冀教版四年级数学上册教案第八课时商不变的规律.docx

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冀教版四年级数学上册教案第八课时商不变的规律

2.8商不变的规律

⏹教学内容

教材第20、21页商不变的规律

⏹教学提示

“商不变的规律”是小学数学中的重要基础知识，它是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘除法、分数、比的基本性质等知识的基础。

教材通过实例的分析、比较，使学生掌握商不变时被除数、除数的变化规律，从而抽象概括出商不变的规律。

本节课内容“商不变的规律”是在学生已较好地掌握了多位数除法的计算方法的基础上学习的，因而对于学生来说，要学好这部分知识，发现和探索出商不变的规律难度不是很大，但利用商不变的规律解决生活中的实际问题有一定的难度。

教师要引导学生从身边最熟悉的事例入手，探索怎样利用商不变的规律用类推的数学方法来解决问题。

⏹教学目标

知识与能力

1、商不变的规律：

在除法里，被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。

2、探索商、发现商不变的规律，能运用商不变的规律，进行一些除法的简便计算。

3、通过探究活动，培养合作交流、观察分析、比较综合和归纳概括能力。

过程与方法

在探索规律的过程中，获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。

情感、态度与价值观

在探究活动中感受“变”与“不变”的辩证唯物主义思想，培养初步的数学应用意识，唤起学数学的兴趣。

⏹重点、难点

重点探究商不变的规律和运用规律进行一些除法简算。

难点自主思考、探究、发现、归纳商不变的规律。

⏹教学准备

教师准备：

多媒体课件一套

学生准备：

每生一只计算器

⏹教学过程

（一）新课导入

1、创设情境（课件播放）。

猴王在美丽的花果山为小猴子们分桃子。

猴王说：

“我把6个桃子平均分给2只猴子，……”小猴子们没听完就直叫：

“太少，太少，……”猴王又说：

“我把60个桃子平均分给20只猴子。

”小猴子们听了试着又说：

“能不能再多分一点?

……”猴王又说：

“我拿120个桃子平均分给40只猴子，这回行了吧？

”“不行、不行，……”。

“猴王说：

“我拿240个桃子平均分给80只猴子”，……这时小猴子们笑了，猴王也跟着笑了…… 

2、启发提问，小组讨论。

师：

小猴子为什么总是说不够吃呢？

学生自由发言。

老师归纳：

我们看看每次猴王怎样分的呢？

第一次：

6个桃子平均分给2只猴子

第二次：

60个桃子平均分给20只猴子

第三次：

120个桃子平均分给40只猴子

第四次：

240个桃子，平均分给80只猴子

师：

每次平均每只小猴子分到几个桃子？

（生口答）

师：

为什么桃子越来越多，小猴子几次分到的桃子没有变化呢？

聪明的猴王这里运用了什么数学知识？

这个知识就是我们这节课要探讨的数学奥秘。

（板书课题：

商不变的规律）

设计意图：

通过学生喜爱的故事，引入新课，激发学生投入学习的兴趣，也给学生创设一个宽松的课堂氛围，并引导学生在故事情境中发现问题，提出问题，从而为解决问题做好铺垫。

参考：

习题练习导入法。

师：

出示下面的口算练习，通过练习来观察被除数、除数和商的变化情况，引出课题《商不变的规律》。

一、快速口算。

1、 6÷2＝      

        2、800÷40＝              

60÷20＝                400÷20＝ 

120÷40＝               200÷10＝ 

240÷80＝               80÷4＝ 

设计意图：

通过口算练习，在练习中观察被除数、除数和商的变化情况来引出今天的学习探究主题《商不变的规律》，这样简单直接、直奔主题。

（二）探究新知

1、观察、讨论、探究规律。

师：

同学们，小猴子和猴王都笑了，谁的笑是聪明的一笑，为什么？

（学生思考后回答）

（预设）

生1：

……猴王的笑是聪明的一笑，桃子的总数与猴子的总只数变了，但每只猴子分到的桃子个数没有变。

生2：

……猴王的笑是聪明的一笑，因为猴王把小猴子们给骗了，每只小猴子还是分到3个桃子。

师：

你（们）是怎样看出来的？

从哪儿看出来的？

（预设）  

生：

……（计算的）

师：

能列出算式吧吗？

引导学生列出算式，并结合板书把算式补充完整。

（板书）

6÷2＝3

60÷20＝3　

120÷40＝3

240÷80＝3

师：

请同学们仔细观察这组算式，你发现了什么？

设计意图：

这样设计，给学生思维开放的空间，要比直接引导学生从上往下或从下往上观察预留的思维空间要大，课堂上观察学生反应情况，学生发现不了，再逐步引导。

2、归纳总结规律。

师：

（生独立观察思考）你有重要发现吗？

把你的重要发现说一说好吗？

 （小组交流，师巡视辅导、全班交流汇报 ）

生：

我发现它们的得数都是3，商不变。

师：

她发现一个非常重要的数学现象，商不变。

（板书：

商不变）

师：

商不变，谁发生了变化？

怎样变的？

（预设） 

生：

下面一行的算式是在第一行算式的基础上，被除数和除数同时乘上了10、20和40。

师：

这个同学说了一个很好的词，你们知道是什么词吗？

“同时”是什么意思？

你能说一说吗？

生：

……

师：

“同时”指被除数和除数都乘10、20和40，而不是一个乘，一个除以。

 （预设） 

生2：

前后算式比较……

师：

他用一个非常好的方法发现规律，用两个算式进行比较，这是多好的学习方法呀！

你能像他这样去发现其他算式的一些规律吗？

生：

……

师：

同学们发现那么多的规律，真聪明！

能用一句话概括你发现的规律吗？

生：

……

师：

被除数和除数，同时乘10，2，2、4、……，商不变。

（板书）

师：

同学们刚才是从上往下看，发现了这么重要的规律，那么从下往上看，有规律吗？

（生汇报，师板书）

师：

被除数和除数同时除以40，20、10、……商不变

师：

是不是只有被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商都不变呢？

那你能验证吗？

请你多写几个这样的除法算式吗，看看有没有这个规律。

（生写算式，师出示）

 800÷40=20

 400÷20=20

 200÷10=20

 80÷4=20

师：

请同学们仔细观察这组算式，符合这个规律吗？

（ 生观察，汇报）

师引导：

这里乘和除以的数不一定是整十整百，整千的位数，也可以是2、4、10等，那么我们改成“相同的数”就可以了。

师：

在这里所有数都可以吗？

 （预设）

生：

……（零除外）

师：

为什么要零除外？

生：

因为零乘任何数都得零，零不能当除数。

师：

我们发现的就是重要的“商不变的规律”，这个规律在所有除法中都适用吗？

师：

请请同们列一组算式验证一下。

（验证，指名汇报）

师小结：

看来这个规律对所有除法都适用。

师：

好了现在谁能用一句连贯完整的数学语言把商不变的规律说说。

生总结表述。

设计意图：

这一环节通过学生自主探索、小组合作、全班交流三个层次，引导学生逐步构建“商不变的规律”这一数学知识的模型，让学生经历“发现----探索----构建”的学习过程，培养学生学数学的方法。

3、运用规律解决问题。

师：

利用商不变的规律，可以简化整十整百的数除以整十数的计算。

比如：

650÷40，计算的时候，我们既可以按照原来的方法计算，也可以根据商不变的规律计算。

师：

老师说的上面两种计算方法，你会计算么？

自己试着算一算。

（生尝试计算师巡视指导）

（教师课件动态展示，师生观察对比）

方法一：

方法二：

1616

4065040650

404

25025

24024

101

师：

比较一下，你的两种算法和老师演示的一样吗？

设计意图：

让学生明确利用商不变的规律，把被除数和除数个位上的0划去，表示同时除以10，商不变。

师：

第二种算法，余数是“1”还是“10”？

 （小组讨论，全班交流）

（预设）

生：

余数十位上的1，表示1个十，所以余数应该是10。

设计意图：

此知识点的教学教师采取了对比比较的方法，第一次对比与比较是生自己的答案和教师课件动态演示的结果比较，第二次比较是两种计算方法的比较，找出异同，在比较中明确第二种计算方法余数的1表示1个10。

（三）巩固新知

1、教材第21页“练一练”第1、2题。

2、教材第21页“练一练”第3、4题

3、教材第21页“问题讨论”。

设计意图：

1、通过判断利用商不变的规律的简算的算式是否正确，来检验和检查自己对商不变的规律的理解与运用。

2、在利用商不变的规律简算和解决问题的过程中进一步理解商不变的规律。

3、利用商不变的规律进行整数除法的简算。

（四）达标反馈

1、填空。

（1）两数相除，如果被除数除以5，除数也除以5，商（       ）。

（2）两数相除，如果被除数乘10，要使商不变，除数（        ）。

（3）两数相除，如果除数除以100，要使商不变，被除数（      ）。

（4）两数相除，商是8，余数是4，如果被除数和除数同时乘10，商是（     ），余数是（      ）。

2、判断，下面的计算对吗？

14÷2＝7　　　　　　　　　　　　15÷3＝5　　　

（14×2）÷（2÷2）＝7（　）　　150÷30＝5　　（　）

（14×5）÷（2×3）＝7（　）　　150÷30＝50　（　）

（14×0）÷（2×0）＝7（　）　　1500÷300＝500（　）

3、在○里填运算符号，在□里填适当的数。

（1）16÷8＝（16×2）÷（8×□）

（2）480÷80=（480÷10）÷（80○10）

　（3）150÷25＝（150○□）÷（25○□）

4、列竖式计算：

7800÷600＝            540÷60＝               8800÷80＝

5、一辆汽车每分行600米，7分行多少米？

照这样计算，行42000米需多少分？

答案：

1、

（1）不变

（2）也乘10（3）也除以100（4）84

2、

（14×2）÷（2÷2）＝7（×）　　150÷30＝5　　（∨）

（14×5）÷（2×3）＝7（×）　　150÷30＝50　（×）

（14×0）÷（2×0）＝7（×）　　1500÷300＝500（×）

3、

（1）2

（2）÷（3）×4×4（答案不唯一,4简单些）

4、139110

6007800            60540               808800

6548

1808

188

00

5、70分提示：

600×7=4200（米）42000÷600=70（分）

（五）课堂小结

师：

这节课，你学会了什么，有什么新发现？

数学有趣吗？

师总结：

通过同学们的探索，发现了“商不变规律”，并且那么有用，同学们真了不起！

同时数学不是枯燥的，也是有趣好玩的。

设计意图：

从兴趣的角度唤醒学生的记忆，在数学游戏的猜想、归纳、验证和应用中把本节课所学的知识散点串成线，形成知识的框架结构。

（六）布置作业

1、判断下面各题做得对吗？

2、根据每组中第1题的结果，直接写出其他各题的得数。

（1）42÷6=7

（2）2400÷40=60

420÷60=1200÷20=

210÷30=600÷10=

84÷12=300÷5=

3、如果36÷12=3，那么判断下面各题的对错。

（36×2）÷（12×2）=3   （   ）   

（36×5）÷（12×3）=3    （   ） 

（36÷6）÷（12÷2）=3    （   ） 

（36+12）÷（12+12）=3    （   ）

 （36×7）÷（12×7）=3    （   ） 

（36×0）÷（12×0）=3     （   ）

（36×A）÷（12×A）=3   （A不为0）  （   ） 

（36÷B）÷（12÷C）=3 （B、C都不为0） （   ）

4、在○中填运算符号，在（    ）里填数字。

（78×46）÷（46×2）225÷25

=78÷（）=（225×（））÷（25×4）

=（）=（）÷100

=（）

（42×22）÷（22×3）（56×12）÷（14×12）

=42○（）=56÷（）

=（）=（）

（235÷6）÷（47÷6）（165÷11）÷（33÷11）

=235÷（）=（　）○33

=（）=（）

（288÷9）÷（18÷9）350÷25

=288○（）=（350×（））÷（25×4）

=（）=（）

5、用商不变的规律，计算下面各题。

（1）8000÷125

（2）800÷25

6、甲乙二人从同一天开始看不同的童话故事书，甲看的书有112页，每天看14页，乙看的书有224页，每天看28页。

甲8天看完。

不计算，你能说出乙几天看完这本童话书吗？

答案：

1、

（1）∨

（2）×

2、

（1）42÷6=7

（2）2400÷40=60

420÷60=71200÷20=60

210÷30=7600÷10=60

84÷12=7300÷5=60

3、∨×××∨×∨×

4、23949009÷314144475165÷5÷1816414

5、6432

6、8天

⏹板书设计

⏹教学反思

本课时课教学是按照“观察—猜想—验证—总结—应用”这一再创造过程进行学习。

在两组有关联的口算题的计算、观察中，引导学生发现问题，提出“被除数、除数怎样变，商不变？

”这一假设，然后让学生用列举法验证猜想，再总结得出结论，并完善结论。

通过这一系列完整的知识再创造过程，不仅仅使学生对“商不变规律”有了深刻的感悟和理解，更重要的是对学生进行了数学思想和科学方法的启蒙教育。

新课标提出要让学生人人都学有价值的数学，让不同的学生得到不同的发展。

因此培养学生用数学眼光看待问题，用科学方法探究问题，用数学思想解决问题是促进学生自主发展、形成个性最有效的途径。

经常让学生在生活情境中提出数学问题，其实就是培养学生用数学眼光看待问题。

让学生按知识再创造过程进行学习，其实就是培养学生用科学方法探究问题。

建构主义学习理论告诉我们，学生学习数学的过程不是被动接受的过程而是学习者在自身经验基础上积极主动的构建过程。

因此在这堂课的教学中，提供两组学生会算的口算题，由学生口算，并引导观察算式间被除数、除数、商的“变”与“不变”，然后引导学生发现问题。

在这个过程中，师生互动生成了新的教学内容，再让学生把自己生成的教学内容转化成探究的问题，学生感到非常的亲切，更能积极主动地参与到课堂活动中，充分地调动了学生的积极性。

因此，在平时的教学中，我们教师要努力为学生搭建展示的舞台，让我们的数学课堂呈现出一种开放与生成，向学生提出智慧的挑战，使课堂充满活力。

⏹教学资料包

教学精彩片段

探索“商不变的规律”教学片断

师：

（板书12÷6＝2）今天我们就先来研究这道算式。

如果我们只改变这道算式中的被除数或除数，考 虑一下，商可能会怎样?

生l：

商变了。

生2：

如果只改变被除数，被除数变大，商就会变 大；被除数变小，商就会变小。

生3：

如果只改变除数，除数变大，商就会变小；除数变小，商就会变大。

师：

同学们以前学的知识掌握得真牢靠!

如果我 们同时改变这道算式的被除数和除数，商可能会怎样?

 这个问题可能有点难度，给同学们2分钟时间，举一些例子试试，待会儿我们来交流，好吗?

（学生独立活动2分钟）

生l：

我让被除数和除数同时除以2，算式变成了 6÷3＝2，商不变。

生2：

我让被除数和除数同时加上1，算式变成了 13÷7＝l……6，商变了。

……

 随着交流的进程，教师在黑板上提炼出如下信息：

师：

请大家来观察“商不变”的这一组算式。

商既然没有随着被除数、除数的变化而变化，这其中一定包含着某种规律，那么这个规律是什么呢?

同学们能不能进行一些大胆的猜想?

生l：

我想可能是“被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变”。

生2：

我的猜想是“被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变”。

生3：

我的猜想和前面两个同学一样。

生4：

（迟疑地）我的猜想是“被除数和除数同时减去一个相同的数，商不变”。

生5：

我的猜想是“被除数和除数同时加上一个相同的数，商不变”。

随着学生的回答，教师在黑板上整理成如下板书：

①“被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变”。

②“被除数和除数同时除以一个相同的数，商不变”。

③“被除数和除数同时减去一个相同的数，商不变”。

④“被除数和除数同时加上一个相 同的数，商不变”。

师：

现在我们有四种猜想，你认为哪种猜想可能性更大一些?

生：

①、②的可能性大一些。

生：

①、③的可能性大一些。

……

师：

怎样才能知道哪种猜想是正确的呢?

选择一个你们认为可能性最大的假设，自己举例进行实验，把实验过程填写在课前发给你们的《实验记录》上。

师：

好!

现在我们来交流。

请每个小组选一位小老师到前面来，要汇报三个问题：

一是我们组研究的对象是什么?

二是举了哪三个例子?

三是我们组的结论是什么?

小组l：

我们组选择的是②号猜想，我们举了这样 3个例子…… 

小组2：

我们组选择的是①号猜想，…… 

随着学生的交流，黑板上只留下了①、②两种猜想。

师：

谁能把这两句话合并成一句话?

生：

被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。

师：

刚才，我们以12÷6＝2为例，得出了一条规律，如果要知道这条规律是否具有普遍性，我们还需要怎样?

生：

要验证!

师：

说得好!

请每个同学都任意写一个除法算式， 把它的被除数和除数同时乘相同的数，看看结果变没变?

把它的被除数和除数同时除以一个相同的数，看 看结果变没变?

开始行动吧!

生：

（略） 

师：

刚才，我看到了有一位同学写了这样的一道算 式：

48÷6＝（48×0）÷（6×0）＝0÷0。

这位同学愣在 那儿没法下手了，对此，你有何高见?

生：

这道算式变化后变成了“0÷0”，而除数是不能是0的，我想刚才的结论应添上“0除外”三个字。

师：

是啊!

添上“0除外”这个限制条件，我们总结 出来的规律就具有普遍性了。

这条规律在数学上就叫 “商不变的规律”。

设计意图：

这个教学片段按照“规律的预见、规律的提炼、规律的明晰与规律的延展”等几个大的板块展开， 使整个教学形成一个动态的整体，确保师生活动指向清晰，目标明确。

但在每一板块的具体教学中，教者给学生留下了足够的空间，由学生自创材料、自行探索、 自我矫正、自我完善，并更多地关注课堂教学中的动态生成，关注学生的信息反馈，充分地层开教学过程。

在此过程中，既有学生的观察与思考，又有学生的列举与 表述；既有学生个体的独立思考，又有小组的合作交 流；既有学生的自主探索，又有师生之间、生生之间的立体互动。

在互动过程中，每个学生都得到了均等的 参与机会，每个人的才能都得到充分的展示。

过去我们教学“商不变的规律”，习惯上总是教师准备几道静态的算式，让学生“左顾右 盼”，在此基础上得出规律，随后更多的时间用在了规律的应用上。

此过程少有风险，具有较高的“双基”达成率。

但过于直白的问题，相对简约的过程，使学生获得的除了知识经验的简单叠加外，数学思想、创新意识与实践能力等深层目标很难企及。

本片断中，教者以“12÷6＝2”作为由头，引导学生经历“猜想（被除数和除数可能怎样变化，商不变）—实验 （检验各种猜想的可能性）—结论（归纳出一般规 律）—验证（在更广阔的背景下验证规律的合理性）” 等数学思想的逻辑重演、数学文化的创生过程，使学生体味到人类先哲们向更高文明迈进的雄心与艰辛。

学 生收获的不仅仅是知识层面的，更重要的是心智的启迪与唤醒，催生出为知识世界的完美而不懈努力的愿望，勃发出浓烈的人文情怀。

教学资源

1、判断。

（1）被除数和除数同时乘或除以相同的数（零除外），商不变。

（ ）   

（2）被除数和除数乘或除以相同的数（零除外），商不变。

  （  ）   

（3）  在除法里，被除数乘3，除数除以3，商不变。

   （   ）   

（4）在除法里，被除数乘5，除数除以6，商不变。

   （   ）

2、根据第一个算式的结果直接写得数。

480 ÷ 10 = 48                  360 ÷ 30 = 12   

（480÷2）÷（10÷2）=          （360×□）÷（30×9）=12   

（480÷5）÷（10÷5）=          （360÷□）÷（30÷10）=12    

20÷5=4                       16÷8=2   

（20×6）÷（5×□）=4       （16×□）÷（8×3）=2 

（20÷5）÷（5÷□）=4      （16÷□）÷（8÷4）=2

3、口算。

450÷50=      810÷90=        60÷30=         460÷80= 

1、用商不变的规律计算。

 120÷40      2800÷70       400÷25        7200÷800 

答案：

1、

（1）∨

（2）×（3）×（4）×

2、48489106534

3、9926

4、340169

资料链接

“猜想—验证—归纳—运用”教学模式

猜想、验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。

”因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展，流程如下：

（一）知识迁移—有“理”猜想，激活思维

（二）自主探究—验证猜想，加深理解。

（三）完善发现—归纳整理，内化知识。

（四）应用猜想—用之生活，培养思维。

总之，“猜想—验证—归纳—运用”的小学数学教学模式的运用与新课程倡导自主探究学习的精神相吻合，这样能给多的时空让学生自主探索索，动手操作与合作交流，使学生思维更主动、更灵活、更广阔、更深刻、更有利于良好的思维品质的培养，更有利于学生思维的系统性和深刻性，更有利于学生的未来发展。

类比推理

类比推理是根据两个（ 或两类） 不同的对象在某些方面（ 属性、关系、特征、形式等） 有相同或相似性, 猜测它们在其他方面也可能相同或相似, 即把信息从一个对象转移到另一个对象, 并作出某种判断的推理方法。

类比的实质就是信息从模型向原型的转移, 恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。

说课设计

（1）教材分析

教材的地位与作用：

“商不变的规律”是一种函数思想，学生以前没有接触过，它是在学生学习了三位数除以两位数笔算除法和积的变化规律的基础上进行教学的，在小学数学中占有很重要的地位。

同时它也是学习被除数、除数末尾有0的除法的简便运算的根据，也是今后学习小数除法、分数、比的基本性质的依据。

本课教材的知识结构呈现为：

（1）计算出示的两组除法算式，并且细心观察找出算式的规律。

（2）把观察出的规律用自己的语言表达出来，归纳规律。

（3）运用商不变规律，尝试进行一些除法运算的简便计算。

教材是学习内容的主要载体，也是学生学习的基本材料。

教材中利用学生已有的计算技能，通过比较，提出问题引导学生思考发现商不变的规律。

这部分内容不但可巩固所学的计算知识，同时能培养学生初步抽象概括能力以及善于观察、勤于思考、勇于探索的良好习惯。

（2）学情分析

本课时教学内容是在学生已较好地掌握了多位数除