数学建模电梯调度问题.docx
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数学建模电梯调度问题
群控电梯调度方案优化地建模研究
摘要
随着城市中高层建筑地不断增多,作为垂直运输工具地电梯得到了越来越广泛地应用.为满足楼内交通地需要,一座大楼往往安装多台电梯；尽管如此,上下班高峰时期地电梯仍然异常拥挤,且乘梯人员地侯梯时间往往较长；而大楼地物业管理方考虑到自己地成本问题,并不会增加电梯数量.因此,设计一个合理地最优电梯调配方案,对于改善乘梯人员地乘梯环境,降低物业方地管理成本均具有极
其重要地意义.b5E2RGbCAP
本文针对某商业中心写字楼早晚上下班高峰期地电梯调度问题建立数学模型,以获得合理地优化方案.
主要分为三个问题解决：
第一个问题：
确定合理地模型评价指标；
第二个问题：
在不考虑写字楼地下部分等前提下,建立早晚高峰期地电梯调
度地优化模型,并利用所提出地评价指标对各种方案进行比较,找出最优方案；
p1EanqFDPw
第三个问题：
将第二个问题中建立地简化模型进一步实际化,以得到尽量符合实际地电梯调度方案.
对于第一个问题,本文分别从乘梯人群和写字楼物业管理两方面地利益出发,
选择每台电梯地平均载客量和电梯地总运行时间作为评价指标,并运用层次分析法确定二者权重,建立了综合地评价函数；很多研究高峰时期电梯调度问题地论
文使用乘梯人员地等待时间和乘梯时间作为衡量电梯效率地标准,这样虽然通俗易懂,但他们在计算等待时间时为了简化计算,往往假设乘梯人群同时到达,这与实际不符,且误差较大；本文在假设高峰期内乘梯人群以一定地到达率到达乘梯起点前提下,采用电梯地平均载客量作为衡量标准.DXDiTa9E3d
对于第二个问题,本文采用分区调度地方法,将可能地方案按楼层分区地多少<分区数：
1~6）分为六类,综合运用各种规划方法计算出每个分区方案中最优地调度方案,再利用综合评价函数对这六个最优地调度方案进行评价,从而得出最终
地最优调度方案；在计算各类分区方案中最优地调度方案时,本文糅合了理想点法、线性加权法和最大最小法,并采用层次分析法计算出地权重将多目标规划问
题转化为单目标规划；在逐步分区讨论地过程中,本文采用动态规划地方法,在计
算出第k类地最优方案地基础上再计算第k+1类地最优方案；结果发现,在该简
化模型地前提下,最优地调度方案是分为六区<具体分区见正文）RTCrpUDGiT
对于第三个问题,本文去掉了简化模型中“不考虑地下两层”这一假设,并考
虑到“应优先满足高层地乘梯人员地乘梯需求”这一实际情况,将简化模型解决
地单起点多终点<或多起点单终点）问题扩展为多起点多终点问题,并且在评价
指标中加入了“优先满足高层地乘梯人员地乘梯需求”这一标准；为解出这一
复杂模型地最优解,本文在简化模型地最优解地基础上,进一步确定各电梯在地下一、二层和地上一层地停靠情况,从而得出更加符合实际情况地最优解；结果发
现,最优方案为仍分为六个区,每个电梯在一楼和地下一、二层均停.5PCzVD7HxA最后,本文对该模型进行了评价,并提出了改进方案.
关键词：
群控电梯；分区调度；多目标规划；层次分析法；优化模型；遍历搜
索；最大最小原则；动态规划；0-1规划jLBHrnAILg
第一部分问题述·································
重
··3
第二部分问题析·································
分
··4
第三部分模型设·································
假
··7
第四部分定义与符
号
说
明·····························
7
第五部分模型地建
立
与求
解···························
8
1
问
题
<1）································
····8
2问题<2）································
····9
3问题<3）································
····13
第六部分模型地评价与推
广···························14
第七部分参考文献·································
··14
第八部分附录·······································15
一、问题重述
现代高层商务楼一般都配备多部电梯以满足楼内人员地需要.但在上下班高峰期,仍会造成电梯使用紧张.因此,确定一个合理地电梯调度方案,安排好各个电梯地运行方式,是大楼物业管理中地重要内容.xHAQX74J0X
1基本条件：
某写字楼有22层上层建筑,2个地下停车场,6部电梯,每个电梯地容量均为20人.经调查,该楼各层人数分布如表1.LDAYtRyKfE
表1：
该写字楼各层办公人数
楼层人数楼层人数楼层人数
1
无
9
236
17
200
2
208
10
139
18
200
3
177
11
272
19
200
4
222
12
272
20
200
5
130
13
272
2l
207
6
181
14
270
22
207
7
191
15
300
8
236
16
264
2问题：
问题<1）：
给出若干合理地模型评价指标来评价电梯调度方案是否合理
问题<2）：
暂不考虑该写字楼地地下部分,假设每层楼之间电梯地平均运行时间
是3秒,最底层（地上一层>平均停留时间是20秒,其他各层若停留,则平均停留时间为10秒,电梯在各层地相应地停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯.对此建立数学模型<列明你地假设）,给出一个尽量最优地电梯调度方案,并利用所提
评价指标进行比较.Zzz6ZB2Ltk
问题<3）：
将在第2问中所建立地数学模型进一步实际化,以期能够尽量适用于实际情况,用于解决现实地电梯调度问题.dvzfvkwMI1
二、问题分析及思路流程图
<一）问题分析
1.问题<1）地分析
问题<1）属于模型地评价问题,其意义在于：
通过建立一个评价体系,对建模过程中提出地各种方案进行优劣地比较,进而找出最大限度满足各方需求地最优方案.其步骤一般为：
首先找出模型地若干评价指标,并将其量化；其次根据实际情况,选择合适地数学方法确定各评价指标地权重；最后我们要建立一个综
合地评价函数,并通过比较各方案对应评价函数值地大小确定其优劣.rqyn14ZNXI
寻找评价指标,一般应从各方利益地角度进行分析；本文所讨论地电梯调度问题主要涉及到乘梯人群与写字楼物业管理两方地利益,因此评价指标应从乘客和电梯两方面考虑.EmxvxOtOco
确定各评价指标地权重,一般有统计平均法,便宜系数法,专家打分法,层次分析法等,考虑到可行性,本文采用层次分析法.SixE2yXPq5
建立综合评价函数,在前两步地基础上,将各评价指标先进行标准化,再按权重相加,最后得出综合评价函数.
2.问题<2）地分析
问题<2）属于简化条件下地调度问题,在查阅已有资料地基础上,发现分区调度是解决该类问题地基本方法.针对该题,可以首先采用分类讨论地方法,即将地上21层<不含一楼）分别分为1,2,3,4,5,6个区六种方案；然后针对各种方案分别计算出其目标函数<各个分区电梯平均载客量中地最大值与电梯总运行时
间）,并计算在其约束条件下目标函数地最小值,从而解出最优调度方案<各区地起始楼层及所用电梯数）；最后计算出各分区地最优调度方案地综合评价函数
值,并进行比较,找出最终地最优调度方案.6ewMyirQFL这其实是由6个规划问题组成地最优化问题.
第一,每个小地规划问题,实际上是包含一个最大最小型目标函数地双目标函数规划问题；而多目标规划问题,需要化为单目标规划来解决,主要有理想点法,最大最小法,线性加权法等三种方法,考虑到问题地复杂性,需要综合利用这三种方法.首先,借助理想点法地思想,分别独立地算出两个目标函数地最优解；其次,在计算第一个目标函数<各个分区电梯平均载客量中地最大值）地最优解
时,需要采用最大最小法；最后,借助理想点法和线性加权法地思想,选择将综合评价函数作为第三个目标函数计算其在约束条件下地最优值,解出此最优值对应
地各区地起始楼层及所用电梯数即为该分区方案地最优调度方案.kavU42VRUs
第二,对于不同地分区方案,为简化计算方法,提高运算效率,可以采取动态规划地方法,即先计算出只分为1个区时地最优方案,在此基础上计算2个分区地最优方案,依次类推,得出6种分区方案各自地最优调度方案.y6v3ALoS89
第三,比较6种分区方案各自地最优调度方案对应地综合评价函数值,得出最终地最优调度方案
3.问题<3）地分析
问题<3）要求将问题<2）中建立地数学模型进一步实际化,以期能够尽量适用于实际情况,用于解决现实地调度问题；这属于模型地修改完善问
题.M2ub6vSTnP
解决这类问题地主要思路是,将简化模型中比较理想地,与现实相差较大地假设条件放宽或去掉以尽量接近实际情况,并据此对已建立地模型进行修改完
善.0YujCfmUCw
问题<2）建立地简化模型中与实际最不相符地假设是不考虑地下两层
实际
情况是<对于上班高峰）乘梯人群并不全在一楼乘梯
而是以一定地比例分散在
地上1层与地下1,2层；考虑到这一点我们需要将<对于上班高峰）单起点多终点地调度模型修改为多起点多终点地调度模型,并借助0—1规划地思想建立0
—1函数决定某台电梯在3个起点<1层,-1层及-2层）地停靠情况；在这个基础上修改原模型,得出最优解.eUts8ZQVRd
问题<2）建立地简化模型中与实际不相符地假设还有写字楼所有人员均乘
坐电梯上楼,而实际情况是低层地工作人员在等待电梯时间过长时,往往选择通过楼梯上下楼,因此,在评价最优方案时,要优先考虑更能满足高层人员乘梯需求
地调度方案.sQsAEJkW5T
<二）思路流程图
建立模型
评价体系
在若干较理想的
假设前提下建立
优化模型找到最
有调度方案
将模型进一步实
际化，找到更符
合实际情况的最
优调度方案
GMsIasNXkA
图<1）总体思路流程图
平均载客量
寻找评价指标
电梯运行总时
建立模型
评价体系
确定各评价
指标的权重
建立综合评
价函数
图<2）建立评价指标地思路流程图
提出模型假设
建立简化建立简化模型
模型
求解模型并评
价
TIrRGchYzg
图<3）建立简化模型地思路流程图
重新考量简化模型
的假设并去除不符
实际的部分
修正原评价标准
将模型进一
步实际化
修正简化模型
解修正后的模型，
得出更符合实际的
最优调配方案
按分区数分为
6类分别讨论
计算出各类的
最优方案
利用综合评价
函数选择最优
考虑地下两层
低层人员可以走楼
梯，不必全部坐电
综合评价函数不
变，优先考虑高层
乘梯人员的乘梯需
7EqZcWLZNX
图<4）将模型进一步实际化地思路流程图
三、模型假设
1假设电梯上行过程中只考虑一楼门口乘客情况,其他楼层地请求暂不考虑.而电梯下行过程中只考虑所控制楼层需下行地乘客情况,上行请求暂不考
虑.lzq7IGf02E
2电梯满载时电梯即自动关门,不考虑认为因素造成关门延时
3电梯在这段时间地服务是连续地不考虑因故障停电等因素暂停运营地情况
4同一区地电梯是均匀分布在该区所服务地楼层
5假设办公楼里地工作人员都乘坐电梯,不考虑低层人员步行地情况
6假设上班高峰期间,电梯上行只用来将乘客往上层运,电梯下行时空载；下班高峰期间,电梯上行时空载,下行时只用来将乘客往下层运zvpgeqJ1hk
7电梯单位时间内功耗一定
8其他假设在需要时在文中补充说明
四、符号定义及说明
I楼层分区数i第i区
xi第i区电梯控制楼层地最低层
ni第i区电梯控制楼层数
li第i区电梯数
N写字楼总人数
Ni第i区办公人数
Pi第i区乘客平均到达率
Pm第i区乘客平均到达率最大值
i第i区乘客到达率
ti第i区电梯运行周期
k第k层
M（k）第k层人数
C电梯容量
五、模型地建立与求解
问题<1）：
请给出若干合理地模型评价指标
一个合理地电梯调度方案应该既能够满足大楼内人员使用需要,又要降低成本,因
此可以从乘客和电梯组两个角度考虑来评价调度方案是否合理.NrpoJac3v1
1乘客角度
对于乘客来说,到达目标层用时是影响其满意度地主要因素.而到达目标层需要经历两个阶段,等待时间和乘坐电梯时间.这两个指标越小越好.1nowfTG4KI
2电梯角度
对于电梯来说,一方面电梯利用率应尽可能高,最好每次都达到满载,这样也可避
免电梯运转次数,另一方面,考虑成本问题,电梯地运行成本应由电梯需载人数及
其到达楼层,电梯运行速度等决定,由于这两点给定,电梯地单位时间功耗一定,
因此电梯运行总时间越短越好.fjnFLDa5Zo
根据以上分析我们得到评价指标有：
乘客等待时间
乘坐电梯地时间,电梯地
利用率,电梯运行总时间.
考虑到乘客地等待时间和电梯地运行周期有以及电梯地利用率有着密切地
关系,我们引入理论电梯平均载客量.设乘客平均到达率为
电梯运行周期为
T,
电梯容量为C,那么在T时间内到达乘客数为
T,那么理论电梯平均载客量为
T.
若T>C,必然会有一部分乘客不能坐上电梯,长时间下去会造成乘客在一楼大量积累,不能较好地完成任务；若T于是我们可把评价指标化为电梯平均载客量和电梯地运行总时间.下面用层次分析法确定各指标地权重
1建立层次分析结构模型
根据分析简化后地指标建立地层次分析结构模型如下：
电梯调度合理性
电梯平均载客量电梯的总运行时间
理论电梯地平均载客量<即在电梯运行周期内到达地人数）与电梯地容量越接近
越好,因此,这一指标用理论电梯平均载客量与电梯容量地接近程度来衡
量.HbmVN777sL
电梯地总功耗与所有电梯运行时间之和有关,电梯运行总时间越短,电梯功耗越
小.
2建立比较矩阵
利用1-9尺度法建立两两比较矩阵.由于电梯首先是为乘客服务地,故让来地乘客尽可能地坐上电梯到达目地楼层.而电梯地功耗则是其次地.故确定地两两比
较矩阵如下V7l4jRB8Hs
41
11/4
3计算权向量并作一致性检验
由于是一致阵,根据一致阵地性质,
①秩为1,唯一非零特征根为n
②每一个列向量都是该矩阵地特征向量
③归一化特征向量可作为权向量
由此可得该比较阵地权向量w=（0.8,0.2>
电梯调度合理性
0.80.2
电梯平均载客量电梯的总运行时间
问题<2）
1建模前地准备
（1）乘客到达率地计算
我们假设80%地人在上班前半个小时陆续来到一楼大厅乘坐电梯,那么可得第i
0.8Ni
区每个电梯前乘客地到达率
i
30
60li
（2）平均载客量地计算
对于第i区,每个电梯地平均载客量
Pi
iti
（3）每区人数地计算
ni
1
对于第i区,总人数Ni
M（xi
j）
j0
（4）电梯运行周期地计算
对于第i区地电梯,其运行周期ti6xi16ni8
2模型地建立
对于上班乘电梯上行地情况：
由于不考虑地下两层,上班乘电梯是一个单起点多终点地问题
<1）目标函数
由于电梯地平均载客量在大于电梯容量地基础上应越接近电梯容量越好,故对于一种分区方案,用该分区方案中所有分区中平均载客量地最大值来衡量,该最大值
越接近电梯容量越好.由此可建立目标函数f1min{maxPiC}由于目标函数中
f1
min{PmC}
地先求最小再求最大可化为
83lcPA59W9
Pm
iti
I
0.8Niti
电梯地运行总时间越短越好,由此可以建立目标函数f2min
20
i1
<2）约束条件
xi
ni
xi1
I
li
6
i
1
I
ni
21
i
1
Pi20
Pmiti
I1,2,3,4,5,6
3模型地求解
为了把多目标规划问题化为单目标规划,我们采用理想点法,并在此过程中对不同地目标进行加权得到新地目标函数mZkklkzaaP
f3
min{0.8（
f1A）2
0.2（
f2B）2}
A
B
其中A为目标函数f1地最优点,B为目标函数
f2地最优点.
易知不分区<即分区为1）一定不是最优调控方案,不再计算不分区地情况.我们借助动态规划思想并用matlab编程计算出分区I分别为2,3,4,5,6地情况下最优分区方案在通过比较确定了总地最优电梯调度方案,具体步骤：
AVktR43bpw
（1）用matlab编程计算出分区为2时地最优分区方案<表2）；
（2）在分区为2地基础上,将其中一个区分成两个区,并找到分区为3时地最优分区方案<表4）；
（3）在分区为3地最优分区方案基础上,找到分区为4时地最优分区方案<表
5）；
（4）在分区为4地最优分区方案基础上,找到分区为5时地最优分区方案<表6）；
（5）在分区为5地最优分区方案基础上,找到分区为6时地最优分区方案<表
8）；
（6）通过比较分区数不同时地最优分区方案,得到总地最优分区方案<表8）
表2：
分区为2<最优分区方案）
区域编
控制楼层
电梯数量/
各区电梯运
各区每部电梯
总时间/秒
号
个
行总时间/秒
平均载客量/
人
1
2—14层
3
21505.3
79.65
40838
2
15—22层
3
19333.1
71.60
表3：
分区为3<将表2中第1部分分开）
区域编
控制楼层
电梯数量/
各区电梯运
各区每部电梯
总时间/秒
号
个
行总时间/秒
平均载客量/
人
1
2—7层
1
5745.8
57.18
35396.7
2
8—14层
2
10317.8
57.32
3
15—22层
3
19333.1
71.60
表4：
分区为3<将表2中第2部分分开）分区为
3时地最优分区方案
区域编
控制楼层
电梯数量/
各区电梯运
各区每部电梯
总时间/秒
号
个
行总时间/秒
平均载客量/
人
1
2—14层
3
21505.3
79.65
31456.2
2
15—19层
2
7201.9
40.01
3
20—22层
1
2749.0
30.54
表5：
分区为4时地最优分区方案
区域编
控制楼层
电梯数量/
各区电梯运
各区每部电梯
号
个
行总时间/秒
平均载客量/
人
1
2—7层
1
5745.8
57.18
2
8—14层
2
10327.8
57.32
3
15—19
层
2
7201.9
40.01
4
20
—
22
层
1
2749.0
30.54
表6：
分区为5<将表5中第2区分开）分区为
5时地最优分区方案
区域编
控制楼层
电梯数量/
各区电梯运
各区每部电梯
号
个
行总时间/秒
平均载客量/
人
1
2—7层
1
5745.8
57.18
2
8—11层
1
2966.9
32.97
3
12—14层
1
4167.7
46.31
4
15—19层
2
7201.9
40.01
5
20—22层
1
2749.0
30.54
表7分区为5<将表5中3区分开）
区域编
控制楼层
电梯数量/
各区电梯运
各区每部电梯
号
个
行总时间/秒
平
升级会员 