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近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中

只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无

分。

1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：

x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）

A、满射而非单射B、单射而非满射

C、一一映射D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含

有（）个元素。

A、2B、5C、7D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说

A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）

4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）

A、倍数B、次数C、约数D、指数

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a

的逆元是-------。

8、设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设置换和分别为：

写成对换的乘积。

12345678

64173528

，

12345678

23187654

，判断和的奇偶性，并把和

1

2、证明：

任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合Mm{0,1,2,,m1,m}（m1），定义Mm中运算“

m”为amb=（a+b）（modm）,则

（Mm，

m）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

2

1、设G是群。

证明：

如果对任意的xG，有xe

，则G是交换群。

2

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。

A、aB、a,eC、

3

eD、

a

3

e,a,a

2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群

A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法

C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？

（）

A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|

4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），

则3=（）

A、

2B、

1

12C、

2D、

2

21

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A、不可能是群B、不一定是群

C、一定是群D、是交换群

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：

任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则

4

a的阶等于------。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。

5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----

n

a0,a1,,a使得aa0

a。

n01n

8、a是代数系统（A,0）的元素，对任何xA均成立xax，则称a为---------。

9、有限群的另一定义：

一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法

封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,（12）}，写出H的所有陪

集。

3

2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一

个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？

3、a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]和p,q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

4

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：

a?

b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶

2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N,）B、（Z,）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、（P（A）,）

5、设S3＝{

（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，那么，在S3中可以与（123）交换

的所有元素有（）

A、

（1），（123），（132）B、12），（13），（23）

C、

（1），（123）D、S3中的所有元素

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

1

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则ffa

3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有-----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

n

9、设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为--------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

5

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。

S1+S

2也是子环吗？

3、设有置换（1345）（1245），

1

1．求和

；

（234）（456）S。

6

1

2．确定置换和

的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

-1

2、M为含幺半群，证明b=a

的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

2a=e。

6

近世代数模拟试题四

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含

有（）个元素。

A.2B.5

C.7D.10

2.设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射

：

x→x＋2，x∈R，

则是从A到B的（）

A.满射而非单射B.单射而非满射

C.一一映射D.既非单射也非满射

3.设S3＝{

（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，那么，在S3中可以与（123）交换的

所有元素有（）

A.

（1），（123），（132）B.（12），（13），（23）

C.

（1），（123）D.S

3中的所有元素

4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z

15的子群共有（）个。

A.2B.4

C.6D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）

A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法

B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn（Q）关于矩阵的加法与乘法

C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：

m，n∈Z，mn＝0

D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：

m，n∈Z，mn＝1

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个

等价关系。

－1

7.设（G，〃）是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且（ab）

＝

___________。

8.设σ＝（23）（35），τ＝（1243）（235）∈S5，那么στ＝___________（表示成若干个没有

公共数字的循环置换之积）。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素

a的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S3中，设H＝{

（1），（123），（132）}是S3的一个不变子群，则商群G/H

中的元素（12）H＝___________。

11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零

因子是___________。

7

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。

13.设Z［x］是整系数多项式环，（x）是由多项式x生成的主理想，则（x）＝_____________

___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i

___________

___________。

2＝－1，则Z［i］中的所有单位是

15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Z

m的一个映射，其中

：

k→［k］，k∈Z，

验证：

是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。

17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明

这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必

是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）

19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”

由右边的运算表给出，证明：

（G，）作成一个群。

abc

aabc

bbca

ccab

20.设

R

a

c

b

d

a,

b,

c,d

Z

I

a

c

0

0

a,cZ,

已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。

证明：

I是R的一个子环，但不是理想。

21.设（R，＋，〃）是一个环，如果（R，＋）是一个循环群，证明：

R是一个交换环。

近世代数模拟试题一参考答案

一、单项选择题。

1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）。

1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同

构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：

把和写成不相杂轮换的乘积：

（1653）（247）（8）（123）（48）（57）（6）

可知为奇置换，为偶置换。

和可以写成如下对换的乘积：

8

（13）（15）（16）（24）（27）（13）（12）（48）（57）

B

1

2

（

A

A

）

，

C

1

2

（

A

A

）

2、解：

设A是任意方阵，令，则B是对称矩阵，而C是反对称

矩阵，且ABC。

若令有

AB1C，这里

1

B和

1

C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则

1

BB1C1C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：

BB，

1

C，所以，表示法唯一。

C

1

3、答：

（

M，

m

m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和m。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

2111

1、对于G中任意元x，y，由于（xy）e，所以xy（xy）yxyx（对每个x，从x2e可

得

1

xx）。

2、证明在F里

ab

a

11abRb

ba（,,

b

0）

有意义，作F的子集

Q所有

a

b

（a,bR,b

0）

Q显然是R的一个商域证毕。

近世代数模拟试题二参考答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。

1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）。

1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都

等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：

H的3个右陪集为：

{I,（12）}，{（123），（13）}，{（132），（23）}

H的3个左陪集为：

{I,（12）}，{（123），（23）}，{（132），（13）}

2、答：

（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：

a=b+102

b=3×102+85

102=1×85+17

由此得到（a,b）=17,[a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：

17=102-85=102-（b-3×102）=4×102-b=4×（a-b）-b=4a-5b.

所以p=4,q=-5.

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、证明设e是群的幺元。

令x＝a－1*b，则a*x＝a*（a－1*b）＝（a*a－1）*b＝e*b

＝b。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝（a－1*a）*x＝a－1*（a*x）＝a－1*b＝x。

所以，

x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每

个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。

9

若m︱a–b也记为a≡b（m）。

当m=2时，Z2仅含2个元：

[0]与[1]。

近世代数模拟试题三参考答案

一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、mn；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两

种珠子，分类进行计算：

例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，⋯等等，

可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，

因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：

1

3、解：

1．（1243）（56），（16524）

2．两个都是偶置换。

；

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1a

1、证明：

假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义a1，

因而R的任意元bb1

这就是说=R，证毕。

2、证必要性：

将b代入即可得。

充分性：

利用结合律作以下运算：

ab=ab（ab2a）=（aba）b2a=ab2a=e，

ba=（ab2a）ba=ab2（aba）=ab2a=e，

所以b=a-1。

近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，

共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么ABxxA且xB。

（）

2、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。

（）

3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射

1

f。

（）

4、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。

（）

5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。

（）

6、群G的子群H是不变子群的充要条件为gGhHgHgH

1

。

（）

;

10

7、如果环R的阶2，那么R的单位元10。

（）

8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。

（）

9、F（x）中满足条件p（）0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。

（）

10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与

Z同构的子域，这里Z是整数环，p是

p

由素数p生成的主理想。

（）

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干

后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）

1、设

A1,2,,和D都是非空集合，而f是

AA

n

A12到D的一个映射，那么（）

AA

n

①集合AAAD

1,2,,n,中两两都不相同；②A1,A2,,An的次序不能调换；

③A1A2An中不同的元对应的象必不相同；

④一个元a1,a2,,an的象可以不唯一。

2、指出下列那些运算是二元运算（）

①在整数集Z上，

ab

ab；②在有理数集Q上，abab；

ab

③在正实数集R上，abalnb；④在集合nZn0上，abab。

3、设是整数集Z上的二元运算，其中abmaxa,b（即取a与b中的最大者），那么在Z

中（）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:

ababk，这里k为G中固定的常数。

那

么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（）

①0和x；②1和0；③k和x2k；④k和（x2k）。

5、设a,b,c和x都是群G中的元素且xabxc,acxxac

21，那么x（）

①

bc；②1a

1a

1

c；③1a

1a

1

a；④bca1bc1

1bc1

1。

6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。

如果6，那么G的阶G（）

①6；②24；③10；④12。

7、设

f:

GG是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）

12

①f的同态核是

G的不变子群；②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群

1

的象是G2的子群；④G1的不变子群的象是G2的不变子群。

8、设

f:

RR是环同态满射，f（a）b，那么下列错误的结论为（）

12

①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元；

③若a不是零因子，则b不是零因子；④若

9、下列正确的命题是（）

R是不交换的，则R1不交换。

2

①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；

③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。

10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）

①E:

IE:

II:

F；②F:

EI:

FE:

I；

③I:

FE:

FF:

I；④E:

FE:

II:

F。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。

每空1分，共10分）

11

1、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa。

3、设集合A有一个分类，其中

A与Aj是A的两个类，如果AiAj，那么AiAj。

i

4、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为。

5、凯莱定理说：

任一个子群都同一个同构。

6、给出一个5-循环置换（31425），那么

1。

7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达

为。

8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么

是。

R是一个域当且仅当I

I

9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果。

10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线

上面。

指出错误1分，更正错误2分。

每小题3分，共15分）

1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在

次序可以掉换。

a12里，元的

aa

n

2、有限群的另一定义：

一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法

封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S0。

4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和

'

d都是a和b的最大公因子，

那么必有

'

dd。

5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元

a0,a1,,a使得

n

n

aaa0。

01n

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）

1、给出下列四个四元置换

1