大连理工大学非线性分析作业.docx

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大连理工大学非线性分析作业

非线性分析作业3（Homework3）

1.GiventheODE

（1）1）PlotthebifurcationdiagramandphasediagramsasFvaries,andinvestigatetheroutestochaos.

2）ComputetheLyapunovexponents,andplotthevalueasafunctionofF.

解：

当

=0.2时，外界激励F变化下的分岔图和Lyapunov指数，如下所示。

当

=0.2，

=1.2时，杜芬方程

（1）的相图为：

当

=0.2，

=50时，杜芬方程

（1）的相图为：

当

=0.2，

=150时，杜芬方程

（1）的相图为：

当

=0.2，

=500时，杜芬方程

（1）的相图为：

当

=0.2，

=800时，杜芬方程

（1）的相图为：

2.ForHénonmap

（2）

1）InvestigatethebifurcationdiagramfortheHénonmapbyplottingthe

asafunctionof

as

givetheanalysisoftheroutestochaos.

2）ComputetheLyapunovexponentspectrumoftheHénonmapwhen

and

.

3）UsetheOGYalgorithmtostabilizethepointofperiodoneintheHénonmapwhen

and

.

解：

1）当

时，横坐标为

，纵坐标

的分岔图如下：

由该分岔图可知，系统由单周期运动分岔进入两倍周期运动，再分岔进入四周期运动，由四周期运动进入混沌状态，首次进入混沌状态后可再次进入周期运动，最后又由周期运动进入混沌状态。

2）当

时,系统Lyapunov指数最大值随

变化如下图所示。

这时，

Lyapunov指数最大值Lya_max不存在。

3.FortheRosslerequation

（3）

InvestigatethechaoticbehaviorbyplottingthephasediagramsandthePoincaresectionsas

vary.

解：

（1）a=0.1时相图和y=0庞加莱截面如下：

a=0.2时相图和y=0庞加莱截面如下：

a=0.3时相图和y=0庞加莱截面如下：

a=0.38时相图和y=0庞加莱截面如下：

由以上几图可以看出，当参数b和c固定时，a增大时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。

这就是形成混沌（chaos）的必要条件。

（2）b=0.2时相图和y=0庞加莱截面如下：

b=0.8时相图和y=0庞加莱截面如下：

b=1.2时相图和y=0庞加莱截面如下：

b=1.6时相图和y=0庞加莱截面如下：

由以上几图可以看出，当参数c和a固定时，b减小时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。

这就是形成混沌（chaos）的必要条件。

（3）c=5时相图和y=0庞加莱截面如下：

c=10时相图和y=0庞加莱截面如下：

c=15时相图和y=0庞加莱截面如下：

c=25时相图和y=0庞加莱截面如下：

c=35时相图和y=0庞加莱截面如下：

由由以上几图可以看出，当参数a和b固定时，c增大时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。

这就是形成混沌（chaos）的必要条件。