中考培优竞赛专题经典讲义第9讲最值问题之将军饮马问题.docx

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中考培优竞赛专题经典讲义第9讲最值问题之将军饮马问题

第10讲最值问题之将军饮马问题

最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。

模型讲解

【基本模型】

问题：

在直线I上找一点P,使得FA+PB的值最小解析：

连接AB，与直线I交点即为点P（两点之间线段最短）

【拓展模型1】

问题：

在直线/上找一点P,使得PA+PB的值最小

【练习】

1、尺规作图：

在直线MN上找一点P,使得/APN=ZBPN.（保留作图痕迹）

■

甘jV

【模型拓展2】

1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，PA=PB最小?

M/V

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M.弋厂一'青

◎…皿°

思维转化：

将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型

【模型拓展3】

问题：

JMON内一定点A,点P、Q分别为0M、ON上的动点，求△APQ周长的最小值.

基本结论:

1厶A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长.

2/AiOA2=2/MON.

四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB+A'B'的长度和.

【模型拓展4】

问题：

求AB+BC+CD的最小值问题

解析：

作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D',连接A'D'，最小值即为线段A'D'的长度.

（作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整）

【模型拓展5】

MN垂直两平行线，求AM+MN+NB的最小值模型.

其中MN为定值，故只需求AM+NB的最小值，将点A向下平移MN的长度得到A：

连接A'B,线段

A'B的长度即为AM+NB的最小值

直线I上有一长度不变线段MN移动，求AM+MN+NB最小值的模型.

将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN+A2B

【例题讲解】

例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3,3）,

点C的坐标为（1,0），点P为斜边0B上的一动点，贝UPA+PC的最小值为.

解：

作A关于0B的对称点D,连接CD交0B于P,连接AP，过D作DN丄0A于N,则此时PA+PC的值最小，

•/DP=FA,aPA+PC=PD+PC=CD,vB（3,3），二AB=3,0A=3,

•/tan/A0B=AB=3A0B=30°,「.0B=2AB=23,

0A3

1133

由三角形面积公式得：

1X0AXAB=1X0BXAMAM=3AD=2X3=3,

2222

v/AMB=90°,/B=60°,A/BAM=30°,v/BA0=90°,「./0AM=60°,

•/DN丄OA,•••/NDA=30°,「.AN=1AD=3，由勾股定理得：

DN=33,

222

vC（1,0）,•CN=3-1-3=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：

DC=31,

2222

即PA+PC的最小值是31.

【思考】

若把题中条件点“C的坐标为（1,0）”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时2

PA+PC最小值又是多少呢？

解答：

•••PA+PC=PC+PD=CD>DN=33,二PA+PC的最小值为33.

解：

作A关于BC和ED的对称点A:

A〃，连接A'A〃，交BC于M，交ED于N,则A'A〃即为△AMN的周长最小值.

⑴作EA延长线的垂线，垂足为H，/BAE=120°,•/AA'A〃+/AA〃A'=60°,

/AAA〃=/AAM,/AA〃A'=/EAN,.・./CAN=120。

—/AAA"—/AA〃A'=60°

也就是说/AMN+/ANM=180°—60°=120°.

⑵过点A'作EA延长线的垂线，垂足为H,

vAB=BC=1,AE=DE=2,•AA=2BA=2,AA'=2AE=4,

贝URt△AHA中，v/EAB=120°，•/HAA=60°,

-AH丄HA，…/AAH=30，…AH=—AA'=1,•A'H=-<3,A"H=1+4=5,

•AA〃=27,例题4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1,长为.2的线段MN在AC上运动.

（1）求四边形BMNE周长最小值;

⑵当四边形BMNE的周长最小时，则tan/MBC的值为

解：

作EF//AC且EF=2，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=2，延长DF交BC于P,

作FQ丄BC于Q,作出点E关于AC的对称点E',贝UCE=CE=1,将MN平移至E'F'处,

则四边形MNE'F为平行四边形,

当BM+EN=BM+FM=BF'时，四边形BMNE的周长最小,

由/FEQ=/ACB=45°,可求得FQ=EQ=1,

v/DPC=/FPQ,/DCP=/FQP,•△PFQPDC,

...PQ=PQ,.••PQ=1，解得：

PQ=2,•••PC=8,

PQQEECCDPQ2433

由对称性可求得tan/MBC=tan/PDC=.

例题5、在平面直角坐标系中，已知点A（一2,0），点B（0,4），点E在OB上，且/OAE=/OBA.如图，将△AEO沿x轴向右平移得到厶AE'O',连接A'B、BE'.当AB+BE'取得最小值时，求点E'的坐标.

【提示】

将厶AEO向右平移转化AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1,与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离.

例题6、如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，

4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，贝UAM+MP+PN

的最小值为

例题5、在平面直角坐标系中，已知点A（一2,0），点B（0,4），点E在OB上，且/OAE=/OBA.如图，将△AEO沿x轴向右平移得到厶AE'O',连接A'B、BE'.当AB+BE'取得最小值时，求点E'的坐标．

提示】

将厶AEO向右平移转化AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1,与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．

由对称性可求得tan/MBC=tan/PDC=

例题5、在平面直角坐标系中，已知点A（一2,0），点B（0,4），点E在0B上，且/OAE=/OBA.如图，将△AEO沿x轴向右平移得到厶AE'0',连接A'B、BE'.当AB+BE'取得最小值时，求点E'的坐标.

提示】

将厶AE0向右平移转化AE0不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1,与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离.

提示】

由对称性可求得tan/MBC=tan/PDC=

提示】

例题5、在平面直角坐标系中，已知点A（一2，0），点B（0，4），点E在OB上，且/OAE=/OBA.如图，将△AEO沿x轴向右平移得到厶AE'O'，连接A'B、BE'.当AB+BE'取得最小值时，求点E'的坐标.

提示】

由对称性可求得tan/MBC=tan/PDC=

提示】

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