第十八章勾股定理教案表格式.docx

第十八章勾股定理教案表格式.docx

《第十八章勾股定理教案表格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十八章勾股定理教案表格式.docx（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第十八章勾股定理教案表格式

教学设计

题目

第十八章勾股定理

总课时

7

学校

姚庙初中

教　者

年级

八

学科

数学

设计来源

自我设计

教学时间

教

材

分

析

本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用.首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题.在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念.

学情分析

学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。

部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。

现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。

教

学

目

标

1.体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题.

2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3.通过具体的例子，了解定理的含义；了解逆命题、逆定理的概念；知道原命题成了其逆命题不一定成立.

重

点

勾股定理及其逆定理的探索与运用.

难

点

勾股定理的证明，勾股定理及其逆定理的运用

课前准备

多媒体课件、小黑板等

总体要求：

1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。

教学设计

题目

18.1勾股定理

总课时

3

学校

姚庙初中

教　者

年级

八

学科

数学

设计来源

自我设计

教学时间

教

材

分

析

本节内容主要是著名的勾股定理，它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础上的，勾股定理揭示的是直角三角形中三边的数量关系，它是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一，更重要的是，纵观初中数学，勾股定理架起了代数和几何间的桥梁，将数与形密切联系起来，实现了由角向边的跨越，是几何中一颗美丽的奇葩，可谓家喻户晓.

学情分析

学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。

部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。

现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。

教

学

目

标

知识与技能：

1.理解勾股定理的内容.

2.运用勾股定理进行计算.

3.运用定理解决实际问题.

过程与方法：

1.让学生经历探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.

2.通过让学生画出数轴上的无理数的点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论.

情感态度与价值观：

通过学生的实际操作，培养学生的探究能力、画图能力和解决综合问题的能力，培养学生思维意识，体会勾股定理的应用价值，感受数学图形之美.

重

点

探索和验证勾股定理，勾股定理的综合运用.

难

点

勾股定理的灵活运用以及构造直角三角形.

课前准备

多媒体课件、小黑板等

总体要求：

1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。

教学流程

分课时

环节

与时间

教师活动

学生活动

△设计意图

◇资源准备

□评价○反思

第一课时

创设情境

激趣引新

5′

实验操作

探求新知

20′

得出结论

拓展应用

15′

反思小结

观点提炼

5′

布置作业

问题1：

请同学们观察课本封面和本章章前彩图，说一说封面和彩图中的图形表示什么意思？

它们之间有联系吗？

问题2：

图1是1955年希腊发行的一枚纪念一位数学家的邮票.你知道邮票上的图案所表示的意义吗？

问题1：

观察下图回答问题

正方形A中含

个小方格；

正方形B中含

个小方格；

正方形C中含

个小方格.

问题2：

正方形面积之间的

关系？

在一般直角三角形

中三边关系如何？

验证勾股定理：

介绍“勾、股、弦”，商高定理，毕达哥拉斯定理.

小试身手：

1.在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=8,b=6则c=

（2）若c=20,b=12,则a=

（3）若c=13,a=5,则b=

2.在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，且a=3、b=4，则c等于多少？

1.勾股定理的内容

2.勾股定理的用途

3.涉及到的思想方法.

习题18.1第1、2题

学生认真观察、猜想

学生观察、计算

得出结论

师生共同探索

学生独立完成

教师给予适当的提示后由学生完成

△提出问题，设置悬念，激发探究欲望，同时为解读图形秘密、探索勾股定理提供背景材料，对学生进行爱国主义教育.

△由特殊到一般的提出问题、解决问题，体会数形结合的思想.

△激发学生的探究热情，感受勾股定理证明的博大精

深.

△为学生提供从事数学活动的机会，使学生对定理理解更加深刻.

教学流程

分课时

环节

与时间

教师活动

学生活动

△设计意图

◇资源准备

□评价○反思

第二课时

创设情境

激趣引新

15′

探究新知

构建模型

25′

反思小结

观点提炼

5′

布置作业

问题1：

求图中的各直角三角形中指定的边.

问题2：

在长方形ABCD中，若长AB为3cm，宽BC为2cm，试确定AC的长.

探究1：

一个门框的长为2m，宽为1m，一块长3米宽2.2米的薄木板能否从门框内通过？

为什么？

探究2：

一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙OA上，这时OA为

2.5m，如果梯子的顶端A

下滑0.5m，那么梯子底端

B也外移0.5m吗？

巩固练习：

一棵树原高18米，折断后树的顶部落在树根底部6米处，这棵树断裂处离地面高为多少？

1.知识总结：

两个模型：

门框问题、梯子问题

2.思想方法归纳：

数学建模思想、方程思想、转化思想.

习题18.1第3、4、5题

学生独立完成

小组讨论、探究

△巩固勾股定理

△使学生意识到如何将数学知识应用于生活实际，激发学生应用数学的兴趣.培养学生处理问题的灵活性.

△正确运用勾股定理解释生活中的问题.

教学流程

分课时

环节

与时间

教师活动

学生活动

△设计意图

◇资源准备

□评价○反思

第三课时

创设情境

以美引新

10′

循问探疑

解决问题

25′

反思小结

观点提炼

10′

请同学们欣赏美丽的海螺图案，在数学中也有这样一幅美丽的“海螺”图案！

同学们知道是怎么画

出来的吗？

它是依据

什么数学知识画出来

的？

问题：

在数轴上表示

练习：

在数轴上表示－

的点.

例1已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BA于D，∠A=60°，

CD=

，

求线段AB的长.

例2已知：

△ABC中，AC=4，B=45，A=60根据题设补充一个所求未知元素，并求值.

1.知识总结：

用勾股定理作无理数表示的点

“双垂图”的特点

2.思想方法归纳：

构造法、转化思想、数形结合

学生观察、探究、讨论

小组交流、探究

△设置美丽的海螺图案，以大自然的天然造化感染学生，在此基础上将数学之美嵌入，能实现感性的自然美向理性的数学美的迁移.

△对“双垂图”的性质进行大盘点，增强纵横联系.

△让学生进一步认识勾股定理的广泛应用.

勾股定理学案（第一课时）

姚庙初中程祖祥、王军、童红宇

学习目标：

1．体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。

2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。

3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。

重点、难点：

重点：

探索和验证勾股定理过程；

难点：

通过面积计算探索勾股定理。

一．温故知新

1.直角三角形的性质：

（1）直角三角形两锐角；

（2）直角三角形斜边上的中线等于；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于。

2.分别求出下式中的x的值：

①x2=5②（x-2）2=5③4（2x-1）2=9

二．学习新知

1.完成P65的探究，猜想得出的结论：

。

2.分别用下面的图形证明上述结论（方法：

面积法）

4.在上面第4个图中画出剪裁线，拼成能证明勾股定理的图形，你能拼出几种？

5．完成P68--2，并对答案，由小组长给予评价。

三．运用新知，体验成功

1、看图填空（图中的三角形都是直角三角形，四边形都为正方形）

正方形C的面积为

2、Rt△ABC中，

=90°，AB=C，AC=b，BC=a

⑴已知AC=6，BC=8，求AB.

⑵已知

=15，

=9，求

.

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，

【合作探究】

在Rt△ABC中，有两边长为5，12，求第三边长及斜边上的高。

四．畅谈收获

通过本节课的学习，你有哪些收获？

五、课堂检测

1．勾股定理的具体内容是：

2．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

3、判断

①直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方（）

②Rt△ABC中，

则

（）

4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长是

，则正方形A、B、C、D的面积和是

5、在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=b=。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为

勾股定理的应用（第一课时）

学习目标：

1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题

2．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识。

知识探究

知识点回顾：

1、勾股定理：

___________________________________________

数学式子：

∠C=900

2、神秘的数组（勾股定理的逆定理）：

______________________________________________________________.

数学式子：

∠C=900

3、满足a2＋b2＝c2三个数a、b、c叫做_________。

成果检测：

1.三角形的三边长为a,b,c且（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）

A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.

2.已知

两边为3，4，则第三边长________．

3.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴此时轮船离开出发点多少km?

⑵若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

4.如图,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为_____cm.

第4题

5.如上右图，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是多少米？

检测反馈：

1、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向160千米B处有一台风中心，其中心最大风力为10级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东BC方向往C移动，城市Ａ到ＢＣ的距离ＡＤ和ＢＤ长之比为１:

且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过五级，则称为受台风影响.

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？

请说明理由.

（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？

2、如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是______米.

3、如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是____________米.

4、如上右图，甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？

勾股定理的应用（第二课时）

学习目标：

能用勾股定理及逆定理解决一些问题，能规范的书写和表达过程。

知识探究：

一．

讨论

1．图中的

分别等于多少？

2．利用右图，画出长分别为

的线段。

3．

如图，一连串直角三角形演化而成的图形，其中

，如果把图中的直角三角形继续作下去，那么

这些线段中有哪几条线段的长度为正整数，分别是多少？

二．探索

问题一：

在如图1所示的直角三角形中，可求得

=_____，并可知两个锐角都是_______，面积是_______，周长是__________，斜边上的高是______,中线是_______.

问题二：

在如图2所示的直角三角形中，可求得

=_____，并可知两个锐角分别是_______，面积是______，周长是__________，斜边上的高是______,中线是_______.

图1图2图3

拓展：

对于如图3所示的等边三角形，

（1）若边长AB等于4cm，则高AD=_____，面积等于_______，

（2）若中线BE等于4cm,则边长AB=_______，面积等于__________.

【成果检测】

1．一个三角形的三个角之比为1：

1：

2，则它的三边之比为

2．若一个三角形的边长分别是12、16和20，则这个三角形最长边上的高为

3．在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求△ABC的面积．（两解）

4.已知：

如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5。

求△ABC的周长和面积。

5.某农民开垦出一块三边长分别为7m，8m，9m三角形地块准备种植花生，聪明的同学你能帮他算一算这块地的面积吗？

【检测反馈】

1、小明和小强的跑步速度分别是6m/s和8m/s，他们同时从同一地点分别向东、南练习跑步，那么从出发开始需__________s可以相距160m。

2、已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则其周长为。

3、旗杆上的绳子垂到地面还多出1m，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m后，绷紧的绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为___________m.

4、如下左图，已知：

在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN=________。

5.如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米

勾股定理应用学案（三）

一、学习目标

1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

二、重点、难点

1．重点：

勾股定理的综合应用。

2．难点：

勾股定理的综合应用。

三、课堂引入

复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

四、例习题分析

例1（补充）1．已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，

求线段AB的长。

例2（补充）已知：

如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

例3（补充）已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。

小结：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

六、课堂练习

1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。

2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=

cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。

3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=

，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。

4．已知：

如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，

求S△ABC。

七、课后练习

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，AB=。

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=，b=。

3．已知：

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=

，

求

（1）AB的长；

（2）S△ABC。

教学设计

题目

18.2勾股定理的逆定理

总课时

3

学校

姚庙初中

教　者

年级

八

学科

数学

设计来源

自我设计

教学时间

教

材

分

析

本大节是勾股定理的逆定理，它是在学过勾股定理的基础上进行的.教科书以古埃及人的做法为出发点，让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形.从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.这个猜想可以利用三角形的全等来证明，从而得到勾股定理的逆定理.

学情分析

勾股定理的逆定理所给出的判定一个三角形的方法，与前面学过的一些方法不同。

它通过代数运算“算”出来。

实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，所以本节课的学习可以开阔学生的视野。

教

学

目

标

知识与技能：

1.理解并掌握勾股定理的逆定理的证明方法.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.

2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.

过程与方法：

1.经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性，渗透合情推理的数学意识.

2.在解决问题的过程中，继续体验模型的思想方法，培养学生与他人交流、合作的意识.

情感态度与价值观：

培养学生数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理及逆定理的应用价值.

重

点

理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用其解决综合的实际问题..

难

点

1.勾股定理的逆定理的证明.

2.互逆命题和互逆定理的概念.

课前准备

多媒体课件、三角板、小黑板等

总体要求：

1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。

教学流程

分课时

环节

与时间

教师活动

学生活动

△设计意图

◇资源准备

□评价○反思

第一课时

创设情境

导入新课

10′

明晰概念

证实发现

15′

范例点击

演练提高

15′

反思小结

观点提炼

5′

布置作业

问题1：

求以线段a、b为直角边的直角三角形斜边c的长（单位：

cm）.

（1）a=3，b=4；

（2）a=2.5，b=6；

（3）a=4，b=7.5.

问题2：

分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样子的？

问题3：

是不是只有三边长为3、4、5的三角形才能构成直角三角形？

问题1：

命题1、命题2的题设和结论分别是什么？

问题2：

请同学们举出一些互逆命题，并思考：

是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？

举例说明.

问题3：

由以上发现，原命题正确，其逆命题不一定正确，那我们发现的勾股定理的逆命题一定正确吗？

还需要我们做什么？

问题4：

已知，如图，△ABC中，

AB=c，AC=b，BC=a.且

a2+b2=c2，

求证：

∠C=90.

例1判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？

（1）a=15，b=17，c=8；

（2）a=13，b=15，c=14.

练习：

请完成以下未完成的勾股数：

（1）5、12、

（2）10、26、

说出下列命题的逆命题并判断是否正确：

（1）两条直线平行，内错角相等；

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.

知识总结

思想方法归纳

习题18.2第3、5题

学生思考后回答

学生分成四人组，互相交流，然后举手发言.

学生独立完成

总结后学生回答

△巩固勾股定理的知识.

△在学生充分的举例、交流的基础上，提供素材让学生再认识.

△在提出的探究问题的基础上，做好分析、引导，督使学生思考，然后再提问个别学生。

通过学生操作、观察、验证两个三角形全等，从中孕育了辅助线的添加为逻辑论证作好了铺垫.

△培养学生的语言表达能力和总结归纳能力.

教学流程

分课时

环节

与时间

教师活动

学生活动

△设计意图

◇资源准备

□评价○反思

第二课时

创设情境，导入课题

类比发现

体验新知

10ˊ

研究新知、应用举例

课堂

练习

小结

布置

作业

创设情境：

在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法实验观察。

P75页例2

分析：

（1）了解方位角，及方位名词；

（2）依题意画出图形；

（3）依题意可得PR=12×1.5=18；PQ=16×1.5=24，QR=30；

（4）因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根

据勾股定理的逆定理，知

∠QPR=90°；

（5）∠PRS=∠QPR-

∠QPS=45°。

例1（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

本节课中有什么收获？

完成教师出示的问题

学生分组讨论