2212二次函数的图象和性质同步测试含答案.docx
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2212二次函数的图象和性质同步测试含答案
22
一、选择题
1.抛物线y=﹣2(x﹣1)2+
的顶点坐标为( )
A.(﹣1,
)B.(1,
)C.(﹣1,﹣
)D.(1,﹣
)
2.关于y=2(x﹣3)2+2的图象,下列叙述正确的是( )
A.顶点坐标为(﹣3,2)B.对称轴为直线y=3
C.当x≥3时,y随x增大而增大D.当x≥3时,y随x增大而减小
3.若将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为( )
A.y=(x+2)2+3B.y=(x﹣2)2+3C.y=(x+2)2﹣3D.y=(x﹣2)2﹣3
4.抛物线y=﹣2(x+1)2﹣2可由抛物线y=﹣2x2平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
B.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
C.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
D.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
5.如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移
个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是( )
A.y=(x+1)2﹣1B.y=(x+1)2+1C.y=(x﹣1)2+1D.y=(x﹣1)2﹣1
6.设A(﹣1,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)是抛物线y=﹣
上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y2<y3<y1
7.若二次函数y=(x﹣m)2﹣1.当x≤l时,y随x的增大而减小,则m的取值范畴是( )
A.m=lB.m>lC.m≥lD.m≤l
8.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象通过( )
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
二、填空题:
9.抛物线y=﹣2(x+3)2﹣1的对称轴是______,顶点坐标是______;当x______时,y随x的增大而增大,当x______时,y随x的增大而减小,当x______时,y取最______值为______.
10.抛物线y=4(x+h)2+k的顶点在第三象限,则有h,k满足h______0,k______0.
11.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x﹣1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1______y2(填“>”、“<”或“=”).
12.抛物线的顶点坐标为P(2,3),且开口向下,若函数值y随自变量的x增大而减小,那么x的取值范畴为______.
13.在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x﹣3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为______.
14.将抛物线y=﹣x2先沿x轴方向向______移动______个单位,再沿y轴方向向______移动______个单位,所得到的抛物线解析式是y=﹣(x﹣3)2+1.
15.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是______.
16.将抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______;
将抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______.
17.抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点为(3,﹣2),且与抛物线y=﹣
的形状相同,则a=______,h=______,k=______.
18.如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=
(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分不交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①不管x取何值,y2的值总是正数;
②a=1;
③当x=0时,y2﹣y1=4
④2AB=3AC.
其中正确结论是______.
三、解答题:
19.若二次函数图象的顶点坐标为(﹣1,5),且通过点(1,2),求出二次函数的解析式.
20.若抛物线通过点(1,1),同时当x=2时,y有最大值3,则求出抛物线的解析式.
21.已知:
抛物线y=
(x﹣1)2﹣3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;
(2)函数y有最大值依旧最小值?
并求出那个最大(小)值;
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
22.在直角坐标系中,二次函数图象的顶点为A(1、﹣4),且通过点B(3,0)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当﹣3<x<3时,函数值y的增减情形;
(3)将抛物线如何样平移才能使它的顶点为原点.
23.如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,﹣4)
(1)求出图象与x轴的交点A、B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=
S△MAB?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请讲明理由.
《22.1.2二次函数的图象和性质》
(1)
参考答案与试题解析
一、选择题
1.抛物线y=﹣2(x﹣1)2+
的顶点坐标为( )
A.(﹣1,
)B.(1,
)C.(﹣1,﹣
)D.(1,﹣
)
【解答】解:
抛物线y=﹣2(x﹣1)2+
的顶点坐标为(1,
),
故选:
B.
2.关于y=2(x﹣3)2+2的图象,下列叙述正确的是( )
A.顶点坐标为(﹣3,2)B.对称轴为直线y=3
C.当x≥3时,y随x增大而增大D.当x≥3时,y随x增大而减小
【解答】解:
顶点坐标为(3,2),故A选项错误;
对称轴为x=3,故选项B错误;
因为二次项系数为2>0,故函数图象开口向上对称轴为x=3,
故当x≥3时,y随x增大而增大,故C选项正确;D选项错误,
故选C.
3.若将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为( )
A.y=(x+2)2+3B.y=(x﹣2)2+3C.y=(x+2)2﹣3D.y=(x﹣2)2﹣3
【解答】解:
将抛物线y=x2向右平移2个单位可得y=(x﹣2)2,再向上平移3个单位可得y=(x﹣2)2+3,
故选:
B.
4.抛物线y=﹣2(x+1)2﹣2可由抛物线y=﹣2x2平移得到,则下列平移过程正确的是( )
A.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
B.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
C.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
D.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
【解答】解:
抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=﹣2(x+1)2﹣2的顶点坐标为(﹣1,﹣2),因为点(0,0)先向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到点(﹣1,﹣2),因此把抛物线y=﹣2x2先向左平移1个单位,再向下平移2个单位可得抛物线y=﹣2(x+1)2﹣2.
故选D.
5.如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移
个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是( )
A.y=(x+1)2﹣1B.y=(x+1)2+1C.y=(x﹣1)2+1D.y=(x﹣1)2﹣1
【解答】解:
∵A在直线y=x上,
∴设A(m,m),
∵OA=
,
∴m2+m2=(
)2,
解得:
m=±1(m=﹣1舍去),
m=1,
∴A(1,1),
∴抛物线解析式为:
y=(x﹣1)2+1,
故选:
C.
6.设A(﹣1,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)是抛物线y=﹣
上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y2<y3<y1
【解答】解:
∵此函数的对称轴为x=
,且开口向下,
∴x>
时,是减函数,
∵A(﹣1,y1)对应A′(2,y1),
∴y3<y1<y2,
故选:
C.
7.若二次函数y=(x﹣m)2﹣1.当x≤l时,y随x的增大而减小,则m的取值范畴是( )
A.m=lB.m>lC.m≥lD.m≤l
【解答】解:
二次函数y=(x﹣m)2﹣1的对称轴为直线x=﹣m,
∵当x≤l时,y随x的增大而减小,
∴m≥1,
故选C.
8.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象通过( )
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
【解答】解:
∵抛物线的顶点在第四象限,
∴﹣m>0,n<0,
∴m<0,
∴一次函数y=mx+n的图象通过二、三、四象限,
故选C.
二、填空题:
9.抛物线y=﹣2(x+3)2﹣1的对称轴是 直线x=﹣3 ,顶点坐标是 (﹣3,﹣1) ;当x <﹣3 时,y随x的增大而增大,当x >﹣3 时,y随x的增大而减小,当x =﹣3 时,y取最 大 值为 ﹣1 .
【解答】解:
抛物线y=﹣2(x+3)2﹣1的对称轴是直线x=﹣3,顶点坐标是(﹣3,﹣1);当x<﹣3时,y随x的增大而增大,当x>﹣3时,y随x的增大而减小,当x=﹣3时,y取最大值为﹣1.
故答案为:
直线x=﹣3,(﹣3,﹣1),<﹣3,>﹣3,=﹣3,大,﹣1.
10.抛物线y=4(x+h)2+k的顶点在第三象限,则有h,k满足h > 0,k < 0.
【解答】解:
∵抛物线y=4(x+h)2+k的顶点坐标为(﹣h,k),
∴﹣h<0,k<0,
∴h>0,k<0.
故答案为:
>,<.
11.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x﹣1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1 > y2(填“>”、“<”或“=”).
【解答】解:
∵a=1>0,
∴二次函数的图象开口向上,
由二次函数y=(x﹣1)2+1可知,其对称轴为x=1,
∵x1>x2>1,
∴两点均在对称轴的右侧,
∵此函数图象开口向上,
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大,
∵x1>x2>1,
∴y1>y2.
故答案为:
>.
12.抛物线的顶点坐标为P(2,3),且开口向下,若函数值y随自变量的x增大而减小,那么x的取值范畴为 x>2 .
【解答】解:
∵抛物线的顶点坐标为P(2,3),且开口向下,若函数值y随自变量的x增大而减小,
∴x>2.
故答案为:
x>2.
13.在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x﹣3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 18 .
【解答】解:
∵抛物线y=a(x﹣3)2+k的对称轴为x=3,且AB∥x轴,
∴AB=2×3=6,
∴等边△ABC的周长=3×6=18.
故答案为:
18.
14.将抛物线y=﹣x2先沿x轴方向向 右 移动 3 个单位,再沿y轴方向向 上 移动 1 个单位,所得到的抛物线解析式是y=﹣(x﹣3)2+1.
【解答】解:
抛物线y=﹣x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=﹣(x﹣3)2+1的顶点坐标为(3,1),因为点(0,0)先向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到点(3,1),因此把抛物线y=﹣x2先向右平移3个单位,再向上平移1个单位可得抛物线y=﹣(x﹣3)2+1.
故答案为右,3;上,1.
15.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数关系式是 y=(x+2)2﹣2 .
【解答】解:
抛物线y=x2+1的顶点坐标为(0,1),
向左平移2个单位,向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣2),
因此,平移后的抛物线的解析式为y=(x+2)2﹣2.
故答案为:
y=(x+2)2﹣2.
16.将抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为 y=2(x+1)2+1 ;
将抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 y=2(x﹣1)2﹣1 .
【解答】解:
抛物线y=﹣2(x+1)2+1的顶点坐标为(﹣1,1),由于抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变,只是开口方向相反,则所得抛物线解析式为y=2(x+1)2+1;
抛物线y=﹣2(x+1)2+1的顶点坐标为(﹣1,1),由于抛物线y=﹣2(x+1)2+1绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为(1,﹣1),同时开口方向相反,则所得抛物线解析式为y=2(x﹣1)2﹣1.
故答案为y=2(x+1)2+1;y=2(x﹣1)2﹣1.
17.抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点为(3,﹣2),且与抛物线y=﹣
的形状相同,则a= ﹣
,h= 3 ,k= ﹣2 .
【解答】解:
∵抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点为(3,﹣2),且与抛物线y=﹣
的形状相同,
∴a=﹣
,h=3,k=﹣2.
故答案为:
﹣
,3,﹣2.
18.如图,抛物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=
(x﹣3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分不交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①不管x取何值,y2的值总是正数;
②a=1;
③当x=0时,y2﹣y1=4
④2AB=3AC.
其中正确结论是 ①④ .
【解答】解:
①∵抛物线y2=
(x﹣3)2+1开口向上,顶点坐标在x轴的上方,
∴不管x取何值,y2的值总是正数,故本小题正确;
②把A(1,3)代入,抛物线y1=a(x+2)2﹣3得,3=a(1+2)2﹣3,解得a=
,故本小题错误;
③由两函数图象可知,抛物线y1=a(x+2)2﹣3解析式为y1=
(x+2)2﹣3,当x=0时,y1=
(0+2)2﹣3=﹣
,y2=
(0﹣3)2+1=
,故y2﹣y1=
+
=
,故本小题错误;
④∵物线y1=a(x+2)2﹣3与y2=
(x﹣3)2+1交于点A(1,3),
∴y1的对称轴为x=﹣2,y2的对称轴为x=3,
∴B(﹣5,3),C(5,3)
∴AB=6,AC=4,
∴2AB=3AC,故本小题正确.
故答案为:
①④.
三、解答题:
19.若二次函数图象的顶点坐标为(﹣1,5),且通过点(1,2),求出二次函数的解析式.
【解答】解:
∵二次函数的图象顶点为(﹣1,5)
∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+5
又∵图象过点(1,2)
∴a(1+1)2+5=2解得a=﹣
∴
.
20.若抛物线通过点(1,1),同时当x=2时,y有最大值3,则求出抛物线的解析式.
【解答】解:
∵x=2时函数y取得最大值3,
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
又∵抛物线通过点(1,1),
∴a(1﹣2)2+3=1,解得a=﹣2,
∴y=﹣2(x﹣2)2+3
21.已知:
抛物线y=
(x﹣1)2﹣3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;
(2)函数y有最大值依旧最小值?
并求出那个最大(小)值;
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
【解答】解:
(1)抛物线y=
(x﹣1)2﹣3,
∵a=
>0,
∴抛物线的开口向上,
对称轴为直线x=1;
(2)∵a=
>0,
∴函数y有最小值,最小值为﹣3;
(3)令x=0,则y=
(0﹣1)2﹣3=﹣
,
因此,点P的坐标为(0,﹣
),
令y=0,则
(x﹣1)2﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
因此,点Q的坐标为(﹣1,0)或(3,0),
当点P(0,﹣
),Q(﹣1,0)时,设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0),
则
,
解得
,
因此直线PQ的解析式为y=﹣
x﹣
,
当P(0,﹣
),Q(3,0)时,设直线PQ的解析式为y=mx+n,
则
,
解得
,
因此,直线PQ的解析式为y=
x﹣
,
综上所述,直线PQ的解析式为y=﹣
x﹣
或y=
x﹣
.
22.在直角坐标系中,二次函数图象的顶点为A(1、﹣4),且通过点B(3,0)
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当﹣3<x<3时,函数值y的增减情形;
(3)将抛物线如何样平移才能使它的顶点为原点.
【解答】解:
(1)∵二次函数的图象顶点为A(1,﹣4),
∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣1)2﹣4,
又∵二次函数图象过点B(3,0)∴a(3﹣1)2﹣4=0解得a=1,
∴y=(x﹣1)2﹣4
(2)∵抛物线对称轴为直线x=1,开口向上,
∴当﹣3<x<1时,y随x的增大而减小,当1≤x<3,y随x的增大而增大,
(3)将抛物线y=(x﹣1)2﹣4向左平移1个单位,再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点.
23.如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,﹣4)
(1)求出图象与x轴的交点A、B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=
S△MAB?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请讲明理由.
【解答】解:
(1)∵抛物线解析式为y=(x+m)2+k的顶点为M(1,﹣4)
∴
令y=0得(x﹣1)2﹣4=0解得x1=3,x2=﹣1
∴A(﹣1,0),B(3,0)
(2)∵△PAB与△MAB同底,且S△PAB=
S△MAB,
∴
,即yP=±5
又∵点P在y=(x﹣1)2﹣4的图象上∴yP≥﹣4
∴
∴存在合适的点P,坐标为(4,5)或(﹣2,5).