届高考数学艺术生短期集训专题知识突破考点31 数列的求和.docx
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届高考数学艺术生短期集训专题知识突破考点31数列的求和
考点三十一数列的求和
知识梳理
1．公式法求和
常用的求和公式有：
（1）等差数列的前n项和公式：
Sn＝
＝na1＋
d.
（2）等比数列的前n项和公式：
Sn＝
（3）1＋2＋3＋…＋n＝
；
（4）12＋22＋32＋…＋n2＝
；
（5）13＋23＋33＋…＋n3＝
；
（6）1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2；
（7）2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n.
2.错位相减法求和
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
3.倒序相加法求和
适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和．
4.裂项相消法求和
方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和．
常用的裂项公式有：
（1）
＝
－
；
（2）
＝
；
（3）
＝
－
.
（4）
＝
；
5.分组求和
通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和．
典例剖析
题型一错位相减法求和
例1 （2015山东文）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列
的前n项和为
.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝（an＋1）·
，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析
（1）设数列{an}的公差为d，
令n＝1，得
＝
，所以a1a2＝3.
令n＝2，得
＋
＝
，所以a2a3＝15.解得a1＝1，d＝2，
所以an＝2n－1.经检验，符合题意．
（2）由
（1）知bn＝2n·22n－1＝n·4n，
所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，
所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，
两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝
－n·4n＋1＝
×4n＋1－
.
所以Tn＝
×4n＋1＋
＝
.
变式训练（2015湖北文）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）当d>1时，记cn＝
，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析
（1）由题意有
即
解得
或
故
或
（2）由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝
，于是
Tn＝1＋
＋
＋
＋
＋…＋
，①
Tn＝
＋
＋
＋
＋
＋…＋
.②
①－②可得
Tn＝2＋
＋
＋…＋
－
＝3－
，
故Tn＝6－
.
解题要点错位相减法求和是最为重要的求和方法，要熟练掌握，计算时要注意首末留下的项的符号，同时计算要准确．
题型二利用裂项相消法求和
例2 （2015江苏）设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N*），则数列
前10项的和为________．
答案
解析 ∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝
，即an＝
，
令bn＝
，
故bn＝
＝2
，故S10＝b1＋b2＋…＋b10
＝2
＝
.
变式训练（2015安徽文）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝
，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析
（1）由题设知a1·a4＝a2·a3＝8.
又a1＋a4＝9.可解得
或
（舍去）．
由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
（2）Sn＝
＝2n－1，
又bn＝
＝
＝
－
，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＋
＋…＋
＝
－
＝1－
.
解题要点熟记常见的裂项公式是求解的关键．
题型三分组求和与并项求和
例3 数列1
，3
，5
，7
，…，（2n－1）＋
，…的前n项和Sn的值等于____________.
答案n2＋1－
解析该数列的通项公式为an＝（2n－1）＋
，
则Sn＝[1＋3＋5＋…＋（2n－1）]＋
＝n2＋1－
.
变式训练数列{an}满足an＋an＋1＝
（n∈N＋），且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.
答案 6
解析 由an＋an＋1＝
＝an＋1＋an＋2，
∴an＋2＝an，
则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，
∴S21＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋a5）＋…＋（a20＋a21）
＝1＋10×
＝6.
解题要点分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想．
当堂练习
1．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝
＋
＋…＋
的结果可化为____________.
答案
解析an＝2n－1，设bn＝
＝
2n－1，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＋
3＋…＋
2n－1＝
＝
.
2．数列{an}的通项公式an＝
（n∈N*），若前n项和为Sn，则Sn为____________.
答案
（
＋
－
－1）
解析∵an＝
＝
（
－
），
∴Sn＝
（
－1＋
－
＋
－
＋
－
＋…＋
－
＋
－
＋
－
）＝
（－1－
＋
＋
）＝
（
＋
－
－1）.
3.若数列{an}的通项公式是an＝（－1）n（2n－1），则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____________.
答案100
解析由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋（－1）100（2×100－1）＝（－1＋3）＋（－5＋7）＋…＋（－197＋199）＝2×50＝100.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝
，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．
解析
（1）当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
－
＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
（2）由
（1）知，an＝n，故bn＝2n＋（－1）nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝（21＋22＋…＋22n）＋（－1＋2－3＋4－…＋2n）．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝
＝22n＋1－2，
B＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋[－（2n－1）＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为
，满足S3＝15，a1＋2b1＝3，a2＋4b2＝6.
（1）求数列{an}，{bn}的通项an，bn；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解析
（1）设{an}的公差为d，所以
解得a1＝2，d＝3，b1＝
，
所以an＝3n－1，bn＝
n.
（2）由
（1）知Tn＝2×
＋5×
2＋8×
3＋…＋（3n－4）·
n－1＋（3n－1）
n，①
①×
得
Tn＝2×
2＋5×
3＋…＋（3n－4）×
n＋（3n－1）
n＋1，②
1－②得
Tn＝2×
＋3×
－（3n－1）
n＋1
＝1＋3×
－（3n－1）·
n＋1，
整理得Tn＝－（3n＋5）
n＋5.
课后作业
一、填空题
1．
＋
＋
＋…＋
的值为____________.
答案
－
解析∵
＝
＝
＝
，
∴
＋
＋
＋…＋
＝
＝
＝
－
.
2．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，则数列
的前8项和为____________.
答案－
解析设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋
d.由已知可得
解得a1＝1，d＝－1，故{an}的通项公式为an＝2－n.
所以
＝
＝
，所以数列
的前8项和为
＝－
.
3．若数列{an}的通项为an＝4n－1，bn＝
，n∈N*，则数列{bn}的前n项和是____________.
答案n（n＋2）
解析a1＋a2＋…＋an＝（4×1－1）＋（4×2－1）＋…＋（4n－1）＝4（1＋2＋…＋n）－n＝2n（n＋1）－n＝2n2＋n，
∴bn＝2n＋1，
b1＋b2＋…＋bn＝（2×1＋1）＋（2×2＋1）＋…＋（2n＋1）
＝n2＋2n＝n（n＋2）.
4．设数列1，（1＋2），…，（1＋2＋22＋…＋2n－1），…的前n项和为Sn，则Sn＝____________.
答案2n＋1－n－2
解析∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝
＝2n－1，
∴Sn＝（2＋22＋23＋…＋2n）－n＝
－n＝2n＋1－n－2.
5．设数列{an}的通项公式是an＝（－1）n·n，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝____________.
答案50
解析由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋2－3＋4＋…＋（－1）200·100＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－99＋100）＝50.
6．已知数列
：
，
＋
，
＋
＋
，…，
＋
＋
＋…＋
，…，若bn＝
，那么数列
的前n项和Sn为____________.
答案
解析an＝
＝
，∴bn＝
＝
＝4
，
∴Sn＝4
＝4
＝
.
7．等差数列{an}的通项公式an＝2n－1，数列{
}，其前n项和为Sn，则Sn等于____________.
答案
解析∵an＝2n－1，
∴
＝
＝
.
∴Sn＝
＝
＝
.
8．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为____________.
答案
解析 bn＝
＝
＝
－
，
S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝
－
＋
－
＋
－
＋…＋
－
＝
－
＝
.
9．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝19，a5＋b3＝9，则数列{anbn}的前n项和Sn＝__________.
答案（n－1）·2n＋1
解析由条件易求出an＝n，bn＝2n－1（n∈N*）．
∴Sn＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，①
2Sn＝1×2＋2×22＋…＋（n－1）×2n－1＋n×2n.②
由①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n，
∴Sn＝（n－1）·2n＋1.
10．若数列{an}的通项公式为an＝（－1）n（3n－2），则a1＋a2＋…＋a10＝____________.
答案15
解析a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…＋（－1）10·28＝（－1＋4）＋（－7＋10）＋…＋（－25＋28）＝15.
11．（1002－992）＋（982－972）＋…＋（22－12）＝____________.
答案 5050
解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝
＝5050.
二、解答题
12．（2015天津文）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3
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