆周期与摆长的关系：

①制作单摆：

②测量：

用测出单摆做30～50次全振动的时间，计算周期T；用测量摆球直径，用测出摆线长度，求出单摆摆长l；改变摆长，得到多组数据。

③数据处理：

猜测T与l的关系可能，作出T2－l图像，确定关系。

（2）周期公式：

荷兰物理学家发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成，与重力加速度g的二次方根成，他确定为：

T＝，

（3）影响单摆周期的相关因素：

由单摆的周期公式可知，单摆做简谐运动（摆角小于5°）的周期只与和有关，而与振幅和无关，故又叫做单摆的周期。

1．摆长l

（1）实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：

即l＝l′＋

，l′为摆线长，d为摆球直径。

（2）等效摆长：

图1－2－2（a）中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长。

其周期T＝2π

，图（b）中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

图1－2－2

2．重力加速度g

（1）若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝

，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。

另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值。

（2）等效重力加速度：

若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

如图1－2－3所示，此场景中的等效重力加速度g′＝gsinθ。

球静止在O时，FT＝mgsinθ，图1－2－3

等效加速度g′＝

＝gsinθ。

2．两个单摆都做简谐运动，在同一地点甲摆振动20次时，乙摆振动了40次，则（　　）

A．甲、乙摆的振动周期之比为1∶2

B．甲、乙摆的振动周期之比为

∶1

C．甲、乙摆的摆长之比为1∶4

D．甲、乙摆的摆长之比为4∶1

[例1]　下列有关单摆运动过程中的受力说法，正确的是（　　）

A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C．单摆经过平衡位置时合力为零

D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

[思路点拨]　单摆的回复力由摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供，在平衡位置处，摆球位移为零，水平加速度为零。

[自主尝试]　

[借题发挥]　

（1）单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。

单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处。

（2）在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。

（3）在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。

1．对于单摆的运动，以下说法中正确的是（　　）

A．单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D．摆球经过平衡位置时所受加速度为零

[例2]　一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P（如图1－2－4所示），再将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。

图1－2－4

[思路点拨]　

（1）题中给出“摆线偏角θ<5°”说明小球的运动为简谐运动；

（2）从图中看出这不是一个完整的单摆，是由两个单摆构成，所以周期应是两个单摆周期的合成。

[自主尝试]　

[借题发挥]　

有关单摆周期问题的处理方法：

（1）明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件。

（2）在运用T＝2π

时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间。

（3）改变单摆振动周期的途径是：

①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度（如改变单摆的位置或让单摆失重或超重）。

2．用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（　　）

A．不变

B．变大

C．先变大后变小再回到原值

D．先变小后变大再回到原值

[随堂基础巩固]

1．制做一个单摆，合理的做法是（　　）

A．摆线细而长　　　　　　　B．摆球小而不太重

C．摆球外表面光滑且密度大D．端点固定且不松动

2．关于单摆，下列说法中正确的是（　　）

A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置

B．摆球受到的回复力是它的合力

C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比

3．如图1－2－5所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距l－l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为（　　）

A．2π

B．2π

图1－2－5

C．π（

＋

）D．2π

4.如图1－2－6所示，光滑轨道的半径为2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是（　　）图1－2－6

A．C点B．C点右侧

C．C点左侧D．不能确定

[课下请完成课时跟踪训练

（二）]

第2节

单__摆

1.单摆的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方

向的分力，只有在摆角较小时，才满足F＝－

kx，才可看做简谐运动。

2．单摆在平衡位置时速度最大，回复力为零，

但摆球所受合外力不为零。

3．单摆的周期公式T＝2π

，其大小与摆球

质量及振幅无关。

1．单摆

2．单摆的回复力

（1）回复力的来源：

摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力。

（2）回复力的特点：

在偏角很小时，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－

x或F＝－kx。

3．单摆做简谐运动的条件

在偏角较小的情况下，单摆做简谐运动。

1．单摆的特点

（1）单摆的理想化特点：

单摆是一个理想化模型。

实际摆在满足以下条件时可看成是单摆。

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，摆线的质量与摆球质量相比小得多，可把摆线看成是不可伸长且没有质量的。

②摆球的大小与摆线长度相比小得多，可把摆球看成是质点。

（2）单摆的运动特点：

①摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都受向心力。

②摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力。

2．单摆的动力学特征

（1）任意位置：

如图1－2－1所示，G2＝Gcosθ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsinθ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力。

（2）平衡位置：

图1－2－1

摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符。

（3）单摆做简谐运动的推证：

在θ很小时，sinθ≈tanθ＝

，

G1＝Gsinθ＝

x，

G1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力

F回＝G1＝－

x＝－kx。

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。

（摆角一般不超过5°）

1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是（　　）

A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用

B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大

C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大

D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向

解析：

单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力作用，故A错。

重力垂直于摆线的分力提供回复力。

当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，拉力等于重力沿摆线的分力大小，则拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故C、D错，B对。

答案：

B

1．影响单摆周期的因素

实验表明，单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长。

2．单摆的周期公式

（1）探究单摆周期与摆长的关系：

①制作单摆：

②测量：

用停表测出单摆做30～50次全振动的时间，计算周期T；用游标卡尺测量摆球直径，用米尺测出摆线长度，求出单摆摆长l；改变摆长，得到多组数据。

③数据处理：

猜测T与l的关系可能，作出T2－l图像，确定关系。

（2）周期公式：

荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，他确定为：

T＝2π

。

（3）影响单摆周期的相关因素：

由单摆的周期公式可知，单摆做简谐运动（摆角小于5°）的周期只与摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球的质量无关，故又叫做单摆的固有周期。

1．摆长l

（1）实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：

即l＝l′＋

，l′为摆线长，d为摆球直径。

（2）等效摆长：

图1－2－2（a）中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长。

其周期T＝2π

，图（b）中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

图1－2－2

2．重力加速度g

（1）若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝

，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。

另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值。

（2）等效重力加速度：

若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态），则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

如图1－2－3所示，此场景中的等效重力加速度g′＝gsinθ。

球静止在O时，FT＝mgsinθ，图1－2－3

等效加速度g′＝

＝gsinθ。

2．两个单摆都做简谐运动，在同一地点甲摆振动20次时，乙摆振动了40次，则（　　）

A．甲、乙摆的振动周期之比为1∶2

B．甲、乙摆的振动周期之比为

∶1

C．甲、乙摆的摆长之比为1∶4

D．甲、乙摆的摆长之比为4∶1

解析：

由题意知20T甲＝40T乙，故T甲∶T乙＝2∶1，A、B错；而T＝2π

，所以l甲∶l乙＝T

∶T

＝4∶1，C错，D对。

答案：

D

[例1]　下列有关单摆运动过程中的受力说法，正确的是（　　）

A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C．单摆经过平衡位置时合力为零

D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

[思路点拨]　单摆的回复力由摆球重力沿圆弧切线方向的分力提供，在平衡位置处，摆球位移为零，水平加速度为零。

[解析]　单摆是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程中不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动的合外力不仅要提供回复力，还要提供向心力，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，A、D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误。

[答案]　B

[借题发挥]　

（1）单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。

单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处。

（2）在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。

（3）在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。

1．对于单摆的运动，以下说法中正确的是（　　）

A．单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D．摆球经过平衡位置时所受加速度为零

解析：

单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m

，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大有向心加速度，而回复力在最大偏角处最大，平衡位置处为零，故只有C项正确。

答案：

C

[例2]　一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P（如图1－2－4所示），再将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。

图1－2－4

[思路点拨]　

（1）题中给出“摆线偏角θ<5°”说明小球的运动为简谐运动；

（2）从图中看出这不是一个完整的单摆，是由两个单摆构成，所以周期应是两个单摆周期的合成。

[解析]　释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。

摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。

小球在左边的周期为T1＝2π

小球在右边的周期为T2＝2π

则整个单摆的周期为T＝

＋

＝π

＋π

＝1.9π

。

[答案]　1.9π

[借题发挥]　

有关单摆周期问题的处理方法：

（1）明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件。

（2）在运用T＝2π

时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间。

（3）改变单摆振动周期的途径是：

①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度（如改变单摆的位置或让单摆失重或超重）。

2．用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（　　）

A．不变

B．变大

C．先变大后变小再回到原值

D．先变小后变大再回到原值

解析：

单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确。

答案：

C

[随堂基础巩固]

1．制做一个单摆，合理的做法是（　　）

A．摆线细而长　　　　　　　B．摆球小而不太重

C．摆球外表面光滑且密度大D．端点固定且不松动

解析：

单摆虽是模型，但具有很高的实际价值，好多实际摆可看做单摆，可用单摆理论去理解。

答案：

ACD

2．关于单摆，下列说法中正确的是（　　）

A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置

B．摆球受到的回复力是它的合力

C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比

解析：

单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，A对，B错；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点（即指向圆心），C错；另外摆球所受的合力不是回复力，所以与位移大小不成正比，D错。

答案：

A

3．如图1－2－5所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距l－l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为（　　）

A．2π

B．2π

图1－2－5

C．π（

＋

）D．2π

解析：

碰钉子前摆长为l，故周期T1＝2π

，碰钉子后摆长变为l′，则周期T2＝2π

，所以此摆的周期T＝

＋

＝π（

＋

）。

答案：

C

4.如图1－2－6所示，光滑轨道的半径为2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是（　　）图1－2－6

A．C点B．C点右侧

C．C点左侧D．不能确定

解析：

由于半径远远地大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆。

因此周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项A正确。

答案：

A