八年级数学上册第11章三角形等边三角形课后作业新版新人教版2.docx

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八年级数学上册第11章三角形等边三角形课后作业新版新人教版2

等边三角形

1.关于等边三角形的说法：

（1）等边三角形有三条对称轴；

（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

（3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形；

（4）等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等.

其中正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（）

A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.直角三角形

3.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）

A.6B.8C.9D.10

4.如图，在△ABC中，点A关于BD的对称点为点E，点B关于DE的对称点为C，∠CBD=30°，AC=9，则AD的长为（）

A.5B.4C.3D.2

5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）

A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5

6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.则四个结论：

①AD=BE；②∠OED=∠EAD；③∠AOB=60°；④DE=DP中错误的是（）

A.①B.②C.③D.④

7.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.

8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD=CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE=a，则△BDE的周长是

9.如图，已知O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6：

5：

4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数是

10.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.

（1）求证：

△ODE是等边三角形.

（2）线段BD、DE、EC三者有什么数量关系？

写出你的判断过程.

11.如图，在等边△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上.

（1）如果AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，求证：

△DEF是等边三角形；

（2）如果AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，△DEF仍是等边三角形吗？

（3）直接写出D、E、F三点满足什么条件时，△DEF是等边三角形.

12.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD.

（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（2）探究：

当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

等边三角形课后作业

参考答案

1.解析：

根据利用等边三角形的性质分析即可

解：

根据等边三角形的性质：

（1）等边三角形三条边都相等，三个内角都相等，每一个角为60度；

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）；

（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线；

由此分析判定

（1）

（2）（3）（4）都正确，

所以正确的说法有4个，

故选D

2.解析：

证明△ADE是哪一种三角形，可以从三边AD，AE，DE入手.

解：

因为△ABC为等边三角形，

所以∠ABC=60°.

又因为CD=BE，∠1=∠2，且AC=AB，

所以△ADC≌△AEB，

所以AD=AE，∠EAD=∠CAB=60°，

所以△ADE为等边三角形.

故选C.

3.解析：

根据角平分线、高、等腰直角三角形的性质依次判断即可得出答案.

解：

①∵∠1=∠2=22.5°，

又∵AD是高，∴∠2+∠C=∠3+∠C，∴∠1=∠3，

②∵∠1=∠2=22.5°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD，

又∵∠2=∠3，∠ADB=∠ADC，∴△BDH≌△ADC，∴DH=CD，∵AB=BC，

∴BD+DH=AB，

③无法证明，④可以证明，故选C

4.解析作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案.

解：

延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BE=6，DE=2，

∴DM=4，

∵△BEM为等边三角形，

∴∠EMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM=90°，

∴∠NDM=30°，

∴NM=2，

∴BN=4，

∴BC=2BN=8，

故选B

5.解析：

由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案.

解：

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，

∴AB=2BC=4（cm），

∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，

∴BD=

BC=1（cm），BE=AB-AE=4-t（cm），

若∠BED=90°，

当A→B时，∵∠ABC=60°，

∴∠BDE=30°，

∴BE=

BD=

（cm），

∴t=3.5，

当B→A时，t=4+0.5=4.5.

若∠BDE=90°时，

当A→B时，∵∠ABC=60°，

∴∠BED=30°，

∴BE=2BD=2（cm），

∴t=4-2=2，

当B→A时，t=4+2=6（舍去）.

综上可得：

t的值为2或3.5或4.5.

故选D.

6.解析：

根据等边三角形的性质就可以得出△ACD≌△BCE，∠ACB=∠CED=60°，就有BC∥DE，∠OED=∠CBE，由∠CBE=∠CAD而得出结论，∠DPC=∠PCA+∠PAC=60°+∠CAP＞∠DCP=60°而得出DE≠DP从而得出结论.

解：

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，EC=DC=DE，∠ACB=∠DCE=∠DEC=60°，

∴BC∥DE，∠ACB+BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠OED=∠CBE，∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE在AC=BC,∠ACD=∠BCE,EC=DC

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE.AD=BE，故①正确；

∴∠OED=∠EAD.故②正确.

∵∠AOB=∠EAD+∠AEO，

∴∠AOB=∠CBE+∠AEO.

∵∠CBE+∠AEO=∠ACB=60°，

∴∠AOB=60°.故③正确

∵∠ACB+∠DCE+∠BCD=180°，

∴∠BCD=60°.

∵∠DPC=∠PCA+∠PAC=60°+∠CAP＞∠DCP=60°，

∴DE≠DP.故④错误.

故选D

7.解析：

根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数.

解：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，

∵CG=CD，

∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，

∵DF=DE，

∴∠E=15°.

故答案为：

15

8.解析：

根据在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，可得△ABC的形状，再根据△ABC的周长是24，可得AB=BC=AC=8，根据BE⊥AC于E，可得CE的长，∠EBC=30°，根据CD=CE，可得∠D=∠CED，根据∠ACB=60°，可得∠D，根据∠D与∠EBC，可得BE与DE的关系，可得答案.

解：

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵△ABC的周长是24，

∴AB=AC=BC=8，

∵BE⊥AC于E，

∴CE=

AC=4，∠EBC=

∠ABC=30°，

∵CD=CE，

∴∠D=∠CED，

∵∠ACB是△CDE的一个外角，

∴∠D+∠CED=∠ACB=60°

∴∠D=30°，

∴∠D=∠EBC，

∴BE=DE=a，

∴△BED周长是DE+BE+BD=a+a+（8+4）=2a+12，

故答案为：

2a+12.

9.解析：

求出∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数，将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO'B，连接ODO'，证等边三角形BOO'，推出△BOO'即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形即可.

解：

∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°且∠AOB：

∠BOC：

∠AOC=6：

5：

4，

∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，

将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B，连接OO′，

∵△AO′B≌△AOC，

∴∠AO′B=∠AOC=96°，O′B=OC，AO′=AO，

∵∠OAO′=60°（将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到三角形AO′B），AO=AO′，

∴△AOO′是等边三角形，

∴OO′=AO，

∴△BOO′即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形，

∵∠AOO′=∠AO′O=60°，

∴∠BOO′=∠AOB-∠AOO′=144°-60°=84°，

∠BO′O=∠AO′B-∠AO′O=96°-60°=36°，

∠O′BO=180°-84°-36°=60°，

以OA，OB，OC为三边所构成的三角形中，

三边所对的角度分别是60°，36°，84°.

故答案为：

36°或60°或84°

10.解析：

（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；

（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC；

（3）根据直角三角形及等边三角形的性质解答即可.

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，

∴△ODE是等边三角形；

（2）BD=DE=EC，

其理由是：

∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠OBD=30°，

∵OD∥AB，

∴∠BOD=∠ABO=30°，

∴∠DBO=∠DOB，

∴DB=DO，

同理，EC=EO，

∵DE=OD=OE，

∴BD=DE=EC；

11.解析：

（1）根据等边△ABC中AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：

△DEF是等边三角形.

（2）根据等边△ABC中AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：

△DEF是等边三角形.

（3）根据等边△ABC中AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，可得AD=BE=CF，AF=BD=CE，证得△ADF≌△BED≌△CFE，即可得出：

△DEF是等边三角形.

解：

（1）∵△ABC为等边三角形，且AD=2BD，BE=2CE，CF=2AF，

∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，

根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），

∴DF=ED=EF，

∴△DEF是一个等边三角形.

（2）∵△ABC为等边三角形，且AD=3BD，BE=3CE，CF=3AF，

∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，

根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），

∴DF=ED=EF，

∴△DEF是一个等边三角形.

（3）当AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF时，△DEF是等边三角形.理由如下：

∵△ABC为等边三角形，且AD=nBD，BE=nCE，CF=nAF，

∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，

根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），

∴DF=ED=EF，

∴△DEF是一个等边三角形.

12.解析：

（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；

（2）利用

（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.

解：

（1）∵△OCD是等边三角形，

∴OC=CD，

而△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，

∵∠ACB=∠OCD=60°，

∴∠BCO=∠ACD，

在△BOC与△ADC中，

∵OC=CD,∠BCO=∠ACD,BC=AC

∴△BOC≌△ADC，

∴∠BOC=∠ADC，

而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，

∴∠ADO=150°-60°=90°，

∴△ADO是直角三角形；

（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，

则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，

∴b-d=10°，

∴（60°-a）-d=10°，

∴a+d=50°，

即∠CAO=50°，

①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，

∴190°-α=α-60°，

∴α=125°；

②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，

∴α-60°=50°，

∴α=110°；

③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，

∴190°-α=50°，

∴α=140°.

所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形.