第三章13可线性化的回归分析.docx
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第三章13可线性化的回归分析
可线性化的回归分析
[学习目标]
1．进一步体会回归分析的基本思想．
2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．
[知识链接]
1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型
答 首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．
2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程
答 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．
（
[预习导引]
1．非线性回归分析
对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．
2．非线性回归方程
曲线方程
曲线图形
公式变换
变换后的线性函数
y＝axb
·
c＝lna
v＝lnx
u＝lny
u＝c＋bv
y＝aebx
c＝lna
u＝lny
u＝c＋bx
y＝ae
.
c＝lna
v＝
u＝lny
u＝c＋bv
y＝a＋blnx
v＝lnxu＝y
u＝a＋bv
#
要点一 线性回归分析
例1 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
…
39
54
（1）由数据易知y与x具有线性相关关系，若b＝，求线性回归方程y＝a＋bx；
（2）据此模型预报广告费用为4万元时的销售额．
解
（1）
＝
＝，
＝
＝42，
∴a＝
－b
＝42－×＝
∴回归直线方程为y＝＋.
（2）当x＝4时，y＝＋×4＝，
故广告费用为6万元时销售额为万元．
跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温（x）与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日（y）的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：
￥
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
x/℃
）
y/日
19
6
1
10
1
-
8
（1）对变量x，y进行相关性检验；
（2）据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．
解 制表.
i
1
2
3
4
5
{
6
xi
yi
19
…
6
1
10
1
8
≈，
y2＝563，
＝，
x
＝5，
xiyi＝1
（1）r＝
≈－8.
由|r|＞，可知变量y和x存在很强的线性相关关系．
（2）b＝
≈－，a＝
－b
≈.所以，线性回归方程为y＝－.当x＝27时，y＝－×27＝.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日．
"
要点二 可线性化的回归分析
例2 在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y（g/min）与一种催化剂的量x（g）有关，现收集了8组观测数据列于表中：
催化剂的量x/g
15
18
21
24
27
30
33
\
36
化学物质的反应速度y（g·min－1）
6
8
30
27
70
205
65
350
解 根据收集的数据，作散点图（如图），根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定的参数．
令z＝lny，则z＝lny＝lnc1＋c2x，
即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx（a＝lnc1，b＝c2）的周围．
由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：
x
15
18
21
24
!
27
30
33
36
z
，
作出z与x的散点图（如图）．
由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合．
由z与x的数据表，可得线性回归方程：
z＝＋，
所以y与x之间的非线性回归方程为
y＝e－＋.
*
规律方法 可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．
跟踪演练2 电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt（b＜0）表示，现测得时间t（s）时的电压U（V）如下表：
t/s
0
1
2
3
4
5
6
（
7
8
9
10
U/V
100
75
55
40
30
$
20
15
10
10
5
5
试求：
电压U对时间t的回归方程．（提示：
对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题）
解 对U＝Aebt两边取对数得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x的数据如下表：
x
0
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
{
y
/
根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y与x具有较强的线性相关关系，由表中数据求得
＝5，
≈，进而可以求得b≈－，
a＝
－b
＝，所以y对x的线性回归方程为y＝－.
由y＝lnU，得U＝ey，U＝－＝·e－，因此电压U对时间t的回归方程为U＝·e－.
要点三 非线性回归模型的综合应用
例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm
60
【
70
80
90
100
110
体重y/kg
-
身高x/cm
120
130
140
150
160
170
体重y/kg
（
试建立y与x之间的回归方程．
解 根据题干表中数据画出散点图如图所示．
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny.
*
x
60
70
80
90
100
110
120
130
140
￥
150
160
170
z
&
画出散点图如图所示．
由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：
z＝＋，则有y＝＋.
规律方法 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．
*
跟踪演练3 对两个变量x，y取得4组数据（1，1），（2，，（3，，（4，，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：
甲 y＝＋1，
乙 y＝－＋＋，
丙 y＝－·＋，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．
解 甲模型，当x＝1时，y＝；当x＝2时，y＝；
当x＝3时，y＝；当x＝4时，y＝.
乙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝；
当x＝3时，y＝；当x＝4时，y＝.
丙模型，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝；
当x＝3时，y＝；当x＝4时，y＝.
观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.
1．在一次试验中，当变量x的取值分别为1，
，
，
时，变量y的值分别为2，3，4，5，则y与
的回归方程为（ ）
A．y＝
＋1B．y＝
＋3
C．y＝2x＋1D．y＝x－1
答案 A
解析 由数据可得，四个点都在曲线y＝
＋1上．
2．某种产品的广告费支出与销售额（单位：
百万元）之间有如下对应数据：
广告费
2
~
4
5
6
8
销售额
30
40
60
50
70
@
则广告费与销售额间的相关系数为（ ）
A．B．0.919C．D．
答案 B
3．根据统计资料，我国能源生产发展迅速．下面是我国能源生产总量（单位：
亿吨标准煤）的几个统计数据：
年份
1996
2001
2006
2011
产量
·
根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种（ ）
A．y＝ax＋b（a≠0）B．y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
C．y＝ax（a>0且a≠1）D．y＝logax（a>0且a≠1）
答案 A
4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________.
x/万元
）
2
4
5
6
8
y/万元
30
40
60
50
?
70
答案 （6，50）
一、基础达标
1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据．根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y＝＋，那么表中t的值是（ ）
x
3
4
5
6
，
y
t
4
A.4.5B．4C．3D．
答案 C
2．下列数据x，y符合哪一种函数模型（ ）
x
1
$
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
。
2
3
4
】
＝2＋
xB．y＝2ex
C．y＝2e
D．y＝2＋lnx
答案 D
解析 取x＝1，2，…，10分别代入各解析式判断．
3．指数曲线y＝aebx的图像为（ ）
答案 B
解析 ∵y＝aebx，∴a＞0时y＞0，排除A、C，且x∈R，排除D，选B.
4．为研究广告费用x与销售额y之间的关系，有人抽取了5家餐厅，得到的数据如下表：
广告费用x/千元
*
销售额y/千元
^
在同一坐标系中画散点图，直线L：
y＝24＋，曲线C：
y＝
，如图所示．更能表现这组数据之间的关系的是（ ）
A．直线L
B．曲线C
C．直线L和曲线C都一样
D．无法确定
答案 B
5．已知线性回归方程的斜率的估计值是，样本点的中心为，5），则线性回归方程是__________．
答案 y＝＋
]
解析 在回归方程中，已知b＝，则a＝
－b·
＝.
6．对于回归方程y＝257＋，当x＝28时，y的估计值是__________．
答案 390
解析 当x＝28时，y＝257＋×28＝390，∴y的估计值为390.
7．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与消光系数读数结果如下.
尿汞含量（xi）
2
4
6
8
\
10
消光系数（yi）
64
138
205
285
360
（1）画出对应数据的散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）根据
（2）的结果，估计当xi为12mg/L时的消光系数yi.
【
解
（1）
（2）y＝－＋.
（3）当xi＝12时代入y＝－＋，得yi＝432.
二、能力提升
8．观察下图中的4个散点图，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
答案 B
解析 在研究两个变量之间的关系时，可以根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．这种方法既直观又方便，因而对解决相关性检验问题比较常用．
\
9．下表是某厂1～4月份用水量（单位：
百吨）的一组数据，
月份x
1
2
3
4
用水量y
4
3
'
由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－＋a，则a＝__________．
答案
解析
＝，
＝，b＝－，
∴a＝＋×＝.
10．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r＜0，则在以（
，
）为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第__________象限．
答案 二、四
解析 ∵r＜0时b＜0，
∴大多数点落在第二、四象限．
11．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
（
x
1
2
4
y
16
12
5
$
2
1
试建立y与x之间的回归方程．
解 根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝
，令t＝
，则
y＝kt，原数据变为
t
4
2
1
{
y
16
12
5
2
1
由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：
序号
》
ti
yi
tiyi
t
y
1
4
16
64
16
#
256
2
2
12
24
4
144
3
1
5
。
5
1
25
4
2
1
4
5
、
1
5
1
∑
36
5
[
430
∴
＝，
＝.
b＝
≈4.
a＝
－b
≈.∴y＝＋.
∴y与x的回归方程是y＝＋
.
12．某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表.
气温/℃
26
18
13
~
10
4
－1
杯数
20
24
34
38
50
64
（
画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．
解 画出散点图如图所示．
＝
（26＋18＋13＋10＋4－1）≈，
＝
（20＋24＋34＋38＋50＋64）≈，
xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，
x
＝262＋182＋132＋102＋42＋（－1）2＝1286，
y
＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，
由r＝
可得r≈.
}
由于r的值较大，所以x与y具有很强的线性相关关系．
三、探究与创新
13．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm
60
70
80
90
100
110
?
体重y/kg
身高x/cm
120
130
140
150
160
170
体重y/kg
（1）试建立y与x之间的回归方程；
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的倍为偏胖，低于倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为82kg的在校男生体重是否正常
解
（1）根据表中的数据画出散点图（如图所示）．
由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，得下表：
X
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
Z
作出散点图如图所示．
由表中数据可得z与x之间的线性回归方程为
z＝＋，则有y＝＋.
（2）当x＝175时，预测平均体重为
y＝＋×175≈，
由于×≈＜82，
所以这个男生偏胖．
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