小学数学4升5暑假拔高衔接.docx
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小学数学4升5暑假拔高衔接
小学数学4升5暑假拔高衔接
第一部分四年级课本知识复习与提高
第1讲植树问题
在生活中经常会碰到植树类的问题,我们可以把这些生活中的植树类同题转化成数学上的植树问题。
植树问题主要会有以下几种情形：
一、直线型的植树问题分为以下三种情形。
1.如果植树线路的两端都要植树,那么植树的棵数应比要分的段数多1,即：
棵数=
段数+1。
2.如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：
棵数=段数。
3.如果植树线路的两端都不植树,那么植树的棵数应比要分的段数少1，即：
棵数=段数-1。
二、封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：
棵数=段数。
三、在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树,则棵数=（每边的棵数-1）×边数。
【重点点拨】
【例1】在一条长600米的道路上植树，从头到尾每隔5米栽一棵树，一共可以栽多少棵树？
【例2】一条马路边，从头开始每隔40米有一根电线杆，一辆汽车在一根电线杆旁开始行驶，5分钟刚好经过第60根电线杆（起点的那根电线杆不计在内）。
汽车每分钟行驶多少米？
【例3】从甲地到乙地原来有电线杆51根，每相邻两根之间的距离为12米。
现在要减少到41根，相邻两根之间的距离应是多少米？
【例4】学校两栋楼之间相距50米，每隔5米栽一棵松树，两栋楼之间能栽多少棵松树？
【例5】一所小学的操场是长方形，在其周围共植树70棵，每两棵树之间的距离是5米.已知这个操场的长是100米，宽是多少米?
【例6】为美化环境，市政府要修建一个周长为2400米的圆形花坛。
如果沿着这一圈每隔6米栽1株月季花，再在每相邻的2株月季花之间等距离地栽2株丁香花，可栽月季花多少株可栽丁香花多少株
【培优高手】
1.一条小路全长800米，要在路的一旁植树，从头到尾共植树51棵，每两棵树之间相距多少米？
2.一个人在马路上散步，从第一根电线杆走到第六根电线杆用了10分钟。
这人走了30分钟.他走过了多少根电线杆？
3.在一个圆形鱼池的周围每隔9米种1棵柳树，一共种了40棵。
这个鱼池的周长是多少米？
4.车站停有10辆公共汽车，每隔5分钟发一辆车，第一辆车开出以后,再过多少分钟最后一辆车才能出发？
5.一条马路边，原来每隔30米有根电线杆，共有112根，现在改成每隔37米有一根电线杆，这样可以节约多少根电线杆？
6.在一个圆形湖的周围筑3600米的大堤，堤上每隔6米栽1棵柳树,然后在相邻的2棵柳树之间栽2棵桃树。
大堤上栽的柳树和桃树各多少棵？
7.一座挂钟,走到几点就敲几下，4点的时候，敲完4下，用了6秒，10点的时候敲完10下，要用多少秒？
8.在一个正方形池塘四周植树，四个顶点各植一棵树，这样每边都植了10棵树。
四周共植多少棵树
9.两棵松树间相距180米，计划在两棵松树间补栽小柳树17棵，使得所有树中每两棵树之间间隔相等，间隔是多少米？
10.甲、乙两人在长1000米的公路两旁栽树，每隔10米栽一棵，又知甲比乙多栽14棵,甲、乙两人各栽树多少棵（
头尾都栽）
11.张叔叔要在一个长50米、宽30米的长方形水池旁植树，从一个顶点开始，每隔10米植一棵树，一共可以植多少棵树？
12.小明和小亮在一条人行道上比赛竞走，两人同时从同一棵树旁开始竞走，4分钟后，小明走到第13棵树旁，小亮走到第10棵树旁。
若两棵树之间的距离是20米，小明每分钟比小亮多走多少米？
第2讲速算与巧算
我们已经学过了加法交换律、加法结合律以及乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等运算定律，这些定律在学习中经常会用到，这就需要我们首先要掌握好这几个定律，在经常练习的基础之上,巧妙的运用运算定律和性质,可以把较复杂的计算转化为简。
【例】598-63-358×42×125
7800÷25÷485×27+85×74-85
321321×789-789789×3211999+999×999
【培优高手】
995-166-34698-（98+74）
4×9×25360÷8÷5630÷35
125×103-37572×53+41×24
456×123123123-123×45645645619999+9999×9999
125×5×32×563630÷9÷77200÷25÷4
123×456÷789÷456×789÷123
9999×1111+3333×6667999999×8÷111111
第3讲因数和倍数
因为5×6=30,我们就说30是5的倍数,30也是6的倍数,5和6都是30的因数。
一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（或质数）。
一个数除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。
如果一个数是2的倍数，我们就说这个数是偶数，不是2的倍数叫做奇数。
奇偶数的性质：
奇数±奇数=偶数奇数±偶数=奇数
奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数
偶数±偶数=偶数偶数×偶数=偶数
【重点点拨】
【例1】2016个连续自然数相加，和是奇数还是偶数为什么
【例2】两个素数的和是99，这两个素数的积是多少？
【例3】一个数是40的因数，同时又是5的倍数，这个数可能是多少？
【例4】一个四位数
是2,3,5的倍数，这样的四位数有哪几个？
【例5】从写有7，1，4，6,0的五张卡片中取出四张，组成若干个是3的倍数的四位数,一共有多少个？
【例6】有一列数1，1，2,3,5,8，13,21，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
在前2015个数中，有多少个偶数？
【培优高手】
1.2020个连续自然数相加，和是奇数还是偶数为什么
2.三个不同素数的和是16,这三个素数分别是多少?
3.一个五位数
是2,3,5的倍数，这样的四位数有哪几个？
4.一个数是30的因数，又是3的倍数，这个数可能是几?
5.从0,1，2,9四张卡片中选出3个数字组成三位数，其中是3的倍数的三位数，一共有多少个最小的一个是多少
6.有一列数0，1，3,8,21，55，144,…，从第二个数开始，每个数的3倍正好是它前边一个数和后面一个数的和，则这列数中的第2013个数是奇数还是偶数？
7.1+2+3+4+5+……+2013+2014的结果是奇数还是偶数？
8.2015个连续自然数（0除外）相乘的积是奇数还是偶数?
9.边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形有多少个?
10.用2,3,4,5这其中的三个数能组成哪些三位数的素数
11.从2,5,6,7,0这五张卡片中取出四张，组成若干个是3的倍数的四位数，一共有多少个最大的一个是多少
第4讲乘法原理和加法原理
在现实生活中，经常要将两种或两种以上的事物进行搭配。
如果完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件工作的方法总数就是等于各类完成这件工作的综合。
这种方法我们称之为加法原理，也叫分类计数原理。
如果完成一件工作需要很多步骤,每个步骤中又有很多种不同的方法，那么完成这件工作的方法,就是把每一个步骤中的不同方法连乘起来。
这种方法我们称之为乘法原理，又叫做分步计数原理。
【重点点拨】
【例1】小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法？
【例2】书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。
如果从中各取一本科技书、一本故事书和一本英语书，那么共有多少种取法？
【例3】一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同。
（1）从两个盒子任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个盒子里各取一个球，有多少种不同的取法？
【例4】四个数字3,5,6,8可以组成多少个没有重复数字的四位数？
【例5】用4种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同,有多少种不同的涂法？
A
B
C
D
【例6】南京与上海的动车组特快列车，中途只停靠常州、无锡、苏州三个火车站，共要准备多少种不同的车票（考虑往返）
【培优高手】
1.五一前夕,学校举行亲子活动。
玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青三种颜色的裙子，找出来搭配着穿,她一共有多少种不同的搭配方法？
2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少种不同的选法？
3.有7,3,6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数?
4.春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张节日贺卡，一共寄了多少张？
5.有6个不同的文具盒，4支不同的铅笔，4支不同的钢笔，2把不同的尺子。
若从中各取出一个，配成一套学习用具，最多可以有多少种不同的配法？
6.有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数?
7.一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球。
（1）从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同的取法？
（2）从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同的取法?
8.北京到广州的火车，中间要停靠8个大站,火车站要准备多少种不同的车票有多少种不同的票价（考虑往返）
9.有8位同学和1位老师排成一排照相，规定老师必须站在中间，有多少种不同的排法
10.在A、B、C、D四个长方形区域中涂上红、黄、蓝、黑这四种颜色，使任何相邻两个长方形颜色不同，一共有多少种不同的涂法？
A
B
C
D
11.下图中有多少个长方形?
12.舰船信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在旗杆上表示不同的信号,每次可以任意挂一面、两面、三面，不同的顺序表示不同的信号。
一共可以表示出多少种不同的信号?
第二部分四年级奥数知识辅导与拓展
第5讲还原法解题
已知一个数的变化过程和最后结果，求原来的数，通常称此类问题叫“还原问题”,解答“还原问题”一般釆用倒推法，简单地说:
就是倒过来想。
.
解答“还原问题”,我们可以采用从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着想,直到解决问题。
同时也可以利用线段图、表格、示意图等方式来帮助理解题意，解答问题。
【重点点拨】
【例1】甲、乙两桶各有若干升水。
如果从甲桶中倒出和乙桶同样多的水放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的水放入甲桶，这时两桶水恰好都是48升。
问:
两桶原来各有多少升水
【例2】班级分得42本故事书,丽丽和明明两人争着去领。
丽丽先拿了若干本，明明看丽丽拿的太多了，就从丽丽的手中拿过来10本，丽丽不肯,就又从明明那里夺得6本。
这时丽丽的本数是明明的2倍。
最初丽丽拿了多少本？
【例3】书架分上、中、下三层,一共放192本书。
现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层。
这时，三层书架所放的本数同样多。
这个书架上、中、下原来各有多少本书？
【例4】有一堆西瓜，第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多3个，第三次搬走剩下的一半少3个，第四次搬走剩下的一半多3个，第五次搬走剩下的一半，最后还剩3个。
这堆西瓜原有多少个？
【例5】袋里有若干个珠子，小军每次拿出其中的一半再放回1个，这样操作了四次后袋中还有5个珠子。
问:
袋中原来有多少个珠子？
【例6】甲、乙、丙各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有玻璃球个数数给乙，再按丙现有的玻璃球个数数给丙之后，乙也按甲、丙现有的玻璃球个数再数给甲、丙，最后丙也按同样的方法数给甲、乙，这时，他们三人都各有32个玻璃球。
问：
甲原有多少个玻璃球？
【培优高手】
1.有甲、乙、丙三个数，从甲数取15加到乙数，再从乙数取18加到丙数，最后从丙数取12加到甲数。
这时三个数都是180。
、甲、乙、丙三个数原来各是多少?
2.有26盒牛奶，兄弟二人争着去拿。
弟弟抢在前面，刚装好，哥哥赶到了，哥哥看弟弟拿得太多，就抢过来一半。
弟弟生气，哥哥又给了他4盒，这时哥哥比弟弟多2盒。
弟弟最初拿了几盒（
列表倒推法）
3.小明、小华、小冬各有画片若干张。
如果小明按小华现有的画片张数给小华，小华按小冬现有的张数数给小冬，最后小冬按小明现有的张数数给小明。
这时他们二人各有32张画片。
小明原来有多少张画片？
4.冰柜里的鸡蛋，第一天拿走了一半少2个，第二天拿走了余下的一半多4个，第三天拿走佘下的一半后，最后还剩1个。
冰柜里原来有多少个鸡蛋？
5.解放军某部接到抢险任务，因情况有变化，需要从一队抽调一半的人到宣传队，抽调20人去支援二队，抽调剩下的一半去支援三队，后来团部4名通讯员调到一队，这时一队有50人。
原来一队有多少人？
6.袋子里有若干个球。
小军每次拿出其中的一半再放回1个球，这样共操作了5次，袋中还有4个球。
问:
袋中原来有多少个球？
7.书架分上、中、下三层，各有书若干本。
现在从上层取出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层。
这时，三层书架各有48本，这个书架上、中、下层原来各有多少书？
8.学校运来27棵树苗，四
（1）班和四
（2）班争着去栽。
四
（1）班先拿了若干棵，四
（2）班看到四
（1）班拿的太多了，就夺回4棵，四（4）班不肯，又从四
（2）班那里夺回2棵。
这时四
（1）班棵数是四
（2）班的2倍。
问:
最初四
（1）班拿了多少棵（
列表倒推）
9.一种有益的细菌每小时可以增长1倍。
现有一批这样的细菌，10小时后达到100万个。
当它们达到25万个时，经历了多长时间？
10.猴子吃香蕉，第一天吃了一半又一根，第二天吃了余下的一半又一根，第三天吃了余下的一半又一根，第四天吃了佘下的一半又一根。
四天后只剩下。
根香蕉。
问:
原来有多少根香蕉?
11.甲、乙、丙三人各有贴画若千干，甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙也拿出自己现有的一半平分给甲、丙，最后丙又把自己现有的一半平分给甲、乙。
这时三人的贴画数各32张。
问:
他们三人原来各有多少张贴画？
12.甲、乙、丙各有棋子若干枚，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人棋子各增加一倍；然后乙也把自己的棋子以这样的方式给了甲、丙；丙也用这样的方式将自己的棋子给了甲、乙。
这时3人的棋子都是16枚。
问：
甲、乙、丙三人原来各有棋子多少枚？
第6讲抽屉原理
桌上有3个苹案，要把这个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放1个，有的可以放2个，也可以把3个苹果放在1个抽屉里，但最终我们会发现至少有一个抽屉里面至少放2个苹果。
这一现象就是我们所说的抽屉原理。
根据题目中的条件设想出“抽屉”,并确定抽屉的准确数目,当然抽屉的种类很多，需要我们具体问题具体分析;再把题目中的另一个条件当作“苹果”，从而结合抽屉原理求出最终的结果。
【重点点拨】
【例1】任意三个自然数，其中至少有两个是偶数或奇数？
【例2】400人中至少有2人的生日相同。
【例3】五
（1）中队第一小队共有14个少先队员，试解释其中至少有2位同学的生肖是相同的。
【例4】停车场上有40辆客车，各种座位数不同，最少的有26座，最多的有44座，那么在这些客车中，至少有几辆客车的座位数是相同的？
【例5】篮子里有苹果、梨、桃和橘子，如果每个小朋友都从中任意拿2个水果，那么至少有多少个小朋友，才能保证至少有2个小朋友拿的水果完全一样？
【例6】育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每位同学必须从这10人中任选2人。
问:
至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5位同学投了相同2个候选人的票？
【培优高手】
1.在任意三个自然数中，其中必然有两个数的和为偶数，为什么?
2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。
试说明:
他们中至少有2个人是在同一天出生的。
3.一副扑克牌（去掉两张王牌），最少摸出几张，才能保证有三张牌的花色情况是相同的?
4.一副扑克牌（去掉两张王牌），最少摸出几张，才能保证有六张牌的花色情况是相同的?
5.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本,每位学生从中任意借两本。
那么至少几位学生中一定有两位所借的图书属于同一种？
6.口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31个人轮流从口袋中取球,每人各取三个球。
证明:
至少有4个人取出的球的颜色完全相同。
7.有5个小朋友，每人都从装有许多黑白棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。
请你证明，这5个小朋友中至少有2个小朋友摸出棋子的颜色配组是一样的。
8.五年级同学参加数学竞赛。
已知满分为100分，最低分为75分，每个人的得分为整数，并且班上至少有3人的得分相同，那么五年级至少有多少人参加了这次考试？
9.有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。
在200个信号中至少有多少个信号完全相同？
10.库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。
在61个搬运者中至少有多少人搬运的球完全相同？
第7讲统筹规划
在生活中,我们经常要遇到将一些事情进行合理安排的问题,也就是在一定的时间内要做好几件事情,同时还要做到省时、省力,从而取得最大工作效率的问题，我们把这类问题称为统筹问题。
【重点点拨】
【例1】学校进行打扫卫生，四位同学拎着大小不同的水桶去接水。
要注满整个水桶，第一人需要5分钟，第二人需要3分钟，第三人需要4分钟，第四人需要2分钟。
现在只有一个水龙头，应该如何安排四个人的接水顺序，使得他们花费的等候时间最少？
【例2】有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10升和5升。
问:
如何选派车辆才能使运输耗油量最少这时共需耗油多少升
【例3】小明骑在牛背上赶牛过河,共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。
要把4头牛都赶到对岸去，最少需要多长时间？
【例4】在一条公路上有4个工厂，任意相邻的两个工厂距离相等（如图所示）。
现在要在这条公路上设一车站,使得这4个工厂的所有工人步行到车站的总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？
【例5】服装厂的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子,一件上衣和一条裤子为一套服装，现有66名工人生产，每天最多能生产多少套服装？
【例6】某加油站能够对2辆车同时加油，现在有6辆车同时来到加油站，各辆车加油所需的时间分别是:
A车14分钟;B车7分钟;C：
车7分钟;D车17分钟;E车3分钟车2分钟。
请算出这6辆车加油需要的总时间最少是多少分钟？
【培优高手】
1.小明要为奶奶冲杯热果汁，可是开水用光了,他需要烧开水（6分钟），打开果汁瓶（1分钟）,洗茶杯（2分钟），他该怎样安排，才能让奶奶尽快喝上热果汁？
2.有177吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是6吨，小卡车的载重量是3吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是12升和8升，问:
如何选派车辆才能使运输耗油量最少这时共需耗油多少升
3.有16个国家的不同集邮爱好者，想通过邮寄的方式相互交换各国最近发行的邮票，使得每人都有这16个国家的邮票。
这16人之间总共要通多少封信？
4.用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？
5.理发店里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型,分别需要10分钟、12分钟、15分钟、20分钟和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少最少要花多少时间
6.有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔。
商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开包零售。
5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元。
老师买所需要的笔最少要花多少元？
7.四个人夜间过一座独木桥，他们只有一个手电筒。
一次最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候，必须持有手电筒，所以就要有人把手电筒带来带去，两人同行时，以较慢者的速度为准。
四人过桥的时间分别是1分钟、2分钟、5分钟、10分钟，四人全部通过这座独木桥最少需要多少分钟？
8.在一条公路上，每隔100千米有一座仓库（见下图）,共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。
现在要把所有的货物集中存人一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.5元，那么集中到哪个仓库运费最少需多少元
9.服装集团的工人每人每天可以生产4件上衣或7条裤子。
一件上衣和一条裤子为一套服装。
该集团现有75名工人生产,每天最多生产多少套服装？
10.60位同学去野营，他们搭的五顶帐篷正好位于正五边形的五个顶点上（如下图），图中圆圈内的数字表示每个帐篷内的人数。
现在想将五个帐篷内的人数调整为一样多，怎样调动最简便？
第8讲周期问题
我们发现在日常生活和学习中,有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重复出现的，我们把这种现象叫做周期现象,而重复出现一次的时间或重复出现一次的个数叫做周期。
在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环一次的个数,如果正好有个整数周期,结果为周期里的最后一个;如果不是从第一个幵始循环,利用除法算式求出余数,最后根据余数的大小得出正确的结果。
【重点点拨】
【例1】假设所有的自然数排列起来，如下所示，49应该排列在第几个循环及哪个字母下面？
（1）ABCDE
（2）ABCDE
1234512345
678910109876
11……11……
【例2】用1，2,3,4这四张卡片可以组成不同的四位数，如把它们从小到大依次排列，第一个是1234,第二个是1243,第20个是多少？
【例3】下面是一个11位数，它的每三个相邻的数字之和都是24,求它每一位数上的数字分别是多少？
8
9
【例4】有一列数:
6,5,4,2,6,5,4,2，……第130个数是多少这130个数相加的和是多少
【例5】有一列数2,9,8,2,6,…从第3个数开始，每个数都是前面两个数乘积的个位数字，那么这一列数的第l01个数是几？
【例6】有一个1000位数，各数位上的数字都是1，这个数除以6,余数是几？
商的个位数字是几？
【培优高手】
1.假设所有自然数排列起来，如下图所示,78,2016应分别排列在哪个字母下面？
ABCD
1234
8765
9101112
……
2.2000个学生按下列方法编号，排成五列。
问:
第2000个学生排在哪个字母的下面？
ABCDE
12345
9876
10111213
17161514
18……
3.用1，4,6,8四个数字组成不同的四位数把它们按从大到小的顺序排列，第16个数是什么?
4.小明把积存下来的硬币按照四个1分,再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。
他排到的第
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