这里是积分常数，它由初始条件决泄。
当Q=0时，y=0°由此解得c=//2o这样
y=/（l-cosa）/2或Icosa=/-2y
又yA=y+lcosa和杆ABZ长为/，即有x2+（y-yA）2=l2o由此可得柱面方程为
x2+（/-2y）2=/\
11.2.4自然长度为a、重量为W的弹簧圈套在顶角为2a的表而光滑的圆锥体上,圆锥体铅直放置，禅簧圈的弹簧常数为£。
试求平衡时圈面与锥体顶点的距离。
解：
系统只有一个自由度，取圈而与锥顶的距离〃为广义坐标。
此时禅簧的长度是
/=2加tana
系统受到两个主动力：
弹簧圈的重力W和弹簧的弹性力的作用F=-k（l-a）,且受理想约朿，可以应用虚功原理。
即
Wdh+Fdl=0此即W5h-tana-tanaJ/z=0
解得平衡时圈而与锥体顶点的距离是
11.3.1如图所示离心调速器，两小球的重咼各为P，套管的重量为Q,由4根长度
均为/、重量可以忽略不计的直杆连接起来。
试求当调速器以角速度⑵转动时，它的张角2a为多大？
解：
系统只有一个自由度，取图中的&角为广义坐标。
贝IJ
xp=Isina>yp=Icosa,yQ=2/cosor
即2P（-lsina）3a+Q（-2/sina}5a+2（P/sinaco2/g”cosa氐=0
系统所受主动力：
两小球的重力P和套管的重力0以及两个惯性力的作用,且受理想约束，可以应用动力学的虚功原理。
给a角一个虚位移加，有2PSyp+QSyQ+2（Pxpa）2/=0
消去任意变分da,解得
cosa=
11.3.2两重球片与4装在刚性直角尺AO3的两端，角尺可绕O点在竖直面内摆动，而通过0点的竖直轴又可带动角尺绕竖直轴转动。
设杆长OA=l},OB*,求系统绕竖直轴的转速与角a的关系。
解：
系统只有一个自由度，取图中的&角为广义坐标。
则
xA=-/jsina,yA=l}cosa,xB=l2cosa,yB=/2sina系统受到两个小球的重力片和P2以及两个惯性力的作用，且受理想约朿，可以应用动力学的虚功原理。
给a角一个虚位移处，有
AS+3力+（A泅/g）氐+（4m2/g）氐=°
即（一召厶sina+P2l2cosa）^a+（呂-sinacosa&t/g=0
消去任意变分宛，解得/鴛笃;Wzg
（PJ;一片/]）sinacosa
11.3.3半顶角为Q的倒立空心圆锥内放一重量为P的小球，当圆锥以角速度P绕过顶点的竖直轴转动时，求小球放到多大的髙度〃时，刚好能够达到相对平衡。
解：
小球被限制在圆锥而上运动，只有一个自由度，可取小球距顶点的高度〃为广义坐标。
小球受的主动力为重量P及惯性离心力-Pe讪tana/g二系统所受理想约束，可以应用动力学的虚功原理：
B・5入+（-P^y2/?
tana/g）/・5乙=0
即-Pdh+tana/g）・3litana=0
消去任意变分5爪解得
h=
artaira
11.3.4半径为/?
、鼓轮半径为，•的匀质轮轴，重量为0,通过鼓轮上缠绕的绳子挂
一重物P,宜于倾角为Q的粗糙斜面上，如图所示。
轮轴与斜而间的摩擦系数为“。
求轮轴处于平衡的条件。
解：
轮轴可绕水平轴转动并沿斜而滑动，系统有两个自由度，可取轮轴与斜而的接触点到斜而顶点的距离S和轮轴绕水平轴转过的角度&为广义坐标。
系统受三个主动力：
重物的重力P、轮轴的重力0及摩擦力f=pN=MP+Qga的作用。
当把摩擦力当作主动力
看待时，可以应用动力学的虚功原理:
给个虚位移5?
让&不变，有
6*'=0・dss\na+P・&sina一/z/V・ds=0解得“htana
再给&一个虚位移丹，让s不变，这时摩擦力不做功，有
dw=Q-/M&sina+P（/?
sina一/&=0
因为P>0,0>O,上式分母必大于0,进一步有厂>Rsina。
11.3.5-个在均匀重力场中运动的质点，如果用球坐标来描述质点的运动，取垂直向上方向为极轴，求重力的三个广义力分量。
解：
取图示球坐标系，以球坐标尸、<9、0为广义坐标，则质点的直角坐标分量是
x=广sin&cos0,y=/sin&sincp,z=rcosO
质点在均匀重力场中运动，属于保守系统。
系统的势能是：
V=ingrcosO
由保守系统的广义力公式，有
Qr=
eV
乔
=-mgcosO,
Qe=
dV
丽
=mgrsin0,
Qa>=
dV
d（p
=0
11.3.6质量为〃2、半径为"的均质薄圆筒在另一个质量为M、半径为2°的均质薄圆筒内做纯滚动：
后者又在水平而上做纯滚动。
选大圆筒的角位移&以及两圆筒的轴构成的平而与铅垂而的夹角0为广义坐标，求作用于系统的所有力的广义力分疑。
&和000
解：
如图所示，以水平面为重力势能的0点，系统的势能是：
V=mga（\一cos©）+2Mgu
则由保守系统的广义力公式，有
Qe=
av
——=-mgsin（pd（p
11.3.7质量为加、半径为“的均质圆柱体在另一个质量为M的木块中割出一个半径为b的半圆柱形空心槽内做纯滚动，木块又由劲度系数为k的弹簧支撑着可沿竖直导轨无摩擦运动。
取木块的竖直向上的位移X和圆柱中心的角位移&为广义坐标，求作用于系统
的所有力的广义力分Mox和&的零点选在系统的平衡位置。
解：
系统有两个自由度，可取木块的竖直向上的位移X和圆柱中心的角位移&为广义坐标，则
xM=xtg=x+h_（b-a）cosO
这里力是系统平衡时木块上部半圆形的圆心到其质心的髙度。
系统仅受重力和弹簧弹性力的作用，属于保守系统，系统势能为
1.1.
V=Mgx+ingxm+-k（x-xoy一二X
这里心是系统平衡时弹簧的压缩量，因而有（M+m）g=kxQ.由保守系统的广义力公式,有
ov
Qy=-—=_Mg_mg_£（X_不））=-kx
ox
11.4.1长为2d、质量为M的均匀直杆AB，A端与光滑水平地而接触，在重力作用下，此杆由竖直位宜释放，在铅垂面内滑倒，求杆落至地而瞬间的角速度？
解：
杆做平面运动，只有一个自由度，取杆与铅垂线之间的夹角&为广义坐标，则
xc=“sin&,yc=acos0
系统的动能与势能分别是：
T=-M（x^+yl）+-Ica）2=-Ma232asin0+--—M（2a）202=-Ma202
22<22123
V=Mgyc=Mg"cos&
由于地面光滑，系统仅受理想约朿，应用基本形式的拉格朗日方程有：
dV
丽
ddT\dT门—=a=dt\de；de
d0•1•73
•・•0=——0上式成为一〃=="gsin&/&
dO24a
积分可得：
O1=c—3gcos0/2a
这里c是积分常数，它由初始条件决立。
当/=0时，0=0，0=0,可得c=3g/2r.
这样，杆落至地面瞬间的角速度是:
◎=&|畑/2=J3g（l-cos&"2r/b=H2=』3g/2a
11.4.2质虽:
为加的质点，受重力作用，被约束在半顶角为a的倒立空心圆锥的光滑内表而上运动，以图中的厂、&为广义坐标，由拉氏方程求此质点的运动微分方程？
解：
系统具有两个自由度，以图中的厂、&为广义坐标，则质点的直角坐标是：
x=rcosO>y=/sin。
，z=r/tana
以圆锥顶点为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是：
f1z-・*>・*>、1#・22
T=+»-+厂）=亍〃?
（厂csba+厂
V=mgz=mgrcota
应用基本形式的拉格朗日方程有:
由于圆锥的内表面光滑，系统仅受理想约朿,
即
r-rO2sin2a+gsinacosa=0
mr20=mh（常数）
mresc1a一mrO1=-mgcota
—（/nr<9）=0
.dt
11.4.3用一根轻弹簧把质虽:
为加的小球悬挂在固左点O,任英在铅直平而内摆动。
已知弹簧原长为"、劲度系数为用拉氏方程求此系统的运动微分方程？
解：
小球做平而运动，具有两个自由度，以禅簧长度即摆长/和摆线与铅直线的夹角&为广义坐标，则小球的直角坐标是：
x=/sin&,y=IcosO.以禅簧的悬挂点为重力势
能的0点，以弹簧的原长为弹性势能的0点，则系统的动能与势能分别是：
7=1m（x2+y2）=|/w（Z2+厂沪），
V=—mgy+—k（l—a）2=-mglcosO+—k（J—a）1
22
系统的拉格朗日函数是：
L=T-V=-m（l2+l202）+mSlcos0--k（l-u）2
22
由于系统仅受理想约束，应用保守系统的拉格朗日方程有：
11.4.4质量为加.半径为R的中空的圆环通过光滑较链较接在固泄轴4上，环管内
有一质量为加的质点P,可在管内无摩擦的滑动。
写出圆环和质点组成的力学系统的拉格朗日函数，并由拉氏函数写岀运动第一积分。
解：
系统做平而运动，具有两个自由度，以图中的角0和&为广义坐标，则有：
xc=RsinO,yc=Rcos0•
xP=Rsin&+7?
sin（&+0）,yP=Rcos3+Rcos（0+（p）
以圆环的悬挂点为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是:
T〃心;+耳）+”
=-mR2[02+@+0）2+28（0+0）cos0]+-•2mR202
22
=mR2[（p2/2+沪（2+cos©）+0（p（l+cos?
）]
V=-mgyc一mgyp=一加g/?
[2cos&+cos（&+系统的拉格朗日函数是：
L=T-V
=mR2[（p2/2+（2+cos。
）+0（p（\+cos。
）]+2cos&+cos（&+（p）]
由于厶中不显含时间因子系统所受为左常约束，系统的机械能守恒，即
T+V=mR2[（p2/2+Q'（2+cos0）+%（1+cos0）]
一〃?
g/?
[2cos&+cos（&+0）]=常数
11.4.5质量为半径为/?
的薄球壳，其外表而粗糙，内表而光滑，放在粗糙的水
则
平而上。
在球壳内放一质虽为山，长为2/?
sina的均匀棒。
设此系统从静止开始运动，且在开始的瞬间，棒位于通过球心的竖直平而内，两端都与球壳相接触，并与水平线成0角。
用拉格朗日方程证明：
在以后的运动中，棒与水平线的夹角&满足关系：
[（5M+3/w）（2cos2a+l）-9mcos2acos20]R02
=6g（5M+3〃”cosa（cos&-cos0）
证明：
系统有两个自由度，可取球心的水平坐标％与角&为广义坐标。
xc=x+RcosasinG,yc=R（1-cosacos。
）
以水平而为重力势能的o点，则系统的动能与势能分别是：
T=g加2+gq令]+*〃心;+jr.）+1ice2
=—Mx2+—m[（x+Rcosacos00）2+（Rcosasin00）2]+■•-m（2/?
sina）2O2
22212
12
=-+y|.v2+mR:
—cos2a+-sin2aSo1+niRxOcosacosO
V=Mgyo+mgyc=MgR+mgR（\-cosacos系统的拉格朗日函数是：
-cos2a+—sin'a沪+mRxOcosacosO
126丿
一MgR一mgR（l-cosacos&）
由于厶中不显含坐标x,x是循环坐标，存在循环积分:
dL
=35沁2"①
又因厶中不显含时间因子系统所受为怎常约束，系统的机械能守恒,
—cos26Z+—sin2a+mRxOcosacosO
126丿
+Mg/?
+〃zg/?
（l-cosacos&）=E
当/=0时，i=0,0=0.8=0,可以求得
G=0,E=E°=MgR+mgRQ-cosacos0）则由①式解得
x=-3niR0cosacos0/（5M+3m）以次代入能疑守恒式，整理即得
[（5M+3m）（2cos2a+l）-9mcos2acos20]R02
=6g（5M+3〃z）cosa（cos&-cos0）
证毕。
11.4.6-根质量为M.长为2“的均质棒Q4挂在固左点O处的光滑枢轴上，一个质量为山的珠子P用一根自然长度为劲度系数为£的轻弹簧连于O点，并套在棒上,可沿棒做无摩擦滑动。
设&是Q4与铅垂线间的夹角，©是包含OA的铅垂而与固立铅垂
而间的夹角，广为OP间的距禽。
取r.0.0为广义坐标，写出系统的拉格朗日函数，并给出两个运动积分。
解：
如图，取r、8、0为广义坐标，则珠子P的坐标为
x=/sin&cos©,y=厂sinOsin©,z=—rcosO
杆Q4的质心C的坐标为
xc=asin&cos0,yc=asin&sin0,zc=-acos&故有
vc=+yl+Z：
・=/（沪+以o点为重力势能的0点，弹簧自然伸直状态为弹性势能的0点，则系统的动能与势
能分别是:
20（p2）+-Ma2（02+sin20V=-Mgyc—mgy+k（r—a）2/2=—（Ma+mr）gcosO+k（r—a）2/2系统的拉格朗日函数是：
L=T-V
=[mr+（/nr2+/3）（沪+sin2&0’）+2（Ma+mr）gcosO-k（r-a）2]/2
由于厶中不显含坐标0,0是循环坐标，存在循环积分:
——=（mr2+4Ma2/3）sin20（p=Gdip
又因厶中不显含时间因子系统所受为立常约朿，系统的机械能守恒，
[mr2+（mr2+4Ma2/3）（02+sin2011.5.1半径为r的均匀圆球，可在一具有水平轴，半径为R的固立空心圆柱的内表而
滚动，求圆球在平衡位置附近做小振动的周期？
解：
设圆球的质量为加，作剖面图如图。
系统只有一个自由度，以圆柱轴线和球心连线与铅直线之间的夹角&为广义坐标，则球心坐标为：
X=（7?
-r）siii^,y=-（7?
-r）cos^
因为圆球在固左空心圆柱的内表而做纯滚动，由速度合成公式，有
JR—r）<9—r（p=0或a）=（R-r）0/r
这里Q是圆球的自转角速度。
以圆柱轴线为重力势能的0点，则系统的动能与势能分别是:
T=^m（x2+y2）+^I（）co:
=r）20:
=7m（R-r）202/IO
V=mgy=-mg（R_r）cos^
FT7.d£V|
I眇J=w〃?
（R_系统的振幅方程是：
伙m=O系统的特征值方程是：
=0由此解得微振动的圆频率是：
11.5.3两个质量都为加的小球由两根劲度系数均为斤的弹簧串联后悬挂起来，求系统沿铅直方向振动的固有频率和固有振型。
解：
系统有两个自由度，分别取两个质点向下的位移儿与儿为广义坐标，其原点取在系统静平衡位置处，并以各自的原点为其重力势能的0点。
又以弹簧自然伸直状态为弹性势能的0点，则系统的动能和势能分别是：
丁=（舁+分）/2
V=一〃妙一加g）h+
+[k（y{+a）2-ka2+k（y2一）i+b）2-kb21/2
这里〃、〃分别是系统静平衡时两根禅簧的伸长量，从而有
ka=2mg,kb=mg
这样V=^12/2+^（y2-yI）2/2
于是
由此解得:
分别以©2.加代入振幅方程，有
可得
题11.5.4图
11.5.4一质量为M的矩形物块放在光滑的水平桌面上，它的下方悬挂一质量为加的小球，悬线的长度为/,求系统微振动的频率？
解：
系统有两个自由度，分别取物块质心的水平位移X与悬线和铅直线之间的夹角&为广义坐标，则摆球的位垃坐标是
%）=x+lsin0,y}=lcosO
系统的动能为：
当取系统静平衡位置为势能0点时，系统的势能是:
V=mgl（\-cosO）,这样
d2T
a?
d2T
“2=in2\=
dxdO
=ml
丿o
a2va?
=mgl,
=0,
o
系统的振幅方程是:
-（M+m）co2
-mlco1
=（）=g
*12
-mlcomgl-mPco1\u2
相应的特征值方程是:
_（M+m）co-nilco
-mlco1mgl-mW
一（M+m）niglco2+Mml2coA=0
由此解得:
材=0,e；=M+〃,g
MmI
即系统微振动的圆频率是：
心’
11.5.5-个系统运动时，其动能和势能分别为
厂=g&+话+诟），V=2q；+_|诟+2広—加2-曲3如开始时，9]=如0，§2=§3=可1=$2=%=°。
求此系统的运动。
解：
系统的动能和势能可以改写为：
（\
T=空（01，02'03）。
.0
‘4
■1
（P
Z、
%
-1
5
-1
§2
-1
4丿
系统的振幅方程是:
（A*>
-1
0}
o
■1
5--1
*
=
0
0
\
-1
4-6TJ
\lt3）
O
4
0
00丫％）
1
°1人么丿
相应的特征值方程是:
-1
0
■1
5・0
-1
=0
-1
即
或
由此解得：
（4一6?
2）2（5一少2）一2（4一的2）=0
（4_~2）[（4_02）（5_°2）_2]=0
（0^=3,CD-）=4，=6
以此代入振幅方程，可得相应的振型分别是:
"1・10、
o
-12-1
U2
=
0
<0-1b
0
绚⑴=局】＞=梓＞,可得
"0
■1
（T
/X
-1
1
-1
lt2
=
0
3
-1
0丿
O
；2）=一“；役町）=0,可得
w（2>=（L0-l）r
可得“⑶=（l-2j）r
，-2・1
0、
Z、
◎
-1-1
-1
w2
—
0
、0-1
-2；
卫3丿
0
-灣）=2汕>=2才）,
振动微分方程的通解是：
q{=人cos（73/+a{）+A2cos（2r+a2）+Aycos（^"6/+a3）q2=州cosG/^+gJ+O-2A3cos（<6r+（zx）
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