辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题Word版含答案.docx
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辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题Word版含答案
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测
理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知
是虚数单位，复数
，则复数
在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知平面向量
，
，若
，则实数
为（）
A．
B．
C．
D．
4.命题
的否定为（）
A．
，
B．
，
C.
，
D．
，
5.已知直线
和圆
，若直线
与圆
相切，则
（）
A．0B．
C.
或0D．
或0
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）
A．
B．
C.
D．
7.将
这4名同学从左至右随机地排成一排，则“
与
相邻且
与
之间恰好有1名同学”的概率是（）
A．
B．
C.
D．
8.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：
“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？
”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数
除以正整数
后的余数为
，则记为
，例如
.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的
等于（）
A．21B．22C.23D．24
9.将函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，若
在
上为增函数，则
的最大值为（）
A．3B．2C.
D．
10.已知
是球
表面上的不同点，
平面
，
，
，
，若球
的表面积为
，则
（）
A．
B．1C.
D．
11.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
与双曲线
的焦点不重合，点
关于
的对称点分别为
，线段
的中点在双曲线的右支上，若
，则
（）
A．3B．4C.5D．6
12.已知函数
，则函数
的零点个数是（）
A．4B．5C.6D．7
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13.二项式
的展开式中的常数项为．
14.若实数
满足不等式组
，则目标函数
的最大值为．
15.已知
的三个内角
的对边分别为
，面积为
，且满足
，
，则
的最大值为．
16.设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
处的切线方程为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知数列
是公差不为0的等差数列，首项
，且
成等比数列.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
，求数列
的前
项和
.
18.（本小题满分12分）
为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下
列联表：
（单位：
人）.
报考“经济类”
不报“经济类”
合计
男
6
24
30
女
14
6
20
合计
20
30
50
（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？
（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量
，求随机变量
的概率分布及数学期望.
附：
参考数据：
0.05
0.010
3.841
6.635
（参考公式：
）
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱
中，侧面
底面
，
，且点
为
中点.
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆
的左焦点为
，
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）如图，设
是椭圆
上一动点，由原点
向圆
引两条切线，分别交椭圆于点
，若直线
的斜率存在，并记为
，求证：
为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问
是否为定值？
若是，求出该值；若不是，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，求证：
；
（Ⅱ）当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若
，证明
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，直线
，圆
，（
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求直线
与圆
的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线
与圆
的交点为
，求
的面积.
23.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数
，
.
（Ⅰ）若
，解关于
的不等式
；
（Ⅱ）若对于任意的实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测
理数试题参考答案
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1-5:
BCCDD6-10:
ABCCB11、12：
AA
二、填空题（本大题共4小题，
每小题5分，共20分）
13.
14.115.816.
三、解答题
17.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设数列
的公差为
，由题设，
，.................2分
即
，解得
.................4分
又∵
，∴
，可以求得
..................6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.................8分
..................12分
（分别求和每步给2分）
18.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）
.................2分
∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关..................4分
（Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为
.............6分
的可能取值为
，由题意，得
∴随机变量
的分布列为
0
1
2
3
.................10分
∴随机变量
的数学期望
..................12分
19.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）证明:
因为
，且
为
的中点，所以
，.................2分
又∵侧面
底面
交线为
且
平面
，
∴
平面
..................4分
（Ⅱ）如图,以
为原点,
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
，
，
，
，
∴
，
，
.................6分
设平面
的一个法向量为
，则有
令
，得
，
∴
..................8分
设平面
的法向量为
，则有
令
，则
，
，∴
.................10分
∴
∴所求二面角的大小为
..................12分
20.（本小题满分12分）
解:
（Ⅰ）由题意得，
，解得
，.................1分
∴椭圆方程为
..................3分
（Ⅱ）由已知，直线
：
，
：
，且与圆
相切，
∴
，化简得
同理
，.................5分
∴
是方程
的两个不相等的实数根
∴
，
，
.................7分
∵点
在椭圆C上，所以
，即
∴
．.................8分
（Ⅲ）
是定值18．
设
，联立
解得
∴
同理，得
．.................10分
由
，∴
综上：
．.................12分
21.（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）
时，
..................1分
当
时，
；当
时，
..................2分
故
在
单调递减，在
单调递增，
，∴
.................3分
（Ⅱ）方法一：
.
由（Ⅰ）知
，当且仅当
时等号成立.故
从而当
，即
时，在区间
上，
，
单调递增，
，即
，符合题意..................5分
又由
，可得
.
从而当
时，
在区间
上，
，
单调递减，
，
即
，不合题意..................7分
综上得实数
的取值范围为
..................8分
方法二：
，令
，则
.
1）当
时，在
上，
，
递增，
，即
在
为增函数，
，
时满足条件；.................5分
2）当
时，令
，解得
，在当
上，
单调递减，
时，有
，即
，
在区间
为减函数，
，不合题意..................7分
综上得实数
的取值范围为
..................8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当
时，
，
，即
欲证不等式
，只需证
..................10分
设
，则
时，
恒成立，且
，
恒成立.
所以原不等式得证..................12分
22.（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）将
的参数方程化为普通方程为
，.................1分
，∴直线
的极坐标方程为
（
R），.................3分
圆
的极坐标方程为
..................5分（Ⅱ）将
代入
，得
解得
=
，
=
，|
|=
－
=
，.................8分
因为圆
的半径为1，则
的面积
=
..................10分（用直角坐标求解酌情给分）
23.（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）当
时，
，即
，.................1分
原不等式等价于
，.................3分
解得
，不等式的解集为
..................5分
（Ⅱ）
，原问题等价于
，.................6分
由三角绝对值不等式的性质，得
.................8分
原问题等价于
，又
，
，解得
..................10分
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