考研数学三公式.docx
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考研数学三公式
导数公式:
高等数学公式
(tgx)sec2x
(ctgx)esc2x(secx)secxtgx
(cscx)cscxctgx
(ax)axlna
(logax)—
xlna
(arcsinx)
1
1x2
(arccosx)
1
1x2
(arctgx)
1
1x2
(arcctgx)
1
1x2
基本积分表:
tgxdx
Incosx
ctgxdx
Insinx
secxdx
Insecx
dx
2~
cosx
dx
sin2x
2
secxdxtgxC
csc2xdxctgxC
cscxdx
Incscx
ctgx
secxtgxdxsecxC
dx
~22
ax
1arctgaa
cscxctgxdxcscxC
dx
~22
xa
1
In
2a
x
axdxC
Ina
shxdxchxC
dx
-22
ax
dx
22
ax
1ax
In
2aax
.xarcsin
a
chxdxshxC
dx
22
xa
In(xx2a2)C
2
2
In
n
sin
xdx
n
cos
xdx
0
0
、x2
a2
dx
x2
—:
x
a2
2
x2
2a
dx
x2—x
2a
2
、a2
2x
dx
x2
—a
2x
2
In
討x2a2)Ca2——Inx
2
2
a.xarcsinC
2a
三角函数的有理式积分:
11cos
sin■
2.2
tg-1cos
2,1cos
-正弦定理:
1cos
sin
sin
1
cos
b
c
2R
sinB
sinC
cos—
2
1
cos
X
2
ctg-
1
cos
1cos
sin
.1
cos
sin
1cos
asinA
-余弦定理:
c2a2b22abcosC
-反三角函数性质:
arcsinx
—arccosx
2
arctgx
arcctgx
-半角公式:
n
(n)k(nk)(k)
(uv)Cnuv
k0
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)f(a)f()(ba)
柯西中值定理:
丄®凹丄
F(b)F(a)F()
多元函数微分法及应用
zf[u(x,y),v(x,y)]
z
x
zu
uz
xv
v
x
当uu(x,y),vv(x,y)时,
du—dx—dy
dv
—dx
—dy
xy
x
y
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)0,
dy
Fx
d2y
.2
-(
¥)+—(
dx
Fy
dx
x
Fyy
隐函数F(x,y,z)0,
z
Fx
z
Fy
x
Fz
y
卜z
zf[u(t),v(t)]
Fx)dy
Fy)dx
dzzuzvdtutvt
设fx
<(X0,y
,0)
fy(X0,y。
)
0,令:
fxx(X0,y°)A,fxy(X0,y°)B,
AC
B2
0时,A
0,(x。
,y。
)为极大值
A
0,(x。
,y。
)为极小值
则:
AC
B2
0时,
无极值
AC
B2
0时,
不确定
多元函数的极值及其求法:
fyy(Xo,y0)C
常数项级数:
1时,级数收敛
设:
limnUn,则1时,级数发散
1时,不确定
2、比值审敛法:
1时,级数收敛
设:
lim丛,则1时,级数发散
nU
n1时,不确定
3、定义法:
snu1u2un;limsn存在,则收敛;否则发散。
n
交错级数u1u2u3u4(或u1U2U3,Un0)的审敛法莱布尼兹定理:
绝对收敛与条件收敛:
(1)u1u2un,其中un为任意实数;
(2)U1u2u3un
如果
(2)收敛,则
(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;
如果
(2)发散,而
(1)收敛,则称
(1)为条件收敛级数。
调和级数:
1发散,而
(1)收敛;
nn
级数:
!
收敛;
n
1,-P1时发散
幕级数:
1xx2x3
对于级数(3)a0
a1xa2x2
x1时,收敛于
1x
x1时,发散
n
anX
如果它不是仅在原点
收敛,也不是在全
数轴上都收敛,则必存
|xR时收敛
在R,使:
|xR时发散,其中R称为收敛半径。
.xR时不定
求收敛半径的方法:
设
lim
n
其中an,
an
an1是(3)的系数,则
0时,R-
0时,R
时,R0
函数展开成幕级数:
x00时即为麦克劳林公式:
f(x)f(0)f(0)x丄丄9x2
2!
一些函数展开成幕级数:
欧拉公式:
ix
ecosxisinx
cosx
或
sinx
ixix
ee
2
ixix
ee
微分方程的相关概念:
一阶微分方程:
yf(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy0
可分离变量的微分方程:
一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式,解法:
g(y)dyf(x)dx得:
G(y)F(x)C称为隐式通解。
2贝努力方程:
理P(x)yQ(x)yn,(n0,1)dx
全微分方程:
如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程,即:
uu
du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其中:
P(x,y),—Q(x,y)
xy
u(x,y)C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)ypyqy0,其中p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:
()r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数;
2、求出()式的两个根几卫
3、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
r1,r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根(p24q0)
□Xr2x
yc〔eQe
两个相等实根(p24q0)
y(C1C2X)er1x
一对共轭复根(p24q0)
Ai,ai
pJ4qp2
2,2
yex(c1cosxc2sinx)
二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqyf(x),p,q为常数
f(x)exPm(x)型,为常数;
f(x)ex[R(x)cosxPn(x)sinx]型
线性代数公式大全最新修订
1、行列式
1.n行列式共有n2个元素,展开后有n!
项,可分解为2n行列式;
2.代数余子式的性质:
1、Aj和aj的大小无关;
2、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
3、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;
4
代数余子式和余子式的关系:
皿耳
(1)ijAjAj
(1)ijM
3.
拉普拉斯展开式:
范德蒙行列式:
大指标减小指标的连乘积;特征值;
6.对于n阶行列式A,恒有:
EA
1)kSk
,其中
Sk为k阶主子式;
7.证明A0的方法:
1、A|A;
2、反证法;
3、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解;
4、利用秩,证明r(A)n;
5、证明0是其特征值;
2、矩阵
1.A是n阶可逆矩阵:
A0(是非奇异矩阵);
r(A)n(是满秩矩阵)
A的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组Ax0有非零解;
bRn,Axb总有唯一解;
A与E等价;
A可表示成若干个初等矩阵的乘积;
A的特征值全不为0;
AtA是正定矩阵;
A的行(列)向量组是Rn的一组基;
A是Rn中某两组基的过渡矩阵;
2.
对于n阶矩阵A:
AA*
*
AA
AE
无条件恒成立;
1**1
1T
.T、
1*TT*
3.
(A)(A)
(A)
(A)
(A)(A)
(ab)tbtat
(AB)*
**
BA
(AB)1B1A1
4.
矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;
行列式是数值,可求代数和;
5.
关于分块矩阵的重要结论,
其中均
A
、B可逆:
A
,则:
a2
O
I、A
As
A1A2LAs;
A1
n、a1
②、O
A1
O
BO;(主对角分块)
③、
O
A1
(副对角分块)
处AC1A1A1CB1+並5、
5、1;(拉普拉斯)
OBOB1
Ao1A1O
6、A1O1;(拉普拉斯)
CBB1CA1B1
Er
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.一个mn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:
等价类:
所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵A、B,若r(A)r(B)A:
B;
2.行最简形矩阵:
1、只能通过初等行变换获得;
2、每行首个非0元素必须为1;
3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
3.初等行变换的应用:
(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
r
1、若(A,E)•(E,X),则A可逆,且XA1;
c
2、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A1B,即:
(A,B)(E,A1B):
r
3、求解线形方程组:
对于n个未知数n个方程Axb,如果(A,b):
(E,x),则A可逆,且
4.初等矩阵和对角矩阵的概念:
1、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
2
5.矩阵秩的基本性质:
1、0r(Amn)min(m,n);
2、r(AT)r(A);
3、若A:
B,则r(A)r(B);
4、若P、Q可逆,则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
5、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B);(探)
6、r(AB)r(A)r(B);(探)
7、r(AB)min(r(A),r(B));(探)
8、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且AB0,则:
(探)
I、B的列向量全部是齐次方程组AX0解(转置运算后的结论);
n、r(A)r(B)n
9、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)r(A)r(B)n;
6.三种特殊矩阵的方幕:
1、秩为1的矩阵:
一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
1a
②、型如01
c
b的矩阵:
利用二项展开式;
1
③、利用特征值和相似对角化:
9.线性方程组:
Axb,其中A为mn矩阵,则:
1、m与方程的个数相同,即方程组Axb有m个方程;
2、n与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为n元方程;
10.线性方程组Axb的求解:
1、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);
2、齐次解为对应齐次方程组的解;
3、特解:
自由变量赋初值后求得;
11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:
a11x1a12x2
La1nxn
b1
①、
a21
x1a22
x2
La2n
xn
b2;
LLLLL
LLL
LL
L
am
x1am2x2
La
nmxn
bn
a11
a12
L
a1n
x1
b1
②、
a21
a22
L
a2n
x2
b2Axb(向量方程,A为mn矩阵,m个方程,n个未知数)
M
M
O
M
M
M
am1
am2
L
a
mn
xm
bm
x1
b1
③、
a1
a2L
x2
an
(全部按列分块,其中b2);
M
M
xn
bn
④、
a1x1
a2x2
L
anxn
(线性表出)
⑤、
有解的充要条件
:
r(A)
r(A,)n(n为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
3.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是:
齐次方程组Ax0和Bx0同解;(P101例14)
4.r(ATA)r(A);(R°1例15)
5.n维向量线性相关的几何意义:
1
0;
坐标成比例或共线(平行);
共面;
、线性相关
2、,线性相关
3
6.线性相关与无关的两套定理:
若1,2,L,s线性相关,则若1,2,L,s线性无关,则
、,,线性相关
1,2,L,s,s1必线性相关;
1,2,L,s1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
7.
8.
9.性;
10.
11.
12.
性)
13.
14.
若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量,构成n维向量组B:
若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:
无关组延长后仍无关,反之,不确定;
向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs(二版P74定理7);
向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)r(B);(F86定理3)向量组A能由向量组B线性表示
AXB有解;
r(A)r(A,B)(P85定理2)
向量组A能由向量组B等价
r(A)r(B)r(A,B)(F85定理2推论)
方阵A可逆存在有限个初等矩阵P,P2,L,Pi,使APP2LP;
①、矩阵行等价:
A~B
PA
B
(左乘,P可逆)Ax0与Bx0同解
②、矩阵列等价:
c
A~BAQ
B
(右乘,Q可逆);
③、矩阵等价:
A~B
PAQ
B
(P、Q可逆);
对于矩阵Amn与Bl
1、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;
2
且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关
、若A与B行等价,则Ax0与Bx0同解,
3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
4
、矩阵A的行秩等于列秩;
设向量组Bnr:
bi,b2,L,br可由向量组AnsVS,L,8s线性表示为:
(P110题19结论)
(1,2丄,s)XM0有非零解,即AX0有非零解;
r(i,2,L,s)s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
15.设mn的矩阵A的秩为r,贝Un元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为:
r(S)nr;
16.若*为Axb的一个解,1,2丄,nr为Ax0的一个基础解系,则*,1,2丄,nr线性无关;(Rl1
题33结论)
5、相似矩阵和二次型
3、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;注意:
求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
2.
施密特正交化:
(a,a2,L,aj
b
an0,A0;(必要条件)
考研概率论公式汇总
1随机事件及其概率
A
A
A
吸收律:
AA
A
A(AB)A
A(A
B)A
AB
ABA(AB)
反演律:
ABAB
ABA
B
nn
A瓦
i1i1
n
A
i1
n
i1
2.概率的定义及其计算
P(A)
1P(A)
若A
BP(BA)
P(B)
P(A)
对任意两个事件A,B,有P(BA)
P(B)P(AB)
加法公式:
对任意两个事件A,B,有
P(A
B)
P(A)P(B)
P(AB)
P(A
B)
P(A)P(B)
n
P(
i1
A)
n
P(A)
i11ij
n
P(AAj)P(AAjA)
n1ijkn
(1)n1P(AAAn)
3•条件概率
P(AB)
P(A)
乘法公式
P(AB)P(A)PB
A(P(A)0)
P(AiA2An)
P(Ai)PA2Ai
PAnA1A2An1
(P(AA2Ani)0)
全概率公式
n
P(Bi)P(ABi)
i1
P(A)P(ABi)
i1
P(BkA)
P(ABQ
P(A)
P(Bk)P(ABk)
P(Bi)P(AB)
4.随机变量及其分布
分布函数计算
P(aXb)P(Xb)P(Xa)
F(b)F(a)
5.离散型随机变量
(1)0-1分布
P(Xk)pk(1p)1k,k0,1
(2)二项分布
B(n,p)
若P(A)=p
P(Xk)C
kk
np(1
、nk
p),
k0,1,,n
*Possion定理
limnpn
n
0
有nimCkpk(1
、nk
pn)
k
ek!
k
0,1,2,
(3)Poisson分布P()
P(Xk)e
k
k0,1,2,k!
6.连续型随机变量
(1)
均匀分布
U(a,b)
f(x)
0,
其他
0,
F(x)
(2)指数分布
E()
f(x)
0,
x0
其他
F(x)1
0,
(3)正态分布
N(
(x
2
F(x)J
(t)2
e22dt
*N(0,1)—标准正态分布
1
(x).2e
2x~2
'dt
7•多维随机变量及其分布
二维随机变量(X,丫)的分布函数
xy
F(x,y)f(u,v)dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
Fx(x)
x
f(u,v)dvdu
fx(x)
f(x,v)dv
FyW)
y
f(u,v)dudv
fY(y)
f(u,y)du
8.连续型二维随机变量
(1)区域G上的均匀分布,U(G)
1f(x,y)a,(X,y)G
0,其他
(2)二维正态分布
1(x1)22(Xi)(y2)(y2)2
f(x,y)
2
2(1~T!
T~
x,y
9.二维随机变量的条件分布
f(x,y)fx(x)J|x(yx)fx(x)0
J(y)fx|Y(xy)J(y)0
fx(x)f(x,y)dyfx|Y(xy)fy(y)dy
2(y)f(x,y)dxfY|x(yx)fx(x)dx
fy,x(yx)fx(x)
fy(y)
fxY(x|y)fY(y)
fx(x)
10.随机变量的数字特征
数学期望
E(X)XkPk
k1
E(X)xf(x)dx
随机变量函数的数学期望
x的k阶原点矩
E(xk)
X的k阶绝对原点矩
k
E(|x|)
X的k阶中心矩
E((xE(X))k)
X的方差
2
E((XE(X)))D(X)
X,Y的k+l阶混合原点矩
kl
E(XY)
X,Y的k+l阶混合中心矩
E(XE(X))k(YE(Y))1
X,Y的二阶混合原点矩
E(XY)
X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差
E(XE(X))(YE(Y))
X,Y的相关系数
(XE(X))(YE(Y))
、D(X)、D(Y)
XY
X的方差
D(X)=E((X-E(X))2)
22
D(X)E(X)E(X)
协方差
cov(X,Y)E(XE(X))(YE(Y))
E(XY)E(X)E(Y)
1
-D(XY)D(X)D(Y)2
相关系数
cov(X,Y)
XY_D(X):
D(Y)
—r~"
弟五早
大数定律及中心极限定理
X\、X"Xy相互独立
£(£)=“D(Xk)=a2
定理2
(贝努利)
X、、X、、…、X「…相互独立〜(0—1)分布(参如
定理3
(辛钦)
定理1
(林德)
xw,…相互独立
Eg*同分布
…,X”,…相互独立同分椎(XJ=“D(XJ=/
近似
〜7V((),1)
★
定理2
(德莫弗)
X“〜弘M)
—1
\fta
卜7P
"pQ—p)
近似
~"(0,1)
弟八早
X,
常用统计量及抽样分布
*分布
X,~N(O,1)心1,2,…,〃独立★/=££〜疋(〃)
1=1
E(z2)=^Z>(z2)=2/1
X〜N(0,l),F〜才⑺),独立
竝(刃)£
Z;(〃)«1/2(苍+丿2刃一1)亠
『分布
2茁3
m)=—m),川)沁
尸分布
"〜独立
★尸=^^~尸(珀山2)
1/F-F(/i2,nr)^
F如J
也(厲,“2)=1/化(31)
X〜代ThlX-Ngcr2/n),X“X"…,X”(h—1)S2/a2〜龙2(〃一1)独立x=^yxT52=J-y(x^x)
Th!
X-n/,、
*统计量
八士X:
1=1
/统计量
尸统计量
〜“〃)
〜尸(计2)
样本均值
~N碍)
样本方差
〜才(“―1)
少=±£(