三角形三线专题.docx

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三角形三线专题

1. 三角形的三线：

（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________． 

（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________． 

（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________． 

一．选择题（共9小题）

1．如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（　　）

A．

AF、CD、CE

B．

AF、CE、CD

C．

AC、CE、CD

D．

AF、CD、CE

2．下列说法中正确的是（　　）

A．

三角形三条高所在的直线交于一点

B．

有且只有一条直线与已知直线平行

C．

垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

D．

从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离

3．△ABC中BC边上的高作法正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（　　）

A．

锐角三角形

B．

直角三角形

C．

钝角三角形

D．

任意三角形

5．不一定在三角形内部的线段是（　　）

A．

三角形的角平分线

B．

三角形的中线

C．

三角形的高

D．

以上皆不对

6．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（　　）

A．

2cm

B．

3cm

C．

4cm

D．

6cm

7．下列说法中正确的是（　　）

A．

三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部

B．

三角形中至少有一个内角不小于60°

C．

直角三角形仅有一条高

D．

三角形的外角大于任何一个内角

8．三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是（　　）

A．

①②

B．

①③

C．

②④

D．

③④

9．（2015春•无锡校级月考）下列说法正确的是（　　）

①三角形的角平分线是射线；

②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；

③三角形的三条高都在三角形内部；

④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．

A．

①②

B．

②③

C．

③④

D．

②④

二．填空题（共2小题）

10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是　　　　　　cm．

11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE=　　　　　　cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC=　　　　　　．

三．解答题（共10小题）

12．已知：

∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是　　　　　　；

②当∠BAD=∠ABD时，x=　　　　　　；当∠BAD=∠BDA时，x=　　　　　　．

（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？

若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

13．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：

（1）BE=　　　　　　=

　　　　　　．

（2）∠BAD=　　　　　　=

　　　　　　．

（3）∠AFB=　　　　　　=　　　　　　．

（4）S△AEC=　　　　　　．

14．如图

（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．

（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．

（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=

（∠C﹣∠B）．

（3）．如图

（2）若将点A在AD上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，

（2）中的结论还正确吗？

为什么？

15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，

（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．

（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）

16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．

17．已知：

如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．

18．如图

（1），AD是△ABC的高，如图

（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：

（1）如图

（1），∠　　　　　　=∠　　　　　　=90°；S△ABC=　　　　　　；

（2）如图

（2），∠BAE=∠　　　　　　=

∠　　　　　　；

（3）如图（3），BF=　　　　　　=

　　　　　　；S△ABF=　　　　　　．

19．如图，完成下面几何语言的表达．

①∵AD是△ABC的高（已知）；

∴AD⊥BC，∠　　　　　　=　　　　　　=　　　　　　°．

②∵AE是△ABC的中线（已知），

∴　　　　　　=　　　　　　=

　　　　　　，

　　　　　　=2　　　　　　=2　　　　　　；

③∵AF是△ABC的角平分线（已知），

∴∠　　　　　　=∠　　　　　　=

∠　　　　　　，

∠　　　　　　=2∠　　　　　　=2∠　　　　　　．

20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：

（1）当

=

=

时，有

=

；

（2）当

=

=

时，有

=

；

（3）当

=

=

时，有

=

；

①当

=

时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；

②若

=

，且AD=18，求AO．

点评：

本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．

已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：

（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积　　　　　　△ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）

（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：

连接AO，由AD=DB得：

S△ADO=S△BDO，同理：

S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：

S△ABE=

S△ABC=30，S△ADC=

S△ABC=30，可列方程组为：

，解得　　　　　　，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为　　　　　　．

（3）如图3，AD：

DB=1：

3，CE：

AE=1：

2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．

答案

一．选择题（共9小题）

1．（2015•楚雄州校级模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（　　）

A．

AF、CD、CE

B．

AF、CE、CD

C．

AC、CE、CD

D．

AF、CD、CE

考点：

三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有

分析：

根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．

解答：

解：

在△ABC中，BC边上的高是AF；在△BCE中，BE边上的高CE；在△ACD中，AC边上的高分别是CD；

故选B

点评：

本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．

2．（2015春•东平县校级期末）下列说法中正确的是（　　）

A．

三角形三条高所在的直线交于一点

B．

有且只有一条直线与已知直线平行

C．

垂直于同一条直线的两条直线互相垂直

D．

从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离

考点：

三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有

分析：

A正确，即三角形的垂心；B应有无数条因此错误；C在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行所以错误；D中语言错误线段不能叫距离．

解答：

解：

B中应为：

有无数条直线与已知直线平行，故B错；

C中应为：

在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C错，

D中应写成垂线段长度；

A正确．

故选A．

点评：

本题考查了三角形的垂心知识和一些几何基础知识，做题时注意严格对比概念．

3．（2015春•邢台期末）△ABC中BC边上的高作法正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有

分析：

根据三角形高线的定义：

过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．

解答：

解：

为△ABC中BC边上的高的是D选项．

故选D．

点评：

本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．

4．（2015春•昌乐县期末）如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（　　）

A．

锐角三角形

B．

直角三角形

C．

钝角三角形

D．

任意三角形

考点：

三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有

分析：

根据三角形高的定义知，若三角形的两条高都在三角形的内部，则此三角形是锐角三角形．

解答：

解：

利用三角形高线的位置关系得出：

如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，

那么这个三角形是锐角三角形．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了三角形的高线性质，了解不同形状的三角形的位置：

锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的三条高中，有两条是它的直角边，另一条在内部；钝角三角形的三条高有两条在外部，一条在内部．

5．（2015春•沙河市期末）不一定在三角形内部的线段是（　　）

A