考研数学三公式.docx

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考研数学三公式

导数公式:

高等数学公式

（tgx）sec2x

（ctgx）esc2x（secx）secxtgx

（cscx）cscxctgx

（ax）axlna

（logax）—

xlna

（arcsinx）

1x2

（arccosx）

1x2

（arctgx）

1x2

（arcctgx）

1x2

基本积分表:

tgxdx

Incosx

ctgxdx

Insinx

secxdx

Insecx

cosx

sin2x

secxdxtgxC

csc2xdxctgxC

cscxdx

Incscx

ctgx

secxtgxdxsecxC

~22

1arctgaa

cscxctgxdxcscxC

~22

axdxC

Ina

shxdxchxC

-22

1ax

2aax

.xarcsin

chxdxshxC

In（xx2a2）C

sin

xdx

cos

xdx

、x2

—:

x2—x

、a2

—a

討x2a2）Ca2——Inx

a.xarcsinC

三角函数的有理式积分:

11cos

sin■

2.2

tg-1cos

2,1cos

-正弦定理:

1cos

sin

cos

sinB

sinC

cos—

cos

ctg-

cos

1cos

sin

cos

sin

1cos

asinA

-余弦定理:

c2a2b22abcosC

-反三角函数性质:

arcsinx

—arccosx

arctgx

arcctgx

-半角公式:

（n）k（nk）（k）

（uv）Cnuv

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：

f（b）f（a）f（）（ba）

柯西中值定理：

丄®凹丄

F（b）F（a）F（）

多元函数微分法及应用

zf[u（x,y）,v（x,y）]

当uu（x,y）,vv（x,y）时，

du—dx—dy

—dx

—dy

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,y）0,

d2y

-（

¥）+—（

Fyy

隐函数F（x,y,z）0,

卜z

zf[u（t）,v（t）]

Fx）dy

Fy）dx

dzzuzvdtutvt

设fx

<（X0,y

，0）

fy（X0,y。

）

0,令：

fxx（X0,y°）A,fxy（X0,y°）B,

0时，A

0,（x。

，y。

）为极大值

0,（x。

，y。

）为极小值

则：

0时，

无极值

0时,

不确定

多元函数的极值及其求法:

fyy（Xo,y0）C

常数项级数:

1时，级数收敛

设：

limnUn，则1时，级数发散

1时，不确定

2、比值审敛法：

1时，级数收敛

设：

lim丛，则1时，级数发散

n1时，不确定

3、定义法：

snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。

交错级数u1u2u3u4（或u1U2U3,Un0）的审敛法莱布尼兹定理:

绝对收敛与条件收敛：

（1）u1u2un，其中un为任意实数；

（2）U1u2u3un

如果

（2）收敛，则

（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果

（2）发散，而

（1）收敛，则称

（1）为条件收敛级数。

调和级数：

1发散，而

（1）收敛;

级数：

收敛；

1,-P1时发散

幕级数:

1xx2x3

对于级数（3）a0

a1xa2x2

x1时，收敛于

x1时，发散

anX

如果它不是仅在原点

收敛，也不是在全

数轴上都收敛，则必存

|xR时收敛

在R，使：

|xR时发散，其中R称为收敛半径。

.xR时不定

求收敛半径的方法：

设

lim

其中an，

an1是（3）的系数，则

0时，R-

0时，R

时，R0

函数展开成幕级数:

x00时即为麦克劳林公式：

f（x）f（0）f（0）x丄丄9x2

一些函数展开成幕级数：

欧拉公式:

ecosxisinx

cosx

或

sinx

ixix

微分方程的相关概念:

一阶微分方程：

yf（x,y）或P（x,y）dxQ（x,y）dy0

可分离变量的微分方程：

一阶微分方程可以化为g（y）dyf（x）dx的形式，解法:

g（y）dyf（x）dx得：

G（y）F（x）C称为隐式通解。

2贝努力方程：

理P（x）yQ（x）yn,（n0,1）dx

全微分方程：

如果P（x,y）dxQ（x,y）dy0中左端是某函数的全微分方程，即:

du（x,y）P（x,y）dxQ（x,y）dy0,其中：

P（x,y）,—Q（x,y）

u（x,y）C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

（*）ypyqy0,其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：

（）r2prq0,其中r2,r的系数及常数项恰好是（*）式中y,y,y的系数;

2、求出（）式的两个根几卫

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出（*）式的通解:

r1,r2的形式

（*）式的通解

两个不相等实根（p24q0）

□Xr2x

yc〔eQe

两个相等实根（p24q0）

y（C1C2X）er1x

一对共轭复根（p24q0）

Ai,ai

pJ4qp2

2，2

yex（c1cosxc2sinx）

二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf（x）,p,q为常数

f（x）exPm（x）型，为常数；

f（x）ex[R（x）cosxPn（x）sinx]型

线性代数公式大全最新修订

1、行列式

1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!

项，可分解为2n行列式;

2.代数余子式的性质：

1、Aj和aj的大小无关；

2、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

3、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

代数余子式和余子式的关系：

皿耳

（1）ijAjAj

（1）ijM

拉普拉斯展开式:

范德蒙行列式：

大指标减小指标的连乘积;特征值；

6.对于n阶行列式A，恒有：

1）kSk

，其中

Sk为k阶主子式;

7.证明A0的方法：

1、A|A;

2、反证法；

3、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解;

4、利用秩，证明r（A）n；

5、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）；

r（A）n（是满秩矩阵）

A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组Ax0有非零解；

bRn，Axb总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

A的特征值全不为0;

AtA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基；

A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

对于n阶矩阵A:

AA*

无条件恒成立；

1**1

.T、

1*TT*

（A）（A）

（A）

（A）（A）

（ab）tbtat

（AB）*

（AB）1B1A1

矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；

行列式是数值，可求代数和;

关于分块矩阵的重要结论,

其中均

、B可逆：

，则:

I、A

A1A2LAs；

n、a1

②、O

BO；（主对角分块）

③、

（副对角分块）

处AC1A1A1CB1+並5、

5、1；（拉普拉斯）

OBOB1

Ao1A1O

6、A1O1;（拉普拉斯）

CBB1CA1B1

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:

等价类：

所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;

对于同型矩阵A、B，若r（A）r（B）A:

B；

2.行最简形矩阵：

1、只能通过初等行变换获得；

2、每行首个非0元素必须为1；

3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3.初等行变换的应用：

（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

1、若（A,E）•（E,X），则A可逆，且XA1；

2、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：

（A,B）（E,A1B）:

3、求解线形方程组：

对于n个未知数n个方程Axb，如果（A,b）：

（E,x），则A可逆，且

4.初等矩阵和对角矩阵的概念：

1、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：

左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

5.矩阵秩的基本性质:

1、0r（Amn）min（m,n）;

2、r（AT）r（A）；

3、若A:

B，则r（A）r（B）;

4、若P、Q可逆，则r（A）r（PA）r（AQ）r（PAQ）;（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

5、max（r（A）,r（B））r（A,B）r（A）r（B）;（探）

6、r（AB）r（A）r（B）;（探）

7、r（AB）min（r（A）,r（B））;（探）

8、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0,则：

（探）

I、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；

n、r（A）r（B）n

9、若A、B均为n阶方阵，则r（AB）r（A）r（B）n;

6.三种特殊矩阵的方幕：

1、秩为1的矩阵：

一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律;

②、型如01

b的矩阵：

利用二项展开式;

③、利用特征值和相似对角化:

9.线性方程组：

Axb，其中A为mn矩阵，则：

1、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；

2、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程;

10.线性方程组Axb的求解：

1、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

2、齐次解为对应齐次方程组的解；

3、特解：

自由变量赋初值后求得；

11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2

La1nxn

①、

a21

x1a22

La2n

b2；

LLLLL

LLL

x1am2x2

nmxn

a11

a12

a1n

②、

a21

a22

a2n

b2Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）

am1

am2

③、

a2L

（全部按列分块，其中b2）；

④、

a1x1

a2x2

anxn

（线性表出）

⑤、

有解的充要条件

：

r（A）

r（A,）n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

3.矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：

齐次方程组Ax0和Bx0同解；（P101例14）

4.r（ATA）r（A）；（R°1例15）

5.n维向量线性相关的几何意义：

0；

坐标成比例或共线（平行）；

共面；

、线性相关

2、,线性相关

6.线性相关与无关的两套定理：

若1,2,L,s线性相关，则若1,2,L,s线性无关，则

、,,线性相关

1,2,L,s,s1必线性相关；

1,2,L,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

9.性；

10.

11.

12.

性）

13.

14.

若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B:

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之:

无关组延长后仍无关，反之，不确定；

向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs（二版P74定理7）;

向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）r（B）；（F86定理3）向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r（A）r（A,B）（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价

r（A）r（B）r（A,B）（F85定理2推论）

方阵A可逆存在有限个初等矩阵P,P2,L,Pi，使APP2LP；

①、矩阵行等价:

A~B

（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解

②、矩阵列等价:

A~BAQ

（右乘，Q可逆）；

③、矩阵等价：

A~B

PAQ

（P、Q可逆）；

对于矩阵Amn与Bl

1、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关

、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解,

3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;

、矩阵A的行秩等于列秩；

设向量组Bnr:

bi,b2,L,br可由向量组AnsVS,L,8s线性表示为：

（P110题19结论）

（1,2丄，s）XM0有非零解，即AX0有非零解;

r（i,2,L,s）s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15.设mn的矩阵A的秩为r，贝Un元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：

r（S）nr;

16.若*为Axb的一个解，1,2丄,nr为Ax0的一个基础解系，则*,1,2丄，nr线性无关；（Rl1

题33结论）

5、相似矩阵和二次型

3、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：

求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化;

施密特正交化：

（a,a2,L,aj

an0,A0；（必要条件）

考研概率论公式汇总

1随机事件及其概率

吸收律:

A（AB）A

A（A

B）A

ABA（AB）

反演律:

ABAB

ABA

A瓦

i1i1

2.概率的定义及其计算

P（A）

1P（A）

若A

BP（BA）

P（B）

P（A）

对任意两个事件A,B,有P（BA）

P（B）P（AB）

加法公式：

对任意两个事件A,B,有

P（A

B）

P（A）P（B）

P（AB）

P（A

B）

P（A）P（B）

P（

A）

P（A）

i11ij

P（AAj）P（AAjA）

n1ijkn

（1）n1P（AAAn）

3•条件概率

P（AB）

P（A）

乘法公式

P（AB）P（A）PB

A（P（A）0）

P（AiA2An）

P（Ai）PA2Ai

PAnA1A2An1

（P（AA2Ani）0）

全概率公式

P（Bi）P（ABi）

P（A）P（ABi）

P（BkA）

P（ABQ

P（A）

P（Bk）P（ABk）

P（Bi）P（AB）

4.随机变量及其分布

分布函数计算

P（aXb）P（Xb）P（Xa）

F（b）F（a）

5.离散型随机变量

（1）0-1分布

P（Xk）pk（1p）1k,k0,1

（2）二项分布

B（n,p）

若P（A）=p

P（Xk）C

np（1

、nk

p）,

k0,1,,n

*Possion定理

limnpn

有nimCkpk（1

、nk

pn）

ek!

0,1,2,

（3）Poisson分布P（）

P（Xk）e

k0,1,2,k!

6.连续型随机变量

（1）

均匀分布

U（a,b）

f（x）

其他

F（x）

（2）指数分布

E（）

f（x）

其他

F（x）1

（3）正态分布

N（

（x

F（x）J

（t）2

e22dt

*N（0,1）—标准正态分布

（x）.2e

2x~2

'dt

7•多维随机变量及其分布

二维随机变量（X，丫）的分布函数

F（x,y）f（u,v）dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

Fx（x）

f（u,v）dvdu

fx（x）

f（x,v）dv

FyW）

f（u,v）dudv

fY（y）

f（u,y）du

8.连续型二维随机变量

（1）区域G上的均匀分布，U（G）

1f（x,y）a，（X，y）G

0,其他

（2）二维正态分布

1（x1）22（Xi）（y2）（y2）2

f（x,y）

2（1~T!

x,y

9.二维随机变量的条件分布

f（x,y）fx（x）J|x（yx）fx（x）0

J（y）fx|Y（xy）J（y）0

fx（x）f（x,y）dyfx|Y（xy）fy（y）dy

2（y）f（x,y）dxfY|x（yx）fx（x）dx

fy,x（yx）fx（x）

fy（y）

fxY（x|y）fY（y）

fx（x）

10.随机变量的数字特征

数学期望

E（X）XkPk

E（X）xf（x）dx

随机变量函数的数学期望

x的k阶原点矩

E（xk）

X的k阶绝对原点矩

E（|x|）

X的k阶中心矩

E（（xE（X））k）

X的方差

E（（XE（X）））D（X）

X,Y的k+l阶混合原点矩

E（XY）

X,Y的k+l阶混合中心矩

E（XE（X））k（YE（Y））1

X,Y的二阶混合原点矩

E（XY）

X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差

E（XE（X））（YE（Y））

X,Y的相关系数

（XE（X））（YE（Y））

、D（X）、D（Y）

X的方差

D（X）=E（（X-E（X））2）

D（X）E（X）E（X）

协方差

cov（X,Y）E（XE（X））（YE（Y））

E（XY）E（X）E（Y）

-D（XY）D（X）D（Y）2