f分布t分布与卡方分布.docx

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f分布t分布与卡方分布

§1.4常用的分布及其分位数

1.卡平方分布

卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分

布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

2当X1、X2、⋯、Xn相互独立且都服从N（0,1）时，Z=Xi2i2分布，记作Z～2（n），它的1z

2e

的分布称为自由度等于n的

n12xn

20,

分布密度

p（z）=n2

22

z0

其他,

式中的

n

1

2

0ue

udu，称为

Gamma函数，且1=1，

2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z

1=π。

Y～2（n），Z～2（m），则Y+Z～2（n+m）。

2相互独立，且

证明:

先令X1、X2、⋯、Xn、Xn+1、Xn+2、⋯、Xn+m相互

独立且都服从N（0,1），再根据2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令

Y=X12+X22+⋯+Xn2，Z=X2n1+Xn22+⋯+Xn2m，

Y+Z=X

+

2

X+

2

2

X++

2

X+

2

X+

2

X+

即可得到Y+Z～2（n+m）。

2.t分布若X与Y相互独立，且

X～N（0,1），Y～2（n），则Z=XY的分布称为自由

度等于n的t分布，记作Z～t（n），它的分布密度

z2

（n2）z2n1

P（z）=2n12。

n（2n）n

请注意：

t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N（0,1）的密度曲线几乎重叠为一。

这时，t分布的分布函数值查N（0,1）的分布函数值表便可以得到。

3.F分布若X与Y相互独立，且X～2（n），Y～2（m），则Z=XY的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于

nm

m的F分布，记作Z～F（n,m），它的分布密度nm

nmn1

n2m21

2z2

?

nmnm

22（mnz）2

0,

p（z）=

z0

其他。

F（m,n）。

证：

X～t（n），X的分布密度p（x）=

nπ

Y=X2的分布函数FY（y）=P{Y

n1

2

n

2

2

x2

n1

2。

请注意：

F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当Z～F（n,m）时，Z

当y0时，FY（y）=0，pY（y）=0；

当y>0时，FY（y）=P{-y

yy

=yyp（x）dx=20yp（x）dx，

n

11

y2，

1n

（ny）2

n21n

2

Y=X1的分布密度pY（y）=2

1n

22

与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密

2

度相同，因此Y=X～F（1,n）。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。

但是，解应用问题时，通常是查分位数表。

有关分位数的概念如下：

4.常用分布的分位数

P{X>λ2}=1-F（λ2）=0.5α的数λ2。

因为1-F（λ）=α，F（λ）=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；

F（λ1）=0.5α，1-F（λ2）=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作

u0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。

当X～N（0,1）时，P{X

P{X

P{X

根据标准正态分布密度曲线的对称性，当α=0.5时，uα=0；当α<0.5时，uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。

论述如下：

当

X～N（0,1）时，P{X

，

P{X

P{X>u1-α}=1-F0,1（u1-α）=α，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α

例如，

u0.10=-

u0.90=-1.282，

u0.05=

-u0.95=

-1.645，

u0.01=

-u0.99=

-2.326，

u0.025=

-u0.975

=-1.960，

u0.005=

-u0.995

=-2.576。

又因为

P{|X|

1-0.5α}=1-α，所以标准正态分布的双

侧α分位数分别是u1-0.5α和-u1-0.5α标准正态分布常用的上侧α分位数有：

α=0.10，u0.90=1.282；α=0.05，u0.95=1.645；α=0.01，u0.99=2.326；

α=0.025，u0.975=1.960；α=0.005，u0.995=2.576。

3）卡平方分布的α分位数记作2α（n）。

2α（n）>0，当X～2（n）时，P{X<2α（n）}=α

例如，20.005（4）=0.21，20.025（4）=0.48，

20.05（4）=0.71，20.95（4）=9.49，

20.975（4）=11.1，20.995（4）=14.9。

例如，t0.95（4）=2.132，t0.975（4）=2.776，

t0.995（4）=4.604，t0.005（4）=-4.604，

t0.025（4）=-2.776，t0.05（4）=-2.132。

另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到tα（n），可

用uα作为tα（n）的近似值。

5）F分布的α分位数记作Fα（n,m）。

Fα（n,m）>0，当X～F（n,m）时，P{X

另外，当α较小时，在表中查不出Fα（n,m），须先查

F1-

α（m,n），再求Fα（n,m）=

F1

1

。

（m,n）

论述如下：

当X～F（m,n）时，P{X

1111

P{>}=1-α，P{<}=α，

XF1（m,n）XF1（m,n）

11

又根据F分布的定义，～F（n,m），P{

XX

1

因此Fα（n,m）=。

F1（m,n）

例如，F0.95（3,4）=6.59，F0.975（3,4）=9.98，

F0.99（3,4）=16.7，F0.95（4,3）=9.12，

F0.975（4,3）=15.1，F0.99（4,3）=28.7，

F0.01（3,4）=

1

28.7，F0.025（3,4）=

1

15.1

，F0.05

（3,4）=

1

9.12

【课内练习】

1.求分位数①0.05（8），②0.95（12）。

2.求分位数①t0.05（8），②t0.95（12）。

3.求分位数①F0.05（7,5），②F0.95（10,12）。

4.由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

5.由t0.95（4）=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。

6.若X～（4），P{X<0.711}=0.05，P{X<9.49}=0.95，试写出有关的分位数。

7.若X～F（5,3），P{X<9.01}=0.95，Y～F（3,5），{Y<5.41}=

0.95，试写出有关的分位数。

8.设X、X、⋯、X相互独立且都服从N（0,0.09）分布,试求P{>1.44}。

习题答案：

1.①2.73，②21.0。

2.①-1.860，②1.782。

3.①，②3.37。

4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。

5.2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。

6.0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。

7.9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，与

8.0.1。

5.41为双侧0.1分位数，与9.01为双侧0.1分位数。