三年级下册数学试题奥数专题讲练第2讲 速算和巧算提高篇解析版全国通用.docx

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三年级下册数学试题奥数专题讲练第2讲速算和巧算提高篇解析版全国通用

第二讲速算与巧算

（一）

本讲主要介绍两种速算与巧算的方法：

1、理解并掌握分组凑整法；

2、理解并掌握加补凑整法．

本章内容只涉及加减法中的速算与巧算，帮助学生在加减法运算中掌握基本的运算技巧，更加快速，更加准确地解决加减法运算中的“难题”．

计算：

（1）6＋6＋6＋6＋6＋4

（2）6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14

分析：

原式＝5×6+4分析：

原式=（6+14）+（7+13）+（8+12）+（9+11）+10

=34=90

（3）1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2（4）7＋17＋27＋37

分析：

原式=24分析：

原式=（10-3）+（20-3）+（30-3）+（40-3）

=88

（5）58－26－28（6）64－（25＋14）

分析：

原式=58-28-26分析：

原式=64-14-25

=4=25

在这一讲中我们我们将会学习有关加减法的速算与巧算的方法．我们在进行加减法运算时，为了又快又准确，除了熟练地掌握计算法则以外，还需要掌握一些巧算方法．加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千......的数，再将各组的结果求和（差），这样使我们在加减法运算中更加迅速，更加准确．在具体的凑数运算过程中，我们主要涉及到几种计算方法：

（1）分组凑整法，

（2）加补凑整法，（3）其他类型的巧算．

我们在进行加法的巧算时，经常运用以下两个运算律：

（1）加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变．即

a＋b＝b＋a

其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.

将此运算律推广，多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．

（2）加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变．即

a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋（6＋8）.

将此运算律推广，多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变．

我们在进行减法运算时，经常运用以下性质：

（3）在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：

a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．

（4）在加减法混合运算中，去括号时：

如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：

a＋（b－c）＝a＋b－c

a－（b＋c）＝a－b－c

a－（b－c）＝a－b＋c

（5）在加、减法混合运算中，添括号时：

如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：

a＋b－c＝a＋（b－c）

a－b＋c＝a－（b－c），a－b－c＝a－（b＋c）

（一）分组凑整法

【例1】计算：

（★★★奥数网题库）

（1）17＋29＋33＋71＋28＋12

（2）168＋253＋32

（3）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）

（4）358＋127＋142＋73

分析：

在这个例题中，主要让学生掌握加法分组凑整的方法．具体分析如下：

（1）原式＝（17＋33）＋（29＋71）＋（28＋12）

＝50＋100＋40

＝190

（2）原式＝（168＋32）＋253

＝200＋253

＝453

（3）原式＝1350＋49＋68＋51＋32＋1650

＝（1350＋1650）＋（49＋51）＋（68＋32）

＝3000＋100＋100

＝3200

（4）原式＝（358＋142）＋（127＋73）

＝500＋200

＝700

【例2】（★★★奥数网题库）计算：

（1）265－68－32

（2）756－248－352

（3）268－56－82－44－18

（4）894－89－11－95－5－94

分析：

在这个例题中，主要让学生掌握减法分组凑整的方法．一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具体分析如下：

（1）原式＝265－（68＋32）

＝265－100

＝165

（2）原式＝756－（248＋352）

＝756－600

＝156

（3）原式＝268－（56＋44）－（82＋18）

＝268－100－100

＝68

（4）原式＝（894－94）－（89＋11）－（95＋5）

＝800－100－100

＝600

【例3】（★★★奥数网题库）计算：

（1）98－53＋102＋63

（2）163－154＋245＋137＋55－146

（3）1348－234－76＋2234－48－24

（4）1847－1936＋536－154－46

分析：

在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算分组凑整的方法，在凑整的过程中，要注意运算符号的变化或者带着符号搬家．具体分析如下：

（1）原式＝（98＋102）＋（63－53）

＝200＋10

＝210

（2）原式＝（163＋137）－（154＋146）＋（245＋55）

＝300－300＋300

＝300

（3）原式＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）

＝1300＋2000－100

＝3200

（4）原式＝1847－（1936－536）－（154＋46）

＝1847－1400－200

＝247

[巩固]：

（1）968－561－168－139，

（2）456－（256＋165），

分析：

（1）原式＝（968－168）－（561＋139）＝800－700＝100

（2）原式＝456－256－165＝200－165＝35

[拓展1]（我爱数学少年数学夏令营）计算：

1997+1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+……+1993-1994-1995+1996

分析：

原式=1997+（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+……+（1993-1994-1995+1996）

=1997+0+0+……+0

=1997

[拓展2]（2004“陈省身杯”少年数学邀请赛）计算：

2003+2002-2001-2000+1999+1998-1997-1996+3+2-1

分析：

原式=（2003+2002-2001-2000）+（1999+1998-1997-1996）+……+（3+2-1-0）

=4×（2004÷4）

=2004

[拓展3]（2005全国小学数学奥林匹克）计算：

2005+2004-2003-2002+2001+2000-1999-1998+1997+1996-……-7-6+5+4-3-2+1

分析：

将后四项每四项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项的计算结果都是0，剩下第一项，结果是2005.

[拓展4]（北大数学邀请赛）计算：

1989+1988+1987-1986-1985-1984+1983+1982+1981-1980-1979-1978+……+9+8+7-6-5-4+3+2+1

分析：

从1989开始，每6个数一组，1989+1988+1987-1986-1985-1984=9，以后每一组6个数加、减后都等于9.1989÷6=331……3.最后剩下三个数3，2，1，3+2+1=6.因此，原式=331×9+6=2985.

[拓展5]计算6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）

分析：

原式＝（6472＋5318＋1）＋（9354＋6836＋3）－（4480－2480－4）－（3327－1327－4）－（7362－5362－4）－（4847－2847－4）

＝11790＋16190－2000－2000－2000－2000＋20

＝27980－8000＋20

＝20000

（二）加补凑整法

【例4】（★★★奥数网题库）计算：

（1）165＋199

（2）198＋96＋297＋10

（3）298＋396＋495＋691＋799＋21

（4）195＋196＋197＋198＋199＋15

分析：

在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：

（1）（法1）原式＝165＋200－1（法2）原式＝164＋1＋199

＝365－1＝164＋200

＝364＝364

（2）（法1）原式＝（198＋2）＋（96＋4）＋（297＋3）＋1

＝200＋100＋300＋1

＝601

（法2）原式＝（200－2）＋（100－4）＋（300－3）＋10

＝200＋100＋300－2－4－3＋10

＝601

（3）（法1）原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1

＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）

＝300＋400＋500＋700＋800

＝2700

（法2）原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21

＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21

＝2700

（4）（法1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）

＝200＋200＋200＋200＋200

＝1000

（法2）原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15

＝200＋200＋200＋200＋200

＝1000

[前铺]计算：

（1）65＋99

（2）36＋102（3）258－98（4）351－103

分析：

（1）原式＝65＋100－1＝165－1＝164；

（2）原式＝36＋100＋2＝136＋2＝138；

（3）原式＝258－100＋2＝158＋2＝160；

（4）原式＝351－100－3＝251－3＝248；

通过以上题目的运算，我们发现一个快捷运算的规律：

在

（1）中，在加100时多加了1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要减去”；

（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多减了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所以“少减的要再减”．这几种基本的加补凑整计算的方法，老师要引导学生理解，并加深巩固．

【例5】（★★★奥数网题库）计算：

（1）895－504－97

（2）98－96－97－105＋102＋101

（3）399＋403＋297－501

（4）196＋198－102－97

分析：

在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算中加补凑整的方法．具体分析如下：

（1）原式＝（900－5）－（500＋4）－（100－3）

＝900－500－100－5－4＋3

＝294

（2）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）

＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1

＝3

（3）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）

＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1

＝598

（4）原式＝（200－4）＋（200－2）－（100＋2）－（100－3）

＝200＋200－100－100－4－2－2＋3

＝195

[巩固]：

（1）198－205－308＋509，

（2）501＋502＋503－398－397－396.

分析：

（1）原式＝（200－2）－（200＋5）－（300＋8）＋（500＋9）＝200－200－300＋500－2－5－8＋9＝194

（2）原式＝（500＋1）＋（500＋2）＋（500＋3）－（400－2）－（400－3）－（400－4）＝315.

[拓展1]计算：

195＋196＋197＋198＋199

分析：

原式=（200-5）+（200-4）+（200-3）+（200-2）+（200-1）

=200×5-（5+4+3+2+1）=1000-15=985

[拓展2]（07年7月仁华入学测试题）83＋86＋95－85＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－89＋83＋96＋98

分析：

原式=83＋86＋95－83-2＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－87-2＋83＋96＋98

=90×12-4+5-2-4+5-4+2-10+3+10-2-7+6+8

=1080+6

=1086

[拓展3]（2006香港圣公会小学数学奥林匹克）89+899+8999+89999+899999

分析：

原式=（90-1）+（900-1）+（9000-1）+（90000-1）+（900000-1）

=90+900+9000+90000+900000-5

=999990-5

=999985

[拓展4]计算

分析：

原式＝

＝

[拓展5]计算19971997＋9971997＋971997＋71997＋1997＋997＋97＋7

分析：

原式＝（19972000－3）＋（9972000－3）＋（972000－3）＋（72000－3）＋（2000－3）＋（1000－3）＋（100－3）＋（10－3）

＝19972000＋9972000＋972000＋72000＋2000＋1000＋100＋10－8×3

＝30991110－24

＝30991086

（三）其他常见类型巧算

【例6】（★★★仁华试题）计算100－101＋102－103＋104－105＋106－107＋108

分析：

原式＝100＋（102－101）＋（104－103）＋（106－105）＋（108－107）

＝100＋1＋1＋1＋1

＝104

【例7】（★★★仁华试题）计算：

123＋234＋345－456＋567－678＋789   

  分析：

方法1：

原式＝123＋234＋345＋（567－456）＋（789－678）

＝123＋234＋345＋111＋111

＝234＋（123＋567）

   ＝234＋690

   =924

方法2：

原式=123+（123+111）+（123+222）-（123+333）+（123+444）-（123+555）+（123+666）

=123×3+（111+222-333+444-555+666）

=369+555

=924

【例8】（★★★仁华试题）计算1234＋3142＋4321＋2413

分析：

原式＝（1000＋200＋30＋4）＋（3000＋100＋40＋2）＋（4000＋300＋20＋1）＋（2000＋400＋10＋3）

＝（1000＋2000＋3000＋4000）＋（100＋200＋300＋400）＋（10＋20＋30＋40）＋（1＋2＋3＋4）

＝10000＋1000＋100＋10

＝11110

[巩固]计算123+234+345+456+567+678+789

分析：

方法1原式=（100+20+3）+（200+30+4）+（300+40+5）+（400+50+6）+（500+60+7）+（600+70+8）+（700+80+9）

=（100+200+300+400+500+600+700）+（20+30+40+50+60+70+80）+（3+4+5+6+7+8+9）

=2800+350+42

=3192

方法2原式=123×7+（111+222+333+444+555+666）

=123×7+111×（1+2+3+4+5+6）

=3192

[拓展]在右图的36个格子中各有一个数，最上面一横行和最左面一竖列中的数已经填好，其余每个格子中的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列最上面数之和（例如：

a＝14＋17＝31），问这36个数的总和是多少？

分析：

第二横行的空格应该填的数字分别是11＋12，13＋12，15＋12，17＋12，19＋12，同理，下面每一横行都是用竖列的一个数与横行的每一个数相加．我们最后要求这36个格子中的所有数字之和，第一横行的和为：

10＋11＋13＋15＋17＋19＝（10＋15）＋（11＋19）＋（13＋17）＝85，第二横行的和为：

12＋11＋12＋13＋12＋15＋12＋17＋12＋19＋12＝12×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝147，同理，第三横行的和为：

14＋11＋14＋13＋14＋15＋14＋17＋14＋19＋14＝14×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝159，第四横行的和为16×6＋75＝171，第五横行的和为：

18×6＋75＝183，第六横行的和为：

20×6＋75＝195.所以36个格子的和为85＋147＋159＋171＋183＋195＝940.

方法2：

法1比较笨拙，没有体现该题解法的精髓，在我们解这道题之前，我们看看下面的例子：

2

3

4

5

4

6

8

上表空格处的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列最上面数之和，求这16个数之和。

每列第一个数为a,所填每列和=3a+4+6+8，所填写各列总和=3×（3+4+5）+（4+6+8）×3，所以除角上2以外的所有数之和为4×（4+6+8+3+4+5），所以16格总和为4×（4+6+8+3+4+5）+2=122.

再类推到原题，则有：

所有数之和=（11+13+15+17+19+12+14+16+18+20）×6+10=940.

预看计算精彩，敬请关注：

三年级寒假班“速算与巧算的综合、加深与拓展”．

1.（例1）计算：

（1）18＋29＋32＋71＋28＋12

（2）1233－53－47

（3）36＋103

（4）456－（256＋165）

分析：

（1）原式＝（18＋32）＋（29＋71）＋（28＋12）＝50＋100＋40＝190

（2）原式＝1233－（53＋47）＝1233－100＝1133

（3）原式＝36＋100＋3＝136＋3＝139

（4）原式＝456－256－165＝200－165＝35

2.（例2）计算：

（1）968－561－168－139

（2）9998＋998＋99＋9＋6

（3）1999＋1998＋2001＋2002

（4）501＋502＋503－398－397－396

分析：

（1）原式＝（968－168）－（561＋139）＝800－700＝100

（2）原式＝（10000－2）＋（1000－2）＋（100－1）＋（10－1）＋6

＝10000＋1000＋100＋10＝11110

（3）原式＝（2000－1）＋（2000－2）＋（2000＋1）＋（2000＋2）

＝2000＋2000＋2000＋2000

＝8000

（4）原式＝（500＋1）＋（500＋2）＋（500＋3）－（400－2）－（400－3）－（400－4）

＝315

3.（例3）计算

（1）1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11

（2）11－12＋13－14＋15－16＋17－18＋19－20＋11

分析：

（1）原式＝1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋（9－8）＋（11－10）＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝6

（2）原式＝11＋（13－12）＋（15－14）＋（17－16）＋（19－18）＋（21－20）＝11＋1＋1＋1＋1＋1＝16

4.（例4）1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+……+2006

分析：

原式=1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+……+（2002-2003-2004+2005）+2006

=2007

5.（例5）计算11+192+1993+19994+199995所得和数的数字之和是多少？

分析：

原式=（20-9）+（200-8）+（2000-7）+（20000-6）+（200000-5）

=（20+200+2000+20000+200000）-（9+8+7+6+5）

=222220-35

=222185

故所得数字之和等于2+2+2+1+8+5=20.

6.（例8）在134＋7，134＋14，134＋21，……，134＋210这30个算式中，每个算式的计算结果都是三位数，求这些三位数的百位数字之和．

分析：

我们只要求百位数字之和，仔细观察这些计算结果，发现百位数字最小是1，最大是3，当134＋7×9＝134＋63时，前面的和的百位数都是1，这一共有9个数；从134＋7×10＝134＋70开始，到134＋7×23＝134＋161，这些和的百位数是2，一共有14个数；从134＋7×24＝134＋168到134＋7×30，这些和的百位数都是3，一共有7和数．所以这些算式的和的百位数字之和为：

1×9＋2×14＋3×7＝58.

人生最好的教育

　　　一个还在上中学的女孩，因为母亲得了重病，为了减轻家庭负担，就希望利用暑假时间打工挣点钱．她来到一家公司应聘，那家公司看了她的简历没怎么考虑就拒绝了她．女孩收回自己的材料，用手掌撑了一下椅子站起来，觉得手被扎了一下．低头一看原来椅子上有一颗钉子露出了头．她见桌子上有一条镇纸石，于是拿起来用它将钉子敲平，然后转身离去．可是几分钟后，公司经理却派人将她追了回来．她被聘用了．一个在爱中长大的人，他最好的回报也是爱．当爱促使一个人去做他很难做到的事情时，这足以证明爱的力量而在一件很细小的、与自己无关的事情上也能体现出对别人体贴和关心的人，他所受到的爱的教育无疑是成功的．