最新高三数学总复习讲义向量汇总.docx
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最新高三数学总复习讲义向量汇总
2010高三数学总复习讲义——向量
2010高三数学总复习讲义——向量
知识清单
一、向量的有关概念
1.向量:
既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）.
2.向量的表示方法:
⑴字母表示法:
如«SkipRecordIf...»等.
⑵几何表示法:
用一条有向线段表示向量.如«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»等.
⑶坐标表示法:
在平面直角坐标系中,设向量«SkipRecordIf...»的起点O为在坐标原点,终点A坐标为«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»称为«SkipRecordIf...»的坐标,记为«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...».
注:
向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:
长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»相等,记为«SkipRecordIf...».
注:
向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4.零向量:
长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.
5.单位向量:
长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
6.共线向量:
方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:
«SkipRecordIf...»与任一向量共线.
注:
共线向量又称为平行向量.
7.相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算
（一）运算定义
①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.
刻划每一种运算都可以有三种表现形式：
图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：
运算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
记«SkipRecordIf...»=（x1,y1）,«SkipRecordIf...»=（x1,y2）
则«SkipRecordIf...»=（x1+x2,y1+y2）
«SkipRecordIf...»=（x2-x1,y2-y1）
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»
实数与向量的乘积
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»=λ«SkipRecordIf...»
λ∈R
记«SkipRecordIf...»=（x,y）
则λ«SkipRecordIf...»=（λx,λy）
两个向量的数量积
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
记«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»=x1x2+y1y2
（二）运算律
加法：
①«SkipRecordIf...»（交换律）;②«SkipRecordIf...»（结合律）
实数与向量的乘积：
①«SkipRecordIf...»;②«SkipRecordIf...»;③«SkipRecordIf...»
两个向量的数量积:
①«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»;②（λ«SkipRecordIf...»）·«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»·（λ«SkipRecordIf...»）=λ（«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»）;③（«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»）·«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»
注：
根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，
例如（«SkipRecordIf...»±«SkipRecordIf...»）2=«SkipRecordIf...»
（三）运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:
如果«SkipRecordIf...»是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量«SkipRecordIf...»,有且只有一对实数«SkipRecordIf...»,使«SkipRecordIf...»，称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的线性组合。
①其中«SkipRecordIf...»叫做表示这一平面内所有向量的基底;
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量«SkipRecordIf...»的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果«SkipRecordIf...»且«SkipRecordIf...»,那么«SkipRecordIf...».
③当基底«SkipRecordIf...»是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系：
当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A（x，y），则«SkipRecordIf...»=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量«SkipRecordIf...»坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则«SkipRecordIf...»=（x2-x1,y2-y1）
⑵两个向量平行的充要条件
符号语言：
«SkipRecordIf...»
坐标语言为：
设非零向量«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»∥«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»（x1,y1）=λ（x2,y2），
即«SkipRecordIf...»,或x1y2-x2y1=0,在这里,实数λ是唯一存在的,当«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»同向时,λ>0；当«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»异向时,λ<0。
|λ|=«SkipRecordIf...»,λ的大小由«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»的大小确定。
因此,当«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
符号语言：
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
坐标语言：
设非零向量«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
⑷两个向量数量积的重要性质：
①«SkipRecordIf...»即«SkipRecordIf...»（求线段的长度）;
②«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»（垂直的判断）;
③«SkipRecordIf...»（求角度）。
以上结论可以（从向量角度）有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
注:
①两向量«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»的数量积运算结果是一个数«SkipRecordIf...»（其中«SkipRecordIf...»）,这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
②«SkipRecordIf...»叫做向量«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»方向上的投影（如图）.
数量积的几何意义是数量积«SkipRecordIf...»等于«SkipRecordIf...»的模与«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»方向上的投影的积.
③如果«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,
∴«SkipRecordIf...»,这就是平面内两点间的距离公式.
课前预习
1．在«SkipRecordIf...»中，«SkipRecordIf...»（）
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
2.平面内三点«SkipRecordIf...»,若«SkipRecordIf...»∥«SkipRecordIf...»，则x的值为（ ）
（A）-5（B）-1（C）1（D）5
3.设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①（«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»=0②|«SkipRecordIf...»|-|«SkipRecordIf...»|<|«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»|
③（«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»不与«SkipRecordIf...»垂直④（3«SkipRecordIf...»+2«SkipRecordIf...»）·（3«SkipRecordIf...»2«SkipRecordIf...»）=9|«SkipRecordIf...»|2-4«SkipRecordIf...»|2中，
真命题是（）（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④
4.△OAB中,«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,若«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，t∈R，则点P在（）
（A）∠AOB平分线所在直线上（B）线段AB中垂线上
（C）AB边所在直线上（D）AB边的中线上
5.正方形«SkipRecordIf...»对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且«SkipRecordIf...»=（0，3），«SkipRecordIf...»=（4，0），则«SkipRecordIf...»=（）
（A）（«SkipRecordIf...»）（B）（«SkipRecordIf...»）（C）（7，4）（D）（«SkipRecordIf...»）
6.已知«SkipRecordIf...»,则实数x=_______.
7.已知«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»_____,«SkipRecordIf...»______,«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»的夹角的余弦值是_____.
8．在△«SkipRecordIf...»中,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,若«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»=▲.；
9.已知«SkipRecordIf...»的三个顶点分别为«SkipRecordIf...»求«SkipRecordIf...»的大小.
10.已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量«SkipRecordIf...»坐标。
11.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|«SkipRecordIf...»|∶|«SkipRecordIf...»|=1∶3，|«SkipRecordIf...»|∶|«SkipRecordIf...»|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，用«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»表示向量«SkipRecordIf...».
典型例题
一、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»相等的向量。
变式1：
如图1，设O是正六边形的中心，分别写出
图中与«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»共线的向量。
解：
变式2：
如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与«SkipRecordIf...»
的模相等的向量以及方向相同的向量。
解：
二、平面向量的线性运算
EG2.如图，在平行四边形ABCD中，«SkipRecordIf...»a，«SkipRecordIf...»b，
你能用a，b表示向量«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»吗？
变式1：
如图，在五边形ABCDE中，«SkipRecordIf...»a，«SkipRecordIf...»b，
«SkipRecordIf...»c，«SkipRecordIf...»d，
D
E
C
AB
试用a，b，c，d表示向量«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...».
变式2：
如图，在平行四边形ABCD中，若，«SkipRecordIf...»a，«SkipRecordIf...»b
则下列各表述是正确的为（）
A．«SkipRecordIf...»B．«SkipRecordIf...»
C．«SkipRecordIf...»a+bD．«SkipRecordIf...»（a+b）
变式3：
已知«SkipRecordIf...»=a，«SkipRecordIf...»=b,«SkipRecordIf...»=c,«SkipRecordIf...»=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（）
A.a+b+c+d=0B.a－b+c－d=0
C.a+b－c－d=0D.a－b－c+d=0
变式4：
在四边形ABCD中，若«SkipRecordIf...»，则此四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
变式5：
已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是（a+b）与（a－b）垂直的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式6：
在四边形ABCD中，«SkipRecordIf...»=a+2b，«SkipRecordIf...»=－4a－b，«SkipRecordIf...»=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）
A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形
变式7：
已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则«SkipRecordIf...»等（）
A.λ（«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»）,λ∈（0,1）B.λ（«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»）,λ∈（0,«SkipRecordIf...»）
C.λ（«SkipRecordIf...»－«SkipRecordIf...»）,λ∈（0,1）D.λ（«SkipRecordIf...»）,λ∈（0,«SkipRecordIf...»）
变式8：
已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,则下列各式：
①«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»－«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»②«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»③«SkipRecordIf...»=－«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
④«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»+«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»其中正确的等式的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
EG3．
b
a
如图，已知任意两个非零向量a、b，试作«SkipRecordIf...»a+b，«SkipRecordIf...»a+2b，
«SkipRecordIf...»a+3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？
为什么？
变式1：
已知«SkipRecordIf...»a+2b，«SkipRecordIf...»2a+4b，«SkipRecordIf...»3a+6b
（其中a、b是两个任意非零向量），证明：
A、B、C三点共线．
证明：
∵«SkipRecordIf...»a+2b，«SkipRecordIf...»2a+4b，
∴«SkipRecordIf...»所以，A、B、C三点共线．
变式2：
已知点A、B、C在同一直线上，并且«SkipRecordIf...»a+b，«SkipRecordIf...»a+2b，«SkipRecordIf...»a+3b（其中a、b是两个任意非零向量），试求m、n之间的关系．
EG4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：
«SkipRecordIf...»
变式1：
已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
D
C
EF
AB
求证：
«SkipRecordIf...».
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a=（4，2），b=（6，y），且a//b，求y．
变式1：
与向量a=（12，5）平行的单位向量为（）
A．«SkipRecordIf...»B．«SkipRecordIf...»
C．«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»D．«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»
变式2：
已知a«SkipRecordIf...»，b«SkipRecordIf...»，当a+2b与2a－b共线时，«SkipRecordIf...»值为（）
A．1B．2C．«SkipRecordIf...»D．«SkipRecordIf...»
变式3：
已知A（0,3）、B（2,0）、C（－1,3）与«SkipRecordIf...»方向相反的单位向量是（）
A．（0,1）B．（0,－1）C．（－1,1）D．（1,－1）
变式4：
已知a=（1，0），b=（2，1）．试问：
当k为何实数时，ka－b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向？
EG5.设点P是线段«SkipRecordIf...»上的一点，«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»的坐标分别为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»．
（1）当点P是线段«SkipRecordIf...»上的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段«SkipRecordIf...»的一个三等分点时，求P的坐标
变式1：
已知两点«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，则P点坐标是（）
A．«SkipRecordIf...»B．«SkipRecordIf...»C．«SkipRecordIf...»D．«SkipRecordIf...»
变式2：
如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若«SkipRecordIf...»＝a，
«SkipRecordIf...»＝b，则«SkipRecordIf...»＝ ，«SkipRecordIf...»＝ （用a、b表示）
四、平面向量的数量积
EG6.已知|a
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