第七章线性变换总结篇高等代数.docx
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第七章线性变换总结篇高等代数
第7章线性变换
7.1知识点归纳与要点解析
一•线性变换的概念与判别
1.线性变换的定义
数域P上的线性空间V的一个变换匚称为线性变换，如果对V中任意的元素:
-和数
域P中的任意数k，都有--，ck?
=kc:
-。
注：
V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别
设二为数域P上线性空间V的一个变换，那么：
二为V的线性变换二二kt呻一-k「［二V^k,TP
3.线性变换的性质
设V是数域P上的线性空间，▽为V的线性变换，X/%,0（2川Us®€V。
性质
1.
性质
2.
若〉1「2,川「s线性相关，那么二-1>2,IH匸：
s也线性相关。
性质
3.
设线性变换二为单射，如果亠，〉2」l（「s线性无关，那么:
少〔*2JHQ2s
也线性无关。
注：
设V是数域P上的线性空间,
：
1,：
2」l（,：
m,1,2」l（,s是V中的两个向量组,
如果:
1
2
III
m
frw271•%sP1*C222JU•C2ss
IIIIII
=Cm11'Cm2^1'Cmss
记:
二1,2」"，s
C11
C12
C21
C22
III
HI
Cm1
Cm2
III
Cms
是，若dmV产n，:
」，〉2,山，4是V的一组基，二是V的线性变换，：
1厂2,川，飞是
V中任意一组向量，如果:
二MI^b^v'1血〉2•丨1「Dnln
-：
2i=b2l〉1-b22〉2bn〉n
IIIIIIIII
-V-bmr'1-bm2〉2•11（"『n
记:
-U「2,IH，F］：
i'：
・川1，二空川打F
那么:
二①匚，|ljmU〉2,川C
III
III
cm1
Cm2
gn
b2n
III
bl2
b21
b22
III
III
Cm1
Cm2
，1,2」l（,m是矩阵B的列向量组，如果
1,i2,川，ir是
1,2，川，m
b2n
III
极大线性无关组，那么」1，「2
iH-ir就是
二：
1,二：
2川二：
m的一个极大线性无关组，因此向量组-：
1,二：
2川二：
m的秩等于秩B。
4.线性变换举例
（1）设V是数域P上的任一线性空间。
零变换：
0：
•=0,「圧三V；
恒等变换：
；「-「，•*"V。
幕零线性变换：
设匚是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整数m，使
得二^0，就称二为幕零变换。
幕等变换：
设二是数域P上的线性空间V的线性变换，如果二2=：
;，就称二为幕等
变换。
（2）V=Pn,任意取定数域P上的一个n级方阵A，令:
（3）V=P1.x1,Dfx二fx,—fx产P〔x丨
（4）V-Pnn,人=]耳是V中一固定矩阵，•X]=AX,-X・Pnn。
二•线性变换的运算、矩阵
1.加法、乘法、数量乘法
（1）定义：
设V是数域P上的线性空间，匚，•是V的两个线性变换，定义它们的和
'-'x、乘积二分别为：
对任意的用5V
:
二：
--.?
，:
-乂.:
-
任取k•P，定义数量乘积k；「为：
对任意的二eV
k；「「-kc\\
-的负变换-二为：
对任意的：
£eV
丄:
=-c:
则■.—、；「.、k匚与-二都是V的线性变换。
（2）L（V）=｛坊|坊为V的线性变换｝，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P上的维线性空间。
2.线性变换的矩阵
（1）定义：
设V是数域P上的n维线性空间，▽是V的线性变换，a1a2^han是V的
一组基，如果:
'二-1二
二：
2乜门
IIIHIIII
&22〉2&2人
an2〉27,ann〉n
那么称矩阵A
a11
a）2
a21
a22
III
卅
an1
Qn2
为线性变换b在基a1a2^ian下的矩阵。
a2n
III
Qin
二：
n
2,
此时：
二〉1,〉2,lll〉n二：
'1，二>2川二〉n二〉1,〉2,HI,〉nA
（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：
设r,〉2」l（,r是数域P上的n维线性空间V的一组基，-；「，.•LV，设
它们在宀，〉2,山，r下的矩阵分别为A,B。
1）f：
LV>Pnn，-HA是数域P上的线性空间LV到数域P上的线性空间Pnn的同构映射，因此LV三Pnn。
2）匚可逆：
=A可逆
3［①；「宀、二与-；二在基宀，2」1（,打下的矩阵分别为A-B,AB与-A；
2任取kP，k；「在基下的矩阵为kA；
3若二为可逆线性变换，则在基--■1^-2^\n下的矩阵为AJ；
4设fx=amXm-am」xm‘•川••a°为数域P上的任一多项式，那么
f；「=a^m-amJcmJJH■a&•a0；（；为V的恒等变换）在基
■■1^'2JII,:
n下的矩阵为：
fAi=amAm•am」Am，•川•qA•a°En。
三•特征值、特征向量与对角矩阵
1.矩阵的特征值与特征向量
（1）矩阵的特征多项式：
设A为n级复方阵，将多项式fA（丸）=|九巴-A称为A的特征多项式。
注：
1）若A=aj，则：
nn
fA（扎戶"En-AU+（-1g1+a22+IH+ann卩心+ll汁（一1f|A
+（—1）tr（ApZ+|H+（_1）n|A
2）将九En-A称为矩阵A的特征矩阵，卩-En-A=0称为矩阵A的特征方程。
（2）定义：
n级方阵A的特征多项式fA（人）=九En-A在复数域上的所有根都叫做其特
征值（根），设-0•C是A的特征值，齐次线性方程组■En-AX=0的每个非零
解都叫做矩阵A的属于其特征值’0的特征向量。
（3）求法:
1）求fA（人）=|hEn-A在复数域上的所有根乩花，川入（重根按重数计算）；
2）对kk=1,川n解齐次线性方程组，kEn-AX=0，得其一个基础解系
%1,%2,川，”5（lk=n—秩（瓦En—A））,则矩阵A的属于特征值打的全部特
征向量为skik1'sk2k2'll］飞人*k,lk，其中Ski,Sk2^|,Sk,lk为不全为零的任意常数（复数）。
（4）重要结论：
1）设，0•C是A的特征值，Xo是A的属于其特征值■0的特征向量，gx为一复系数多项式。
1g'0为gA的特征值，Xo为gA的属于特征值g'0的特征向量；
2如果A还是可逆矩阵，那么丄与LA分别为A」和A的特征值，X0为A的属
'0，0
于特征值—的特征向量，X0为A”的属于特征值—的特征向量，
③若‘1,'2,川，’n是矩阵A的全部特征值，那么g1,g匕川2'n就是gA
111
的全部特征值，如果A还是可逆矩阵，则，一，|||,为A-1的全部特征值，
'1'2'n
△,△」",仝为A的全部特征值；
‘1‘2'n
2）若■1,，2,川，’n是矩阵A的全部特征值，那么trA='r■2…n，
A='1'2IH'n。
2.线性变换的特征值与特征向量
（1）定义：
设二是数域P上的线性空间V的线性变换，P，若存在07三Y，使得
厂,-‘0〉，就称‘0为二的一个特征值，：
-为二的一个属于特征值‘0的特征向量。
（2）线性变换的特征多项式
设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基,设二
在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式
'En-A为二的特征多项式，记为
fb®）=|hEn-A，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。
（3）求法：
设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换。
1）取定V的一组基:
■!
：
-2^L：
n，求出二在该基下的矩阵A；
2）求fb（人）=上En—A在P中的所有根入裁2,川，珞（03）若m.0,对，kt=1,|]|s解齐次线性方程组’kEn-AX=0，得其一个基础
解系ki,k2,|l|,5（L二n-秩“En-A），则线性变换二的属于特征值'k的全部特征向量为冷，〉2,HLSkik1'Sk2k^^1'Sk,ikk,lk，其中Ski,Sk2山，Sk为P中不全为零的任意常数。
3.矩阵相似
（1）定义：
设A,B是数域P上的两个n级方阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵T，
使得T」AT二B，就称矩阵A相似于矩阵B，记为AllB。
（2）性质：
1）矩阵相似是等价关系，即：
设A,B,C都是n级方阵，那么：
①A「A;②若AB，那么BA;③若AB且BMC，则AHC。
2）若A'\B，那么fA（扎）=|XEn-A=fB（人）=卩贬-B，因此矩阵A与矩阵B有相同的特征值，相同的迹（tr（A）=tr（B）），相同的行列式（A=B）。
3）两个实对称阵相似二它们有相同的特征值。
（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。
（4）若T’AT二B，那么Bk二T」AkT,—kZ。
4.线性变换与矩阵可对角化
（1）矩阵可对角化
1）设A是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵T，使得T^AT为对角阵，则称A可对角化。
2）n级方阵A可对角化二A有n个线性无关特征向量。
3）如果n级方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化。
4）设f2」H,'k是n级方阵A的所有不同的特征值，
fA（九）=|人En-A=（丸—入1$（九—入2F（九_人$
称hi=1,2,IH,k为\的代数重数;
称S二n-秩打En-Ai=1,2,1|],k为、的几何重数；
sUi=1,2，川,k；
n级方阵A可对角化二对i=：
1,2川l,k都有「的代数重数=-的几何重数。
注：
1.设齐次线性方程组（入En—A）X=O的解空间为Wi,则S=dim（Wf）
2.称VCnAS为n级方阵A的属于特征值■i的特征子空间，那么
s=dimVi
（2）线性变换可对角化
1）设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果存在V的一组基，使得二在
该基下的矩阵为对角阵，就称二可对角化。
2）数域P上的n维线性空间V的线性变换二可对角化二二有n个线性无关特征向
量。
3）设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果二有n个不同的特征值，则
可对角化。
4）设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换，匚在V的一组基下的矩阵为A，
设’1,'2,川，’k是n级方阵A的所有不同的特征值。
1若‘1,‘2,11（,'k•P，那么：
二可对角化二对i=1,2」|I,k都有■j的代数重数=■j的几何重数。
2若'1,'2^1,'k不全在数域P中，则匚不可对角化。
注：
人的几何重数=dim（V入），其中V’l=b乏V貯（。
）=打口｝为貯的属于特征值人的特征子空间。
四•线性变换的值域与核
1.定义：
设坊是数域P上的线性空间V的线性变换，将二V--■-■-V[分别称为线性变换二的核与值域（二'0与二V也分别记为ker~与Im二）。
2.线性变换的秩与零度：
匚V与;」0都是V的子空间，将dim匚V与dim匚一10
分别称为二的秩和零度。
3.有限维线性空间的线性变换的值域与核
设V是数域P上的n维线性空间，匚是V的线性变换，/■n为V的一组基，
二在该基下的矩阵为A,r=秩A,>-a^^-a2〉2V「V。
ia2
1）aw丄（0）=/是齐次线性方程组AX=O的解。
+
+
2）若1,2Jh,n」是AX=0的一个基础解系，那么1,2M,n」（其中厂九〉2,川,宀kk=1,2,|||,n-r）就是二’0的一组基，于是：
1
dim；二0=n-r
i（0）=L（?
1*2,川,仁）={人丫1+k2^2十川+knJ仁k1,k2川,kn八P}
因此二的秩和零度为n-r。
3）二V=L［「」（-1，二〉2
于是二：
1，二＞2，川，二\的一个极大线性无关组就是匚V的一组基，而
〔，［询，二：
・2，川，'：
-〔叫的秩等于秩A=r，所以dim二Vj=r,即二的秩为
秩A=r。
4）dim二V丨亠dim二」0=n。
3.求法：
设V是数域P上的n维线性空间，二是V的线性变换。
1）二°0的求法：
1取定V的一组基〉1,〉2」l（,〉n，求出匚在该基下的矩阵A；
2解齐次线性方程组AX=0，得其一个基础解系1,2川（，2（r=秩A）；
3令k二〉1「2,IH「nkk=1,2,川，n-r，得厂10的一组基
1,2,川，n「
「0二L1,2,川，nx定k11k22川kn…*k1,k2川，kn—Pl
2）匚V的求法：
1取定V的一组基r,：
。
」"，：
、，求出匚在该基下的矩阵A；
2设矩阵A的列向量组为1,2,川，n，求出1,2，川，n的一个极大线性无关
组Ji2,川，ir就得到二：
1产〉2,川产\的一个极大线性无关组
-r,二讥，川，'：
-［：
九，■：
」〔:
智，—一:
％,川丿，［：
九就是二v的一组基。
；「v=li"［：
鋼，二:
-i2,|丨，二:
'ir
-%；「二飞二二2」丨」匸rkhMJijp'
五.不变子空间
1.定义：
设二是数域P上的线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对w=.W,都有▽（口严W（即er（W）9W），就称W是□■的不变子空间，也称a-子空间。
2.设V是数域P上的线性空间，那么与V都是V的任一线性变换的不变子空间。
3.设二是数域P上的线性空间V的线性变换，•是二的任意一个特征值，那么c的特征
子空间Vj”={aEV）=¥心}都是cr的不变子空间。
4.线性变换的循环子空间：
设二是数域P上的n・0维线性空间V的线性变换，任取
0三V，必存在正整数m,使得「，M過川，m」：
线性无关，而
n很］,川,；」皿〕线性相关，令w=l:
n订Li，则w是二的不变子空间，称W为二的循环子空间。
5.设V是数域P上的n维线性空间，二是V的线性变换，W是二的不变子空间，
0:
n,取W的一组基―蓄川厂需，将其扩充为V的一组基
/Aa、
川，％，唏1山用那么▽在该基下的矩阵为2，其中Al为叫W在W
<0A3丿
的基一:
jJ2,|l（,一：
咕下的矩阵。
六.若尔当（Jordan）标准形
1.若尔当块与若尔当形矩阵：
1）若尔当块：
形式为
0
III
1
扎
III
J（耐t）=
+
+
+
9
r
0
0
III
<0
0
III
000
000
q+F
HF
1&0
01九小
的矩阵称为若尔当块，其中•为复数。
其一般形状如:
2）若尔当形矩阵：
由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,
As丿
1人
其中：
a=1
，且入么2,川，兀中有些可以相等。
1入比逑i
2.复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵
1）设二是复数域C上的n•0维线性空间V的任意一个线性变换，那么必存在V的一组基，使得匚在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。
2）每个n级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。
3.设二是复数域上的n•0维线性空间V的线性变换，那么二幕零二二的特征值都为零。
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