向量的内积教学设计.doc

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数学基础模块　下册

7.4.1向量的内积

【教学目标】

1.理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．

2.掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．

3.通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．

【教学重点】

平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．

【教学难点】

平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．

【教学方法】

本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．

【教学过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

F

一个物体在力F的作用下产生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？

q

s

力做的功为

W＝∣s∣∣F∣cosθ，

其中q是F与s的夹角．

∣F∣cosθ是F在物体前进方向上分量的大小．

∣s∣∣F∣cosθ称为位移s与力向量F的内积．

教师提出问题．并简单讲解什么是功，让学生对功有个基本了解．

师生共同计算这个力所做的功．

我们知道，功只有大小，没有方向，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？

引出课题．

此引例体现了数学知识与其他学科的联系，让学生了解所学内容在实际生活中的具体应用．

新

课

新

课

新

课

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB叫向量a与b的夹角．记作‹a，b›，规定0°≤‹a，b›≤180°．

说明：

（1）当‹a，b›＝0°时，a与b同向；

（2）当‹a，b›＝180°时，a与b反向；

（3）当‹a，b›＝90°时，a与b垂直，记做a⊥b；

（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

2．向量的内积

已知非零向量a与b，‹a，b›为两向量的夹角，则数量|a||b|cos‹a，b›叫做a与b的内积．记作

a·b＝|a||b|cos‹a，b›．

规定：

0向量与任何向量的内积为0．

说明：

（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cos‹a，b›的符号所决定；

（2）两个向量的内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

例1求|a|＝5，|b|＝4，‹a，b›＝120°．求a·b．

解由已知条件得

a·b＝|a||b|cos‹a，b›

＝5×4×cos120°＝－10．

3．向量的内积的性质

设a，b为两个非零向量，e是单位向量，则：

（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos‹a，e›；

（2）a^bÛa·b＝0；

（3）a·a＝|a|2或|a|＝；

（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣．

4．向量的内积的运算律

（1）交换律：

a·b＝b·a；

（2）结合律：

（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；

（3）分配律：

（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

例2求证：

（1）（a＋b）·（a－b）＝∣a∣2－∣b∣2；

（2）∣a＋b∣2＋∣a－b∣2

＝2（∣a∣2－∣b∣2）．

证明

（1）显然

（a＋b）·（a－b）

＝a·a－a·b＋b·a－b·b

＝∣a∣2－∣b∣2；

（2）因为

∣a＋b∣2＝（a＋b）·（a＋b）

＝∣a∣2＋2a·b＋∣b∣2，

∣a－b∣2＝（a－b）·（a－b）

＝∣a∣2－2a·b＋∣b∣2，

所以

∣a＋b∣2＋∣a－b∣2

＝2（∣a∣2－∣b∣2）．

练习

1．已知|a|，|b|，‹a，b›，求a·b：

（1）|a|＝7，|b|＝12，‹a，b›＝120°；

（2）|a|＝8，|b|＝4，‹a，b›＝π；

2．已知|a|，|b|，a·b，求‹a，b›：

（1）|a||b|＝16，a·b＝－8；

（2）|a||b|＝12，a·b＝6．

学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：

（1）当‹a，b›＝0°和180º时a与b的方向是怎样的？

（2）当‹a，b›＝90°时，a与b的方向又是怎样的？

师生共同总结，师重点强调说明（4）．

教师直接给出向量内积的基本表达式．

教师引导学生学习向量内积的概念．

学生阅读课本中向量内积的概念，在理解的基础上记忆向量内积的概念．

教师总结向量内积的含义，以及公式中的注意事项．

学生讨论求解．

学生阅读课本中向量内积的性质，在理解的基础上记忆向量内积的性质．

教师对于每一个性质都要引领学生从向量内积的表达式入手，仔细推导．

教师引导学生学习向量内积的运算律．让学生明确内积满足交换律和分配律，不满足结合律．比如，实数乘法满足结合律：

（a·b）·c＝a·（b·c），而向量的内积不满足；又如实数乘法满足：

a·c＝b·cÞa＝b，而向量的内积不满足这种推出关系．

学生分组讨论证明的方法；

小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法．

教师给出具体的证明步骤．

师生合作共同完成．

此问题是为本课重点向量的内积概念而准备．通过问题的详细探究给出概念，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受．

在本节中首次引入了抽象的向量内积，学生往往只接受具体的基本表达式，而不能接受a·b的含义，所以应让学生从符号的含义开始认识，这部分教师必须讲解清楚．

求内积题目不必过难，重点在理解内积的概念．

两向量的内积是两向量乘法的一种，是学生以前所未接触过的，与以前数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别，因此运算法则、运算律都要重新推导，学生对于概念和运算法则的理解和掌握有些困难．它与实数乘法的概念，性质及运算律有联系也有区别，这一区别是教学的重点也是学生学习的难点．

通过例2可让学生加深对结合律与运算律的理解．

通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点．

学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．

小

结

本节课我们主要学习了平面向量的内积，常见的题型主要有：

（1）直接计算内积；

（2）由内积求向量的模；

（3）运用内积的性质判定两向量是否垂直；

（4）性质和运算律的简单应用．

学生阅读课本，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

作

业

教材P54练习A组第2题

（1）（3），第3题

（1）

（2）；

（选做）练习B组第1题．

巩固拓展．