[精解详析]
（1）∵i＝＋＋＋＝1，
∴a＝10，
则P（X＝1或X＝2）
＝P（X＝1）＋P（X＝2）
＝＋＝.
（2）由a＝10，
可得P
＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）
＝＋＋＝.
[一点通]
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
（1）X的各个取值表示的事件是互斥的．
（2）不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
解：
由分布列的性质可知
解得a＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2.某射手射击所得环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
求此射手“射击一次命中的环数不小于7”的概率．
解：
根据射手射击所得的环数X的分布列，
有P（X＝7）＝0.09，P（X＝8）＝0.28，P（X＝9）＝0.29，P（X＝10）＝0.22.
所求的概率为P（X≥7）＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
二点分布问题
[例2] 袋内有10个白球、5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．
[思路点拨] X只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据二点分布的特点求出X＝1的概率，最后列成表格的形式即可．
[精解详析] 由题设可知X服从二点分布，
P（X＝0）＝＝，
∴P（X＝1）＝1－P（X＝0）＝1－＝.
∴X的分布列为
X
0
1
P
[一点通]
注意二点分布的几个特点：
（1）二点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
（2）二点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
（3）由对立事件的概率公式可知，已知P（X＝0）（或P（X＝1））便可求出P（X＝1）（或P（X＝0））．
3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示产品为合格品，X＝1表示产品为次品，则X的分布列为
X
0
1
P
解析：
X＝0表示取到一个合格品，概率为95%；X＝1表示取到一个次品，概率为5%.
答案：
0.95 0.05
4．若随机变量X只能取两个值0,1，又知X取0的概率是取1的概率的3倍，写出X的分布列．
解：
由题意及分布列满足的条件知P（X＝0）＋P（X＝1）＝3P（X＝1）＋P（X＝1）＝1，
所以P（X＝1）＝，故P（X＝0）＝.
所以X的分布列为
X
0
1
P
求离散型随机变量的分布列
[例3] （10分）放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列．
[思路点拨] 要写出随机变量X的分布列，首先要列出X所有可能的取值，其次要确定X的每一个取值所对应的概率，最后才能写出随机变量X的分布列．
[精解详析] 设黄球有n个，则由题意知绿球有2n个，红球有4n个，球的总数为7n个．X的可能取值为－1,0,1.
P（X＝－1）＝＝，（4分）
P（X＝0）＝＝，（6分）
P（X＝1）＝＝.（8分）
所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列为
X
－1
0
1
P
（10分）
[一点通]
求离散型随机变量的分布列的步骤：
（1）明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
（2）利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；
（3）按规范形式写出分布列．
5．某商场经销某种商品，根据以往材料统计，顾客采用的分期付款期数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．
解：
依题意，得Y的可能取值为200,250,300，
则P（Y＝200）＝P（X＝1）＝0.4，
P（Y＝250）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.2＋0.2＝0.4，
P（Y＝300）＝P（X＝4）＋P（X＝5）＝0.1＋0.1＝0.2，
所以随机变量Y的分布列为
Y
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
6．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解：
将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝.
故其分布列为
X
1
2
3
4
P
求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：
（1）确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．
（2）在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝（ ）
A. B.
C.D.
解析：
由分布列的性质可知2a＋3a＝1，解得a＝.
答案：
C
2．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝（k＝1,2,3,4,5），则P等于（ ）
A.B.
C.D.
解析：
P＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＝.
答案：
D
3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
P（X＝3）＝＝.
答案：
D
4．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
则P（X＝10）等于（ ）
A.B.
C.D.
解析：
由分布列的性质i＝1，
得＋＋＋…＋＋m＝1，
所以P（X＝10）＝m＝1－
＝1－2×＝.
答案：
C
5．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布列如下：
X
0
1
2
P
x1
x2
x3
则x1，x2，x3的值分别为________________．
解析：
X的可能取值为0,1,2.P（X＝0）＝＝0.1，
P（X＝1）＝＝0.6，P（X＝2）＝＝0.3.
答案：
0.1,0.6,0.3
6．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．
解析：
设X的分布列为
X
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－≤d≤.
答案：
7．（重庆高考）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：
若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
解：
（1）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝＝.
（2）X的所有可能值为1,2,3，且P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
故X的分布列为
X
1
2
3
P
从而E（X）＝1×＋2×＋3×＝.
8．旅游公司为3个旅游团提供了甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．
（1）求3个旅游团选择3条不同线路的概率；
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率；
（3）求选择甲线路的旅游团个数X的分布列．
解：
（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为
P1＝＝.
（2）恰有2条线路没有被选择的概率为
P2＝＝.
（3）由题意知，选择甲线路的旅游团个数X的所有可能取值是0,1,2,3，于是
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
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