北京市高考试题立体几何汇编.docx

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北京市高考试题立体几何汇编

2011-2017北京市高考试题立体几何汇编

1、（2011文5）某四棱锥的三视图如右图所示，该四棱锥的表面积是（）.

A．32B．16+16

C．48D．16+32

2、（2011理7）某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）

A.8B.C.10D.

3、（2012理7，文7）某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的表面积是（）.

A．B.

C.D.

4、（2013，文8）如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（　　）．

A．3个B．4个C．5个D．6个

5、（2013，文10）某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的体积为__________．

6、（2013，理14）如右图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为．

7、（2014，理7）在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则

（A）

（B）且

（C）且

（D）且

8、（2014，文11）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.

9、（2015理5）某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的表面积是

A．B．

C．D．5

10、（2015文7）某四棱锥的三视图如右图所示，该四

棱锥最长棱的棱长为

（A）1（B）（B）（D）2

11、（2016理6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

A．B．C．D．1

12、（2016文11）

某四棱柱的三视图如右图所示，则该四棱柱的体积为________. 

13、（2017理7）如右图，某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）

（A）3（B）2

（C）2（D）2

14、（2017文6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

（A）60（B）30

（C）20（D）10

15、（2017理16）如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求证：

M为PB的中点；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

16、（2017文18）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（Ⅰ）求证：

PA⊥BD；

（Ⅱ）求证：

平面BDE⊥平面PAC；

（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．

17、（2016理17）如右图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．

（Ⅰ）求证：

PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？

若存在，求的值，若不存在，说明理由．

18、（2016文18）如图，在四棱锥中，平面，．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面平面；

（Ⅲ）设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面，说明理由．

19、（2015文18）如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,EA的中点。

（O）求证:

EB//平面MOC.

（P）求证：

平面MOC⊥平面EAB.

（Q）求三棱锥E-ABC的体积。

20、（2015理17）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若平面，求的值．

21、（2014文17）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.

（1）求证：

平面平面；

（2）求证：

平面；

（3）求三棱锥的体积.

22、（2014理17）如图，正方形的边长为，、分别为、的中点，在五棱锥

中，为棱的中点，平面与棱、分别交于点、.

（Ⅰ）求证：

∥；

（Ⅱ）若平面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.

23、（2013理17）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，，．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证二面角的余弦值；

（Ⅲ）证明：

在线段上存在点，使得，并求的值.

24、（2013文17）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

25、（2012，文16）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。

（I）求证：

DE∥平面A1CB；

（II）求证：

A1F⊥BE；

（III）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

说明理由。

26、（2012理16）如图，在中，，，，、分别为、上的点，且//，，将沿折起到的位置，使，如图．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）若是的中点，

求与平面所成角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面

与平面垂直？

说明理由．

27、（2011理16）如图，在四棱锥中，平面，底面

是菱形，。

（I）求证：

平面

（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长；

28、（2011文17）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

（Ⅰ）求证：

DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：

四边形DEFG为矩形；

（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？

说明理由.

答案：

1、B2、C3、B4、B5、36、7、D

8、9、C10、C11、A12、13、B14、D

15、（I）设交点为，连接.

因为平面，平面平面，所以.

因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.

（II）取的中点，连接，.

因为，所以.

又因为平面平面，且平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为是正方形，所以.

如图建立空间直角坐标系，则，，，

，.

由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

（III）由题意知，，.

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

16、解：

（I）因为，，所以平面，

又因为平面，所以.

（II）因为，为中点，所以，

由（I）知，，所以平面.

所以平面平面.

（III）因为平面，平面平面，

所以.

因为为的中点，所以，.

由（I）知，平面，所以平面.

所以三棱锥的体积.

17、（Ⅰ）证明：

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）解：

取AD中点为O，连接CO，PO，

∵CD=AC=，

∴CO⊥AD，

又∵PA=PD，

∴PO⊥AD．

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），

则，，

设为平面PCD的法向量，

则由，得，则．

设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；

（Ⅲ）解：

假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），

由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，

则有，可得M（0，1﹣λ，λ），

∴，

∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，

∴，即，解得．

综上，存在点M，即当时，M点即为所求．

18、证明：

（Ⅰ）因为平面，所以，

又因为，

所以，平面．

（Ⅱ）因为，，所以，

又因为平面，所以，

所以平面．

由平面，所以平面平面．

（Ⅲ）棱上存在点，使得平面，理由如下：

取的中点，连结．

因为点为的中点，所以．

又因为不在平面内，所以平面．

19、解：

（I）因为O,M分别为AB，ＶＡ的中点，

　　　　　　所以ＯＭ//ＶＢ.

又因为ＶＢ平面MOC，

所以VB//平面MOC.

（II）因为ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为AB的中点，

所以OCAB.

又因为平面平面，且平面，

　　　　　　所以平面．

　　　　　　所以平面平面．

　　　（III）在等腰直角三角形中，，

　　　　　　所以，．

　　　　　　所以等边三角形的面积．

　　　　　　又因为平面，

　　　　　　所以三棱锥的体积等于．

　　　　　　又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

　　　　　　所以三棱锥的体积为．

20、解：

（）因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，

所以AO⊥EF.

又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO平面AEF，

所以AO⊥平面EFCB.

所以AO⊥BE.

（Ⅱ）取BC中点G，连接OG.

由题设知EFCB是等腰梯形，

所以OG⊥EF.

由（）知AO⊥平面EFCB

又OG平面EFCB，

所以OA⊥OG.

如图建立空间直角坐标系O-xyz，

则E（a,0,0），A（0，0，），

B（2，（2-a），0），=（-a，0，），

=（a-2，（a-2）,0）.

设平面ABE的法向量为n=（x,y,z）

则：

即

令z=1，则x=，y=-1.于是n=（，-1,1）

平面AEF是法向量为p=（0,1,0）

所以cos（n，p）==.

由题知二维角F-AE-B为钝角，所以它的余弦值为

（Ⅲ）因为BE⊥平面AOC，所以BE⊥OC，即.

因为=（a-2，（a-2），0），=（-2，（2-a），0），

所以=-2（a-2）-3.

由及0

21、

（1）证明：

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，

∴BB1⊥AB，

∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，

∴AB⊥B1BCC1，

∵AB⊂平面ABE，

∴平面ABE⊥B1BCC1；

（Ⅱ）证明：

取AB中点G，连接EG，FG，则

∵F是BC的中点，

∴FG∥AC，FG=AC，

∵E是A1C1的中点，

∴FG∥EC1，FG=EC1，

∴四边形FGEC1为平行四边形，

∴C1F∥EG，

∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，

∴C1F∥平面ABE；

（Ⅲ）解：

∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，

∴AB=，

∴VE﹣ABC===

22、解：

（）在正方形中，因为是的中点，所以.又因为平面，所以平面.因为，且平面平面，所以.

（）因为底面，所以，.如图建立空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量为，则，即令，则.所以.设直线与平面所成角为，则.因此直线与平面所成角的大小为.设点的坐标为.因为点在棱上，所以可设，即.所以，，.因为是平面的法向量，所以，即.解得，所以点的坐标为.所以.

23、解：

（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.

（2）由

（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.

如