三角形全等的判定.docx

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三角形全等的判定

1.全等三角形判定1：

三边对应相等的两个三角形全等。

2.全等三角形判定2：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3.全等三角形判定3：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

4.全等三角形判定4：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

5.全等三角形判定5：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

典型例题

知识点一：

全等三角形判定1

例1：

如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面四个论断：

（1）AD＝CB；

（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。

请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

解答过程：

已知：

如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。

求证：

AD∥BC。

  知识点二：

全等三角形判定2

（2）由

（1）知△OAB≌△OCD

∴AB＝CD

例3：

已知：

如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：

AD∥BC，AD＝BC

综上：

AD∥BC，AD＝BC

例4：

（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？

（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形全等吗？

。

解答过程：

（1）全等；

（2）不全等。

解题后的思考：

有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：

（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；

（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。

在证明题中尤其要注意这一点。

知识点三：

全等三角形判定3

例5：

如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。

求证：

AM是△ABC的中线。

解答过程：

∵BE⊥AE，CF⊥AE

∴∠BEM＝∠CFM＝90°

在△BME和△CMF中，

解题后的思考：

要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。

知识点四：

全等三角形判定4

例6：

已知：

BC＝EF，BC∥EF，∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC。

求证：

AF＝DC。

思路分析：

1）题意分析：

要证明AF＝DC，就要先证明△ABF≌△DEC，而已知中证明这两个三角形全等的条件是∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC，但还缺少一组边，如何找到这组边呢？

根据BC＝EF，BC∥EF，想到连接BE，从而证明△BFE≌△ECB，进一步得到BF＝EC，再利用AAS来判定两个三角形全等。

2）解题思路：

要证明线段相等，我们可以考虑先证明三角形全等，△ABF和△DEC中有两对角对应相等，要使它们全等，只要证得BF＝EC即可。

于是连接BE证△BFE≌△ECB，即可证得BF＝EC。

解答过程：

连接BE

∵BC∥EF

∴∠FEB＝∠CBE

解题后的思考：

证明三角形全等是证明线段相等的一种重要方法，解答时要结合图形，分析已知条件与求证的结论，寻找沟通二者的桥梁。

1）题意分析：

要证明一条线段等于两条线段之和，或证明一条线段等于两条线段之差，就要想这条线段与两条线段之间有何关系，以及两条线段AD、BE与CE、DC之间有何关系。

这就需要我们用三角形全等来证明线段相等，从而实现等线段的转化。

解题后的思考：

在运动变换问题中，不管运动变换前后的图形、结论是否发生变化，解题的基本思路不变，一般情况下，运动前的解题思路及方法是为解答运动后的相关问题作铺垫。

小结：

本题组主要考查如何运用全等三角形判定4：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

以及在运动变换问题中如何准确地运用三角形全等实现等线段的转换。

知识点五：

全等三角形判定5

；

（

。

同步练习

（答题时间：

60分钟）

一、选择题：

1.三角形中到三边距离相等的点是（）

A.三条边的垂直平分线的交点

B.三条高的交点

C.三条中线的交点

D.三条角平分线的交点

2.如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为（）

A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定

3.如果三角形的一个角的平分线恰好是其对边上的高，那么这个三角形是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

4.如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，以上结论正确的是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

5.如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：

①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠EAC的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三个角的平分线的交点。

上述结论中，正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：

6.已知O是△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，若OD＝5，△ABC的周长等于20，则△ABC的面积等于S△ABC＝。

7.如图，AB∥CD，O是∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB与CD间的距离等于。

8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，AB＝8cm，则△DEB的周长为____。

三、解答题：

9.已知：

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且∠EDF＋∠EAF＝180°。

求证：

DE＝DF。

试题答案

一、选择题：

1.D；2.C；3.B；4.A；5.D

二、填空题：

6.50；7.4；8.8cm

三、解答题：

9.证明：

过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。

∵AD平分∠BAC

∴DM＝DN

∵∠MAN＋∠AMD＋∠AND＋∠MDN＝360°

∠AMD＋∠AND＝180°

∴∠MDN＋∠MAN＝180°

∵∠EDF＋∠FAE＝180°

∴∠MDN＝∠EDF

∴∠MDE＝∠FDN

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英语：

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物理：

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典型例题

知识点一：

全等三角形判定1

例1：

如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面四个论断：

（1）AD＝CB；

（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。

请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

、

已知：

如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。

求证：

AD∥BC。

  知识点二：

全等三角形判定2

（2）由

（1）知△OAB≌△OCD

∴AB＝CD

例3：

已知：

如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：

AD∥BC，AD＝BC

综上：

AD∥BC，AD＝BC

解题后的思考：

本题中证明三角形全等用到了公共边，这是解决问题的关键所在；在解决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。

例4：

（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？

（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形全等吗？

思路分析：

1）题意分析：

本题主要考查应用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的问题。

2）解题思路：

在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，即两个三角形满足SAS的条件，所以这两个三角形全等。

（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。

解答过程：

（1）全等；

（2）不全等。

解题后的思考：

有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：

（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；

（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。

在证明题中尤其要注意这一点。

小结：

本题组主要考查了对全等三角形判定2的掌握情况，即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

另一方面，也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。

”另外，在证明两个三角形全等时，要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。

知识点三：

全等三角形判定3

例5：

如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。

求证：

AM是△ABC的中线。

思路分析：

1）题意分析：

要证明AM是△ABC的中线，就要证明

BM＝CM，要证明线段相等，就要证明与BM、CM有关的三角形全等，即△BEM≌△CFM，然后从已知条件中找出能够判断这两个三角形全等的条件。

2）解题思路：

结合已知条件和对顶角相等可由ASA来判定△BEM≌△CFM，从而得出BM＝CM，进而得到AM是△ABC的中线。

解答过程：

∵BE⊥AE，CF⊥AE

∴∠BEM＝∠CFM＝90°

在△BME和△CMF中，

解题后的思考：

要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。

知识点四：

全等三角形判定4

例6：

已知：

BC＝EF，BC∥EF，∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC。

求证：

AF＝DC。

思路分析：

1）题意分析：

要证明AF＝DC，就要先证明△ABF≌△DEC，而已知中证明这两个三角形全等的条件是∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC，但还缺少一组边，如何找到这组边呢？

根据BC＝EF，BC∥EF，想到连接BE，从而证明△BFE≌△ECB，进一步得到BF＝EC，再利用AAS来判定两个三角形全等。

2）解题思路：

要证明线段相等，我们可以考虑先证明三角形全等，△ABF和△DEC中有两对角对应相等，要使它们全等，只要证得BF＝EC即可。

于是连接BE证△BFE≌△ECB，即可证得BF＝EC。

解答过程：

连接BE

∵BC∥EF

∴∠FEB＝∠CBE

解题后的思考：

证明三角形全等是证明线段相等的一种重要方法，解答时要结合图形，分析已知条件与求证的结论，寻找沟通二者的桥梁。

1）题意分析：

要证明一条线段等于两条线段之和，或证明一条线段等于两条线段之差，就要想这条线段与两条线段之间有何关系，以及两条线段AD、BE与CE、DC之间有何关系。

这就需要我们用三角形全等来证明线段相等，从而实现等线段的转化。

解题后的思考：

在运动变换问题中，不管运动变换前后的图形、结论是否发生变化，解题的基本思路不变，一般情况下，运动前的解题思路及方法是为解答运动后的相关问题作铺垫。

小结：

本题组主要考查如何运用全等三角形判定4：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

以及在运动变换问题中如何准确地运用三角形全等实现等线段的转换。

知识点五：

全等三角形判定5

解题后的思考：

（1）证明两个直角三角形全等除了可运用前面的几个条件外，还可利用“斜边和直角边”去证明；

（2）证明两直线垂直可直接证明两直线夹角等于90°，也可证明夹角所在三角形中的另两个角互余。

小结：

本组题主要考查如何运用直角三角形全等的判定方法来解决相关问题，在解题时注意挖掘题目中的隐含条件。

提分技巧

利用三角形全等判断线段（或角）相等的一般方法

（1）把要判断相等的线段（或角）作为三角形的边（或角）的两个三角形找出来；

（2）证明这两个三角形全等；

（3）根据全等三角形的性质得出要判断的线段（或角）相等。

预习导学

一、预习新知

1.如图，是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC。

将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线。

你能说明它的道理吗？

由此总结出作已知角的平分线的方法。

二、预习点拨

探究与反思

探究任务一：

如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

如何利用三角形全等证明这个性质？

探究任务二：

我们已知“角平分线上的点到角两边的距离相等”，那这个命题的逆命题“到角的两边距离相等的点在角的平分线上是否是一定的呢？

请大家探究结论并给予证明。

同步练习

（答题时间：

60分钟）

一、选择题：

1.三角形中到三边距离相等的点是（）

A.三条边的垂直平分线的交点

B.三条高的交点

C.三条中线的交点

D.三条角平分线的交点

2.如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为（）

A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定

3.如果三角形的一个角的平分线恰好是其对边上的高，那么这个三角形是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

4.如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，以上结论正确的是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

5.如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：

①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠EAC的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三个角的平分线的交点。

上述结论中，正确结论的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：

6.已知O是△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，若OD＝5，△ABC的周长等于20，则△ABC的面积等于S△ABC＝。

7.如图，AB∥CD，O是∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB与CD间的距离等于。

8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，AB＝8cm，则△DEB的周长为____。

三、解答题：

9.已知：

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且∠EDF＋∠EAF＝180°。

求证：

DE＝DF。

试题答案

一、选择题：

1.D；2.C；3.B；4.A；5.D

二、填空题：

6.50；7.4；8.8cm

三、解答题：

9.证明：

过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。

∵AD平分∠BAC

∴DM＝DN

∵∠MAN＋∠AMD＋∠AND＋∠MDN＝360°

∠AMD＋∠AND＝180°

∴∠MDN＋∠MAN＝180°

∵∠EDF＋∠FAE＝180°

∴∠MDN＝∠EDF

∴∠MDE＝∠FDN

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∙·办公室健康恶习大盘点（图）

∙·八种食物让宝宝睡得香[图]

∙·美国研究表明多交朋友可多活3.7年

∙·惊！

人人都有喝水5大误区（组图）

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最难消化的食物（组图）

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∙·猫咪身体惊现奇异斑纹清晰单词“表明身份”

∙·摄影师拍到海豹鲨口惊险逃生

∙·英国最胖红毛猩猩体重近百公斤开始减肥

∙·美国渔民捕到2.4米长牛鲨：

堪称最危险鲨鱼

∙·摄影师拍到海鸥空中伏击海雕抢食瞬间

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 家长沙龙

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∙·家庭教育中容易忽略的问题

∙·警惕：

妈妈别踩5个雷区

∙·妈妈的"素质"有多高，孩子就能飞多高

∙·父母该怎样使用鼓励的话语？

∙·4招让妈妈维护男孩自尊

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∙·管教孩子时你注重后果吗？

∙·误区！

乱夸奖孩子麻烦大

∙·不能随意讽刺孩子的幼稚

∙·父母的溺爱让孩子忧郁

∙·父母唠叨孩子易焦虑

∙·矛盾家庭育出迷惘孩子

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