中考数学精讲四川 宜宾练习第17讲 特殊的平行四边.docx

中考数学精讲四川 宜宾练习第17讲 特殊的平行四边.docx

《中考数学精讲四川 宜宾练习第17讲 特殊的平行四边.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学精讲四川 宜宾练习第17讲 特殊的平行四边.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学精讲四川宜宾练习第17讲特殊的平行四边

第十七讲　特殊的平行四边形

考标完全解读）

考点

考试内容

考试要求

矩形[来源:

学优高考网]

矩形的定义[来源:

学优高考网gkstk][来源:

学优高考网]

理解[来源:

学优高考网gkstk]

矩形的性质

掌握

矩形的判定

掌握

菱形

菱形的定义

理解

菱形的性质

掌握

菱形的判定

掌握

正方形

正方形的定义

理解

正方形的性质

掌握

正方形的判定

掌握

感受宜宾中考）　　　　　

1．（2017宜宾中考）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（　C　）

A．3B.

C．5D.

（第1题图））　　　

（第2题图））

2．（2016宜宾中考）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　A　）

A．4.8B．5C．6D．7.2

3．（2013宜宾中考）矩形具有而菱形不具有的性质是（　B　）

A．两组对边分别平行

B．对角线相等

C．对角线互相平分

D．两组对角分别相等

4．（2014宜宾中考）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是__5

__cm__.

5．（2015宜宾中考）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE＝3，则点P到AD的距离为__3__．

（第5题图））　　　

（第6题图））

6．（2013宜宾中考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连结BG，DF.若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为__20__．

7．（2015宜宾中考）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连结BD，DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：

①△ABE≌△DCF；②

＝

；③DP2＝PH·PB；④

＝

.

其中正确的是__①③④__．（写出所有正确结论的序号）

核心知识梳理）

　矩形的性质和判定

1．矩形的性质

（1）定义：

有一个角是__直角__的平行四边形叫矩形；

（2）边：

矩形的对边__平行且相等__，邻边互相__垂直__；

（3）角：

矩形的四个角都是__直角__；

（4）对角线：

矩形的对角线__互相平分且相等__；

（5）对称性：

矩形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．

2．矩形的判定

（1）角：

有__一个__角是直角的平行四边形是矩形；__三__个角都是直角的四边形是矩形；

（2）对角线：

对角线相等的__平行四边形__是矩形；对角线__互相平分且相等__的四边形是矩形．

【温馨提示】矩形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，除此以外还具有四个角都是直角、对角线互相平分且相等等性质．

　菱形的性质和判定

3．菱形的性质

（1）定义：

有一组邻边__相等__的平行四边形叫菱形；

（2）边：

菱形的四条边都__相等__；

（3）对角线：

菱形的对角线__互相垂直平分__且每一条对角线都__平分__一组对角；

（4）对称性：

菱形既是__中心对称__图形又是__轴对称__图形，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．

4．菱形的判定

（1）边：

有一组邻边__相等__的平行四边形是菱形；四条边都相等的__四边形__是菱形；

（2）对角线：

对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；对角线互相平分且相等的__四边形__是菱形；

（3）对称性：

菱形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__2__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．

【温馨提示】菱形是一种特殊的平行四边形，具有平行四边形所有的性质，除此以外还具有四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线都平分一组对角等性质．

　正方形的性质和判定

5．正方形的性质

（1）定义：

有一组邻边__相等__，并且有一个角是__直角__的平行四边形是正方形；

（2）边：

正方形的对边__平行__，四边都__相等__；

（3）角：

正方形的四个角都是__直角__；

（4）对角线：

正方形的对角线__互相垂直平分且相等__，每一条对角线都__平分__一组对角；

（5）对称性：

正方形既是__中心对称图形__又是__轴对称图形__，有__4__条对称轴，对称中心是对角线的__交点__．

6．正方形的判定

（1）边：

有一组邻边__相等__的矩形是正方形；

（2）角：

有一角是__直角__的菱形是正方形；

（3）对角线：

对角线__互相垂直__的矩形是正方形；对角线互相平分的__菱形__是正方形．

【温馨提示】正方形具有矩形和菱形所具有的所有性质，因此正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

　平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系

重点难点解析）

　矩形、菱形、正方形的性质和判定

【例1】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　　）

A．对边平行且相等B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直D．对角互补

【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．

【答案】C

【针对训练】

1．（2017益阳中考）下列性质中菱形不一定具有的性质是（　C　）

A．对角线互相平分

B．对角线互相垂直

C．对角线相等　

D．既是轴对称图形又是中心对称图形

2．下列命题中，真命题是（　A　）

A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形

C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形

D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

【例2】菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连结EF.若EF＝

，BD＝2，则菱形ABCD的面积为________．

【解析】根据EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理求出AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．

【答案】2

【针对训练】

3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是__8__．

（第3题图））　　　

（第4题图））

4．现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是__正方形__（填写图形的形状）（如图），它的一边长是__8

__cm__．

　矩形、菱形、正方形的应用

【例3】如图①，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.

（1）求证：

CE＝CF；

（2）如图②，若H为AB上一点，连结CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：

CH＝AH＋AB.

【解析】

（1）由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE≌△DCF（S.A.S.），则可得CE＝CF；

（2）由平行线的性质，可得AG＝AB，∠G＝∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE＝∠DCF，然后由∠CHB＝2∠ECB，易证得∠G＝∠HCG，则可得CH＝GH，则可证得结果．

【答案】证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD.

∵点E，F分别为AB，AD的中点，

∴BE＝

AB，DF＝

AD.

∴BE＝DF.

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（S.A.S.），∴CE＝CF；

（2）延长BA与CF，交于点G.

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，AF∥BC，AB∥CD，

∴∠G＝∠FCD.

∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，

∴AG＝DC＝AB.

∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB＝∠DCF.

∵∠CHB＝2∠ECB，∴∠CHB＝2∠G.

∵∠CHB＝∠G＋∠HCG，∴∠G＝∠HCG，

∴GH＝CH，∴CH＝AH＋AG＝AH＋AB.

【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

【针对训练】

5．（2017贺州中考）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O.

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若CD＝3，BD＝2

，求四边形ABCD的面积．

解：

（1）∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠CBD.

∵AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝DO，

在△AOD与△COB中，

∴△AOD≌△COB，∴AO＝OC.

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝

BD＝

，

∴OC＝

＝2，∴AC＝4，

∴S菱形ABCD＝

AC·BD＝4

.

6．（2017陕西中考）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连结AF，CE交于点G.求证：

AG＝CG.

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD.

∵AE＝CF，∴DE＝DF.

在△ADF和△CDE中，

∴△ADF≌△CDE（S.A.S.），

∴∠DAF＝∠DCE.

在△AGE和△CGF中，

∴△AGE≌△CGF（A.A.S.），

∴AG＝CG.

　矩形、菱形、正方形的探究

【例4】（2017常州中考）如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________（填写图形名称）一定是等角线四边形；

②若M，N，P，Q分别是等角线四边形ABCD四边AB，BC，CD，DA的中点，当对角线AC，BD还要满足__________时，四边形MNPQ是正方形．

（2）如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．

①若四边形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，则四边形ABCD的面积是__3＋2

__；

②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由．

【解析】

（1）①只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当AC⊥BD时，四边形MNPQ是正方形，首先证明四边形MNPQ是菱形，再证明有一个角是直角即可；

（2）①作DE⊥AB于E.根据S四边形ABCD＝S△ADE＋S梯形DEBC计算，求出相关线段即可；②如图，设AE与BD相交于点Q，连接CE，只要证明当AC⊥BD且A，C，E共线时，四边形ABED的面积最大即可．

【答案】解：

（1）①矩形；②AC⊥BD；

（2）①3＋2

；

②如答图中，设AE与BD相交于点Q，连结CE，作DH⊥AE于H，BG⊥AE于G.则DH≤DQ，BG≤BQ.

∵四边形ABED是等角线四边形，

∴AE＝BD，

∵S四边形ABED＝S△ABE＋S△ADE＝

·AE·DH＋

·AE·BG＝

·AE·（GB＋DH）≤

·AE·（BQ＋QD），

即S四边形ABED≤

AE·BD，

∴当G，H重合时，即BD⊥AE时，等号成立．

∵AE＝BD，

∴S四边形ABED≤

AE2，

即线段AE最大时，四边形ABED的面积最大，

∵AE≤AC＋CE，

∴AE≤5＋1，

∴AE≤6，

∴AE的最大值为6，

∴当A，C，E共线时，取等号，

∴四边形ABED的面积的最大值为

×62＝18.

【点评】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，会求圆上一点到圆外一定点的距离的最大值或最小值，属于中考压轴题．

【针对训练】

7．（2017衢州中考）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为ts.

（1）如图①，当t＝3时，求DF的长；

（2）如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？

如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；

（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1∶2时，求相应的t的值．

解：

（1）当t＝3时，点E为AB的中点．

∵A（8，0），C（0，6），

∴OA＝8，OC＝6.

∵点D为OB的中点，

∴DE∥OA，DE＝

OA＝4.

∵四边形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴DE⊥AB，

∴∠OAB＝∠DEA＝90°.

又∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝90°，

∴四边形DFAE是矩形，

∴DF＝AE＝3；

（2）∠DEF的大小不变．理由如下：

作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如答图①：

∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，

∴四边形DMAN是矩形，

∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，

∴

＝

，

＝

.

∵点D为OB的中点，

∴M，N分别是OA，AB的中点，

∴DM＝

AB＝3，DN＝

OA＝4.

∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN.

又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，

∴△DMF∽△DNE，∴

＝

＝

.

∵∠EDF＝90°，∴tan∠DEF＝

＝

；

（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，

若AD将△DEF的面积分成1∶2的两部分，

设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；

①当点E到达中点之前时，如答图②，NE＝3－t，

由△DMF∽△DNE，得MF＝

（3－t），

∴AF＝4＋MF＝－

t＋

.

∵点G为EF的三等分点，

∴G

，

设直线AD的表达式为y＝kx＋b，

把A（8，0），D（4，3）代入得

解得

∴直线AD的表达式为y＝－

x＋6，

把G

代入，得t＝

；

②当点E越过中点之后，如答图③，NE＝t－3，

由△DMF∽△DNE，得MF＝

（t－3），

∴AF＝4－MF＝－

t＋

.

∵点G为EF的三等分点，∴G

，

代入直线AD的表达式y＝－

x＋6，得t＝

；

综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1∶2时，t的值为

或

.

当堂过关检测）

1.下列四边形中不一定为菱形的是（　A　）

A．对角线相等的平行四边形

B．每条对角线平分一组对角的四边形

C．对角线互相垂直的平行四边形

D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形

2．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为__6

__．

（第2题图））　　　

（第3题图））

3．（2017辽阳中考）如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连结CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝__5__．

4．（2017青岛中考）已知：

如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF.

（1）求证：

△BCE≌△DCF；

（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？

请说明理由．

解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD.

∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，

∴AE＝BE＝DF＝AF，

OF＝

DC，OE＝

BC，OE∥BC.

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（S.A.S.）；

（2）当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：

由

（1）得：

AE＝OE＝OF＝AF，

∴四边形AEOF是菱形．

∵AB⊥BC，OE∥BC，

∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，

∴四边形AEOF是正方形．