小学奥数基础汇总.docx

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小学奥数基础汇总

第一章数的认识

1、数的意义

一、整数的分类和意义

正整数

自然数

整数0

负整数

1、整数：

像-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,……这样的数统称为整数。

整数的个数是无限的,没有最小的整数,也没有最大的整数。

2、正整数和负整数：

像1,2,3,……这样的数叫做正整数,像-1,-2,-3,……这样的数叫做负整数。

0既不是正整数,也不是负整数。

正整数都大于0,负整数都小于0。

3、0：

数物体的时候,如果一个物体也没有,就用“0”表示。

0可以表示正负数的分界；0可以表示起点（如零刻度）；计数时0起占位作用。

最小的一位数是1而不是0。

4、自然数：

我们在数物体的时候,用来表示物体个数的0,1,2,3,……叫做自然数。

0是最小的自然数。

自然数的个数是无限的。

没有最大的自然数。

二、小数的意义和性质

1、小数的意义：

把一个整体（或单位“1”）平均分成10份、100份、1000份、……这样的1份或几份是十分之一、百分之一、千分之一、……或十分之几、百分之几、千分之几、……也可以用小数来表示。

2、小数的分类

有限小数：

如3.2,2.37,1.78954等。

按数位分纯循环小数：

如1.373737……,2.．3．2等。

无限循环小数

无限小数混循环小数：

如6.93737……,2.40．3．2等。

无限不循环小数：

如6.367921……,1.58632……,π等。

纯小数：

如0.2,0.45,0.376,……等。

按整数部分分

带小数（混小数）：

如3.47,1.003,4.5,……等。

（1）有限小数:

小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。

（2）无限小数:

小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。

（3）纯小数：

整数部分是零的小数叫做纯小数。

纯小数小于1。

（4）带小数：

整数部分不是零的小数叫做带小数。

带小数大于1或等于1。

（5）循环小数：

一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。

循环小数都是无限小数。

（6）循环节：

一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,叫做这个循环小数的循环节。

（7）纯循环小数：

循环节从小数部分第一位开始的小数,叫做纯循环小数。

（8）混循环小数：

循环节不是从小数部分第一位开始的小数,叫做混循环小数。

3、小数的基本性质

小数的末尾添上“0”或者去掉“0”,小数的大小不变。

这叫做小数的基本性质。

4、小数点位置的移动引起小数大小变化的规律：

小数点向右移动一位,原来的数扩大10倍,小数点向右移动两位,原来的数扩大100倍,小数点向右移动三位,原来的数扩大1000倍,……。

小数点向左移动一位,缩小到原数的十分之一,小数点向左移动两位,缩小到原数的百分之一,小数点向左移动三位,缩小到原数的千分之一,……。

三、分数的意义和性质

1、分数的意义：

把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫做分数。

在分数里,表示把单位“1”平均分成多少份的数,叫做分数的分母；表示取了多少份的数,叫做分数的分子；其中一份的数,叫做分数单位。

2、分数的分类：

真分数：

分子比分母小的分数叫做真分数。

真分数小于1。

如

……。

真分数小于1。

假分数：

分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。

如

……。

假分数大于或等于1。

带分数：

假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。

如3

5

……。

它是大于1的假分数的另一种表现形式。

3、分数与除法的关系

在分数里,分子相当于除法算式中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数值相当于商。

被除数÷除数=

因为零不能作除数,所以分数的分母也不能为零。

4、分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数,分数的大小不变。

四、百分数的意义

1、百分数的意义：

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。

也叫做百分率或百分比。

百分数通常用“﹪”表示。

百分数的分数单位是1﹪。

2、百分数和分数的关系：

分数既可以表示一个数,也可以表示两个数的比,而百分数只表示一个数占另一个的百分比,不能用来表示具体数。

因此,百分数是一种特殊的分数,绝不能有单位名称。

分数可以有单位名称。

五、正负数的认识

1、大于0的数叫正数。

2、小于0的数叫负数。

3、正负数是表示两种具有相反意义的量,比如生活中的收入与支出,0上温度和0下温度等。

2、数的读、写和改写

一、数位的顺序

1、计数单位：

个、十、百、……以及十分之一、百分之一、……都是计数单位。

2、数位：

各个计数单位所占的位置,叫做数位。

数位是按一定的顺序排列的。

3、整数和小数的数位顺序表

二、数的读法和写法

1、整数的读法和写法

（1）整数的读法：

从高位起,一级一级地读。

读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面读一个“亿”字或“万”字。

读个级时,千位上是几就读几千,百位上是几就读几百,十位上是几就读几十,个位上是几就读几。

中间有一个0或连续有几个0,只读一个0,每级末尾的0都不读。

（2）、整数的写法：

从高位到低位,一级一级地往下写,那个数位上有几个计数单位,就在那个数位上写几,那个数位上一个计数单位都没有,就在哪一位上写0。

2、小数的读法和写法

（1）读法：

读小数时,整数部分按照整数的读法来读,小数点读作“点”,小数部分依次读出每个数位上的数字。

（2）写法：

整数部分按照整数的写法来写,小数部分依次写出每个数位上的数字。

3、分数的读法和写法

（1）读法：

读分数时,先读分母,再读“分之”,最后读分子。

读带分数时,先读整数部分,再读“又”字,最后读分数部分。

（2）写法：

写分数时,先写分数线,再写分母,最后写分子。

写带分数时,先写整数部分,再写分数部分,整数部分要对准分数线。

4、百分数的读法和写法

读百分数时,先读“百分之”,再度百分号前面的数。

写百分数时,百分数通常不写成分数形式,而是在原来的分子后面添上百分号“﹪”。

5、正数和负数的读写方法

（1）、正数的读写：

在数字（0除外）前面没有“＋”或“－”的数和前面有“＋”的数读作“正几”。

写正数时,前面写“＋”或省略不写。

（2）、负数的读写：

在数字（0除外）前面没有“－”的数读作“负几”。

写负数时,前面写“－”。

三、数的改写

1、把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数,只要在“万位”或“亿位”的右下角打上小数点,把小数末尾的0去掉,同时添上“万”字或“亿”字。

中间用“=”连接。

四、近似数

1、省略尾数求近似数：

把一个数省略“万位”或“亿位”后面的尾数取近似数时,只要在“万位”或“亿位”的右下角打上小数点,用“四舍五入法”保留整数,同时添上“万”字或“亿”字。

中间用“≈”连接。

2、求小数的近似数：

根据要求,要把小数保留到哪一位,就把这一位后面的尾数按照“四舍五入”法省略,中间用“≈”连接。

保留整数,表示精确到个位；保留一位小数,表示精确到十分位；保留两位小数,表示精确到百分位；保留三位小数,表示精确到千分位；……

五、分数、小数和百分数之间的互化

判断一个分数能不能化成有限小数的方法：

要看这个分数是不是最简分数,如果是最简分数,就要看其分母中含有哪些质因数,如果分母中只含有质因数2和5,这个分数就能化成有限小数,如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。

3、数的大小比较

一、比较整数的大小：

比较正整数的大小,位数多的那个数就大；如果位数相同,就看最高位,最高位数字大的那个数就大。

最高位的数字也相同,就看下一位,哪一位上的数字大,那个数就大。

二、比较小数的大小：

比较小数的大小,先看他们的整数部分,整数部分大的那个数就大；整数部分相同的,十分位的数大的那个数就大；十分位也相同的,百分位的数大的那个数就大；……

三、比较分数的大小：

分母相同的分数,分子大的分数就大。

分子相同的分数,分母大的分数反而小；分子、分母都不相同的,先通分,再比较大小。

四、比较百分数的大小：

比较百分数的大小,只要比较百分号前面的数,哪个大,哪个百分数就大。

五、整数、小数、分数、百分数之间的比较：

先把分数、百分数化成小数,再和整数、小数一起进行比较。

排序时,要用原来的数进行排列。

六、比较正数、负数的大小：

1、正数＞0＞负数

2、两个负数比较大小,数值大的反而小。

4、数的整除

一、整除和除尽的意义

1、整除：

整数ɑ除以整数b（b≠0）,除得的商正好是整数而没有余数,我们就说ɑ能被b整除,或者说b能整除ɑ。

2、除尽：

两个数相除,所得的商是整数或有限小数,而没有余数,就是除尽。

3、整除一定是除尽,除尽不一定是整除。

4、数的整除,一般不包括“0”。

二、因数和倍数

1、因数和倍数的意义：

如果数ɑ能被数b整除,ɑ就叫做b的倍数,b就叫做ɑ的因数（也叫做约数）。

因数和倍数是相互依存的。

2、因数和倍数的特点

（1）、一个数的因数（约数）的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。

（2）、一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。

没有最大的倍数

（3）、一个数既是它的因数,又是他的倍数。

三、能被2、5、3整除的数的特征

1、能被2整除的数的特征：

个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。

2、能被5整除的数的特征：

个位上是0或者5的数都能被5整除。

3、能被3整除的数的特征：

一个数各个数位上的数字的和能被3整除,这个数就能被3整除。

4、同时能被2、5、3整除的数的特征：

一个数的个位是0,各位上的数字的和能被3整除,这个数就能同时被2、5、3整除。

四、质数、合数、分解质因数1、判断一个数是质数还是合数的方法：

一个数只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数（也叫素数）。

一个数除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。

1不是质数也不是合数。

2、分解质因数:

（1）质因数：

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。

（2）分解质因数：

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

（3）分解质因数的方法：

把一个合数分解质因数,用能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）连续去除,一直除到最后的商是质数为止,然后把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。

五、最大公因数、最小公倍数：

1、最大公因数：

（1）、几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。

其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。

（2）、求几个数的最大公因数的方法：

方法一：

求几个数的最大公因数,用这几个数的公因数（通常从最小的质数开始）连续去除,一直除到这几个数只有公因数1为止,然后把所有的除数连乘起来。

方法二：

先把每个数分解质因数,然后把公有的质因数连乘起来。

（3）、互质数：

公因数只有1的两个数叫做互质数。

（4）、成互质关系的两个数,有下列几种情况：

①、1和任何自然数互质。

②、相邻的两个自然数互质。

③、两个不同的质数互质。

④、当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。

⑤、两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。

⑥、如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。

如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。

2、最小公倍数：

（1）、几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数

的最小公倍数。

（2）、求几个数的最小公倍数的方法：

①、如果两个数是互质数,那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。

②、如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

③、求几个数的最小公倍数的方法：

方法一：

求几个数的最小公倍数,用这几个数公有的质因数（通常从最小的开始）连续去除,一直除到每两个数都是互质数为止,然后把所有的除数和最后的商连乘起来。

方法二：

先把每个数分解质因数,然后把公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来。

（3）、几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。

第二章数的运算

一、四则运算的意义

1、加法的意义：

把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。

加数是部分数,和是总数。

2、减法的意义：

已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。

在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。

被减数是总数,减数和差分别是部分数。

加法和减法互为逆运算。

3、乘法的意义：

求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。

相同加数的和叫做积。

在乘法里,0和任何数相乘都得0。

1和任何数相乘都的任何数。

一个数乘分数,就是求这个数的几分之几是多少。

4、减法的意义：

已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。

在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。

在除法里,0不能做除数。

这是因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。

乘法和除法互为逆运算。

二、四则运算的法则

1、整数四则运算的法则

（1）、整数加法计算法则：

相同数位对齐,从最低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。

（2）、整数减法计算法则：

相同数位对齐,从最低位减起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减。

（3）、整数乘法计算法则：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘得的数加起来。

（4）、整数除法计算法则：

先从被除数的最高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位；如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。

如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。

每次除得的余数必须比除数小。

（5）有余数除法的检验方法：

商×除数＋余数=被除数

2、小数四则运算的法则

（1）小数加减法的计算法则：

计算小数加减法,要把小数点对齐,也就是相同数位对齐,然后按照整数加减法的法则进行计算。

得数的小数点要和横线上各数的小数点对齐。

（2）小数乘法计算法则：

先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点,位数不够时,就用“0”补足。

（3）小数除法计算法则：

①、除数是整数的小数除法计算法则：

先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再继续除。

②、除数是小数的除法计算法则：

先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”）,然后按照除数是整数的除法法则进行计算。

3、分数四则运算的法则

（1）、同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。

（2）、异分母分数加减法计算方法:

异分母分数相加减,先通分,然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。

根据分数的基本性质,把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数,叫做通分。

通分方法：

先求出原来几个分数分母的最小公倍数作为公分母,然后根据分数的基本性质把每个分数化成用公分母作分母的分数。

（3）、带分数加减法的计算方法:

整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。

（4）、分数乘法的计算法则:

分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变；分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母；能约分的要约分。

整数可以看成分母是1的分数。

（5）、分数除法的计算法则:

甲数除以乙数（0除外）,等于甲数乘乙数的倒数。

乘积是1的两个数互为倒数。

求一个数的倒数的方法：

求一个数的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置就可以了。

（6）、四则运算顺序：

加法、减法、乘法和除法统称四则运算。

加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算。

在没有括号的算式里,如果只有加、减法或者只有乘、除法,都要按从左往右的顺序进行计算；有乘、除法又有加、减法,要先算乘、除法,再算加减法；算式里有括号,要先算括号里面的。

三、文字题的列式要点：

用语言文字表达,由数学术语和数字编成的数学题目,叫做文字题。

解文字题正确列式的关键是理解数学术语。

常用的数学术语是“的”字结构。

主要有一下几种类型：

1、“甲”与“乙”的和；列式：

甲+乙=和

2、“甲”与“乙”的差；列式：

大数-小数=差

3、“甲”与“乙”的积；列式：

甲×乙=积

4、“甲”除“乙”的商；列式：

乙÷甲=商

5、“甲”除以“乙”的商；列式：

甲÷乙=商

6、“和”乘“差”；列式：

（和）×（差）=积

7、“积”减去“商”；列式：

积-商=差

8、甲是乙的x倍；（意思是甲相当于x个乙。

把甲平均分成x份,每份等于乙。

求甲列式：

乙×x=甲；求乙列式：

甲÷x=乙）。

9、甲比乙的x倍多n；求甲列式：

乙×x＋n=甲,求乙列式：

（甲—n）÷x=乙

10、甲比乙的x倍少n；求甲列式：

乙×x－n=甲,求乙列式：

（甲＋n）÷x=乙

二、运算定律和简便运算

（一）、运算定律和性质

交换律

结合律

分配率

运算性质

加法

两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。

用字母表示：

a+b=b+a

三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数；或者先把后两个数相加,再和第一个数相加,它们的和不变。

用字母表示：

（a+b）+c=a+（b+c）

减法

从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去这几个数的和,差不变。

用字母表示：

a-b-c=a-（b+c）

乘法

两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。

用字母表示：

a×b=b×a

三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘第三个数；或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变。

用字母表示：

（a×b）×c=a×（b×c）

两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加。

用字母表示：

（a+b）×c=a×c+b×c

除法

一个数连续除以几个数,等于这个数除以这几个除数的积。

用字母表示：

a÷b÷c=a÷（b×c）

（二）简便运算

1、能用运算定律和性质进行简算的,要写出运用过程。

2、根据算式具体情况怎样算又对又快就怎样算。

第三章常见的量

一、长度、面积、地积、体积、容积单位之间的进率

1、长度单位：

1千米=1000米1米=10分米=100厘米1分米=10厘米1厘米=10毫米

2、面积单位：

面积单位的规定：

边张1厘米的正方形,面积是1平方厘米

边张1分米的正方形,面积是1平方分米

边张1米的正方形,面积是1平方米

单位进率：

面积

地积

1平方千米=1000000平方米

1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米

1平方千米=100公顷

1公顷=10000平方米

10010010000100

平方厘米平方分米平方米公顷平方千米

3、体积（容积）单位：

体积单位的规定：

棱长1厘米的正方体,体积是1立方厘米

棱长1分米的正方体,体积是1立方分米

棱长1米的正方体,体积是1立方米

单位进率：

体积

容积

1立方米＝1000立方分米

1立方分米＝1000立方厘米

1立方厘米＝1000立方毫米

1升＝1000毫升

1升=1立方分米

1毫升＝1立方厘米

二、常用质量单位和它们之间的进率：

1吨=1000千克1千克=1000克

10001000

克千克吨

三、常用时间单位和它们之间的进率：

1世纪=100年

1年=12个月（1、3、5、7、8、10、12是大月,每月有31天；4、6、9、11是小月,每月有30天；2月平年有28天,闰年有29天。

一般公历年份是4的倍数的都是闰年,但公历年份是整百数的,是400的倍数才是闰年））。

1日=24时1时=60分1分=60秒

计时法：

通常有两种,一种是普通计时法,一种是24时计时法。

四、人民币的单位与进率：

1元=10角1角=10分

五、体积与容积之间的区别和联系

它们的概念不同,体积是物体所占空间的大小,跟物体的外形大小有关,跟物体的内部形状无关；容积则是指容器所能容纳物体的体积,跟容器的内部形状有关,跟容器的外形无关。

它们都可以用来空间的大小,都以体积单位为通用的计量单位,在计量液体的体积是时,一般用特定的容积单位“升”或“毫升”。

六、名数的改写方法：

（一看单位,二想进率）

1、把高级单位的名数改写成低级单位的名数：

看高单位的数量是几,就有几个进率,用乘法计算。

2、把低级单位的名数改写成高级单位的名数：

看低级单位的数量可以分成几个进率,用除法计算。

第四章代数初步知识

1、用字母表示数

一、用字母表示数的意义

用字母表示数,既简单明了,又能表达数量关系的一般规律,为研究和解决实际问题带来很大的方便。

二、用字母表示数的规则：

在含有字母的式子里,数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“·”或者省略不写,在省略乘号的时候,应当把数字写在字母的前面。

2、简易方程

一、等式：

表示两个相等关系的式子。

二、方程：

含有未知数的等式叫做方程。

三、方程与等式的关系：

方程是等式,但等式不一定是方程。

四、方程的解：

使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。

五、解方程：

求方程的解的过程,叫做解方程。

六、解方程的依据：

1、加、减、乘、除各部分之间的关系

一个加数=和-另一个加数

被减数=差+减数减数=被减数–差

一个因数=积÷另一个因数

被除数=商×除数除数=被除数÷商

2、等式的性质：

性质一：

等式两边同时加上（或减去）相同的数,所得的结果仍是等式。

性质二：

等式两边同时乘（或除以）相同的数（0除外）,所得的结果仍是等式。

3、比和比例

一、比的意义和性质

1、比的意义：

两个数相除又叫做两个数的比。

2、比的写法和读法：

表示数a与数b的比,写作a:

b或

“:

”是比号,读作

“比”。

3、前项、后项、比值：

比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商叫做比值。

比的后项不能为0。

4、比、分数、除法三者的关系：

5、比的基本性质：

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）,比值不变。

6、最简整数比：

比的前项和后项是互质数,这个比就是最简整数比。

7、化简比：

根据比的基本性质,把一个比成与它相等的最简整数比,叫做化简比。

8、化简比的方法：

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外）,使前项和后项只有公因数1。

二、比的应用

1、比例尺：

图上距离与和它相对应的实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。

即：

图上距离︰实际距离=比例尺或

=比例尺

常用的比例尺有数字比例尺和线段比例尺两种。

求比例尺的方法一般是：

（1）写出图上距离和实际距离