压电材料连续性损伤模型译文.docx

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压电材料连续性损伤模型译文

压电材料连续性损伤模型

摘要

在这篇文章中，提出了一个包含分布式裂缝的压电材料固体连续模型。

该模型阐述了一个使用张量作为内部变量的连续损伤力学模型，该模型的赫姆霍兹自由能可以用一个变形多项式表示。

通过完全约束电场矢量和张量的损伤变量使最初材料的正交个性异性转化为对称性。

通过使用talreja的张量内部状态损伤变量以及压电材料的Helmhotlz自由能得到压电材料和损伤的基本关系。

压电板横向矩阵裂缝是运用模型的一个特例，基于板的基尔霍夫假设，建立了考虑损伤的压电矩形板自由振动方程。

利用伽辽金方法，对方程进行了求解。

数值结果表示在闭合电路下自由振动的压电板上损伤对其的影响。

最后用现在的结果和三维理论进行了对比。

关键词：

张量内部状态变量，连续性损伤力学，损伤本构关系，压电板

1介绍

由于固有的正、逆压电效应，使压电材料在智能结构中具有广泛的应用，作为传感器或驱动器去控制活性结构的变形何震动。

在制造和还原过程中裂纹、空洞、错位和分层等缺陷也被引入压电材料。

这些缺陷极大地影响到压电材料的导电、绝缘、伸缩、机械和压电性能。

当受到机械和导电负载时，这些缺陷可能引起尺寸和裂缝的变化，导致材料过早的产生机械或导电故障。

因此，研究这些缺陷的产生和这些缺陷的整体效果对压电材料的机械和电气性能是很重要的，以便于预测准确的结构使用寿命。

这些分析的进展依靠于人们怎样明确为合并各向异性固体材料将其变形及其相互作用与分布的缺陷确立本构关系。

在纤维增强复合材料中的损伤被广泛的研究，许多理论中也已经建立用来预测复合材料结构的使用寿命的理论。

摩尔和迪拉德注意到在室温条件下，在石墨/环氧基树脂中和凯夫拉纤维/环氧基树脂复合材料正交层板中横向裂纹与时间有关的增长。

Schapery使用不可逆过程的热力学分析研究了在变形、断裂、单片和复合材料的线性和非线性的行为损害。

罗和丹尼发现单向纤维增强脆性基复合材料的宏观力学行为与微观变形和损害有明确的关系。

DengandNemat-Nasser提出了一个确定在有微裂隙的结构中微观应力和应变分布分析的数值方法。

郑和傅分析了带有损害的对称铺设层合粘接弹性板的非线性振动。

由众多的论文可知，多层压电梁和压电板的建模分析已经达到了一个相对成熟度。

利用不同的压电晶体振动方程，Tiersten开发了一个通用压电非线性理论。

Chandrashekharaandtennetiandzhouetal.等人通过FE方法调查了层压压电板的动力控制。

王和罗杰斯为带有空间分散式的压电片的叠层板提出了一个基于经典薄板理论的模型。

为分散式的振动控制Tzou和Gadre分析了带有制动器的薄层压制品。

Xu等人分析了基于3D理论的层积热压电板的自由振动。

Mitchell和Reddy通过分别使用经典板理论和简单的三阶理论提出了一个叠层压电板理论。

Rao和Sunar研究了一个热压电媒体和智能结构有限单元公式。

Tauchert应用Nowacki的对热压电层合板一般理论，获得静态的解决方案。

通过应用能量原理和拉格朗日方程，郑和傅为有损伤的压电层层合板进行非线性动态稳定性分析。

到目前为止，就损害的影响，压电结构的动态和静态的问题还没有很好地研究。

在目前的论文，一个新的压电材料本构模型，提出了使用Talreja张量压电材料的内部状态损伤变量和helmhotlz自由能。

该模型应用于一个带有横向矩阵裂缝的压电板特例。

然后，导出带有损害的压电板本质关系。

损伤演化是不直接包含在目前的构想中。

用基尔霍夫假设，确定了带损伤的压电长方形板自由振动方程。

在数值模拟中，检查带有损伤的压电板对于固有频率的影响，与三维理论进行了比较。

2受损压电材料的本构方程

考虑一个带有损伤实体的压电固体代表性体积元微裂缝形式，如图1所示。

两个向量用于定义每个伤害实体。

这些都是破坏影响矢量ai和单元nj损伤实体表面。

损伤影响向量表示损伤实体对周围介质的一个适当的选择效应。

与这两个向量相比，伤害实体张量是采取一个二重的ai·nj的整体作用在损伤实体的表面。

现在如果在代表性体积元中有n个不同破坏模式用k=1、2、……n表示,一个损伤张量可以为每个模式定义。

那里的体积V是代表体积元的量，

k代表在第k个损伤模型中损伤实体的数量。

张量wij一般是不对称的。

然而,我们可以在损伤实体的表面上任何一点沿着正常和切向方向分解向量ai，可以写作

在这里a,b是矢量ai的正切投影的数量级。

矢量nj和mi都是单位正切矢量，这样，损伤矢量wij可以被写作

第一个张量代表在环境介质中的裂缝的影响然而，第二个张量代表2个裂缝面之间的滑动的影响。

在许多情况中，在两个裂缝面之间的滑动可以被忽略，例如，

因为被硬弯束缚的层内缝隙，因此，我们假设w2k恒等于0.这就意味着wk=w1k，为对称张量。

因为损伤压电材料的情况，这种损伤可以用内部状态变量表示，赫姆霍兹自由能也可以写作变形后的弹性应变电场矢量和损伤内部变量的函数，

转换后的应变分量

和电位移组件Di在任何混合损伤状态下被表示成

当包括在压电材料的矩阵的损伤有正交各向异性属性时，以第二等级张量的多项式函数为基础的不可忽视的完整性可表示为

这里的n是在材料中裂缝方向的的数量。

对压电单层板,当地坐标系统选择0-123,其中1、2表示压电板两个主要方向,3是正常的中间面。

根据KirchhoffhypothesisE13=E23=0和沃伊特符号用于应变和损伤变量，不变式的基础可以进一步的写作

使用上面的不可约完整性基地、压电材料的亥姆霍兹自由能可以被表示为张力或磁场强度的二次表达式，张力和磁场强度的混合二次表达式和损伤变量的线性关系。

C0是无损伤的常数。

ki0是无损伤的压电常数，ei0是无损伤的介电常数。

Cik是有损伤的材料常数，kik是有损伤的压电常数，eik是有损伤的压电矩阵常数。

p是压电材料的密度，P0是常数，P1是张力的线性函数，P2是损伤变量的线性函数，P3是电场强度的线性函数。

这样，应力和电位移可以被表示为

矩阵

和

所有对称矩阵的形式是

假设在代表性体积元只有一个损伤模型，张力、压力、磁感应强度和电位移在公式（10）里可以被化简为

这些和前面的都一样，上标k=1的在Ck、ek、kk中可以省略。

在目前的研究中，在压电板中的基体裂纹与坐标平面1-3相平行，除w2的所有的损伤变量都是0，在公式（12）和（16）的系数矩阵可以化简为

由于裂纹与坐标平面1-3相平行的事实，在板的刚度与坐标平面1-3的损伤的影响可以被忽略。

这样矩阵（18）可以进一步化简为

让

，在平面应力问题方面带损伤压电板的基本关系有以下获得

这里

3自由振动的压电板损坏

3.1基本方程的压电板块

被定义为z=0的参考面是未变形板的中曲面。

假设材料的主方向与坐标轴x,y和z相一致。

根据Kirchhoff的板假说，在x,y,z方向上的位移组件ui可以表示为

求与对应坐标轴的偏导压电板的应变-位移关系可以写作

在笛卡尔坐标系统中电向量和电动电位的关系被定义为

假设通过板材厚度保持损伤变量不变，表示为Mx,My,Mxy，作为压电板的分散式力矩，根据经典版理论，下面的方程可以被得出

板的运动方程可以写作（33）式

这里的q是横向力强度和p是质量密度。

电变量必须满足麦克斯韦方程。

这个条件近似满足让集成的电通量消散，整个压电板改变的x和y,那是

考虑到压电板的自由振动和假设沿着在压电板中厚度的方向电势的分布规律服从一个正弦函数。

所以位移场和电势场可以被写作

欧姆是板的固有频率。

无因次参数被定义为

通过方程（22）和（30）一（33）,无量纲压电陶瓷板调速的运动方程可以写成

3.2解决方案

对于再简单支撑条件下和沿着板边缘的零势能的条件下，公式（34）和（35）的解答可以从下面的分离形式中解出。

我们假定损伤变量w2是一个定值，也就是说，不考虑损伤演化和损伤仅存在于某一局部矩形区域S。

方程的系数行列式必须等于0。

在消除Rij（i,j=1,2）可以很容易地确定方程式（40），方程（41）。

带损伤的简单支撑压电矩形板的震动规律就可以得出

3.3数值结果

在下面的数值结论中，压电材料被假设成陶瓷PZT4，材料常数为

在关闭短路情况下参数λ1=0.01λ2=0.02的无破坏压电矩形板的无因次振动频率wmn（m,n=1,2,3）在表1中给出。

表1中的结果证明了在前面3D有限元分析的结论。

在表1中可以看出在基尔霍夫关于板假说情况下得到的结果要比在相应的3D有限元中的结果要大，在工程设计中，一个点也需要考虑进去。

边厚比为λ2，无破坏和有破坏压电矩形板的无因次振动效应在图3中表示，在图3中对于有破坏的材料参数是

受破坏的压电板的区域中心的形心是ζ=0.5，ξ=0.5，破坏中心区域Ｓｌ相对于总体面积Ｓ的比率是μ＝２５％。

从图３中可以看出，无因次振动频率随着λ2的值增加而增加，跟在不考虑压电效应下的塑性板结果一样。

并且，论证了压电板的振动频率在受破坏情况下要比相应的不受破坏情况下的值小，　同时，在边厚比λ2增大情况下，受破坏和不受破坏的无因次振动频率的不同更加显著。

图４显示的是压电矩形板在λ1=0.01λ2=0.02，无因次振动频率为ω１，受破坏中心区域为Ｓ１（μ＝Ｓ１／Ｓ）情况下的结果。

图５中的受破坏后的相关材料参数跟图４中相同。

可以得到结论：

受破坏的板的无因次震动频率随着受破坏区域的增加而适度的增加，频率ω１１增长的速度很小。

图５中显示的是在频率为ω１１，λ1=0.01λ2=0.02的压电板的受破坏区域的位置效应。

图５中的受破坏后的相关材料参数跟图４中相同。

可以看出当受破坏中心的形心远离板的中点时，频率ω１１的值增加。

可以得到结论板的刚性随着受破坏区域的形心远离板的中点的距离增加而减小

4结论

通过使用Telreja的张量评价内部状态损伤变量以及压电材料的赫姆霍兹自由能,一个新的包含分散式裂缝的压电材固体本构模型就被确立了。

该模型成功地用于分析压电结构的动静态行为。

研究了一个带损伤的压电板自由振动的特殊情况。

数值结果表明,损伤在压电板的震荡频率有显著影响。

振动频率侧面厚度比的增加,在没有考虑压电效应与弹性板的结果一致。

而且,损伤区域的大小的增长将会减少结构和振动频率。

当受损区域的圆心到金属板中点的距离增加时,振动频率也将增加。

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