跟踪训练2 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,3)
C.(1,3]D.[3,+∞)
类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f(x)=ln
的奇偶性.
引申探究
若已知f(x)=ln
为奇函数,则正数a,b应满足什么条件?
反思与感悟
(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数).
(2)含对数式的奇偶性判断,一般用f(x)±f(-x)=0来判断,运算相对简单.
跟踪训练3 判断函数f(x)=lg(
-x)的奇偶性.
类型三 对数不等式
例4 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1).解关于x的不等式:
loga(1-ax)>f
(1).
反思与感悟 对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)>logag(x);
(2)根据a>1或0<a<1去掉对数符号,注意不等号方向;
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0.
跟踪训练4 已知A={x|log2x<2},B={x|
<3x<
},则A∩B等于( )
A.
B.(0,
)
C.
D.(-1,
)
1.如图所示,曲线是对数函数f(x)=logax的图象,已知a取
,
,
,
,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为( )
A.
,
,
,
B.
,
,
,
C.
,
,
,
D.
,
,
,
2.如果log
xy<0,那么( )
A.yC.13.函数f(x)=lg
(x∈R)是( )
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
4.函数f(x)=
的定义域为________.
5.函数f(x)=lnx2的减区间为____________.
1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.
2.在对数函数y=logax(a>0,且a≠1)中,底数a对其图象的影响:
无论a取何值,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象均过点(1,0),且由定义域的限制,函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限,随着a的逐渐增大,y=logax(a>1,且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且当01时函数单调递增.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y=log2f(x)与y=f(x)的单调区间不一定相同,因为y=log2f(x)的定义域与y=f(x)定义域不一定相同.
知识点二
思考 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义,即x>0,
∴log2x<log23⇔0<x<3.
知识点三
思考 可以通过描点定位,也可令y=1,对应x值即底数.
题型探究
例1 解 设t=-x2+2x+1,
则t=-(x-1)2+2.
∵y=log
t为减函数,且0∵y=log
2=-1,即函数的值域为[-1,+∞).
函数log
(-x2+2x+1)的定义域为满足-x2+2x+1>0的x的取值范围,由函数y=-x2+2x+1的图象知,1-
.
∵t=-x2+2x+1在(1-
,1)上递增,而在(1,1+
)上递减,而y=log
t为减函数.
∴函数y=log
(-x2+2x+1)的增区间为(1,1+
),减区间为(1-
,1).
跟踪训练1 解
(1)由题意得-x2+2x>0,∴x2-2x<0,
∴0当0∴log
(-x2+2x)≥log
1=0.
∴函数y=log
(-x2+2x)的值域为[0,+∞).
(2)设u=-x2+2x(0u,
∵函数u=-x2+2x在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,v=log
u是减函数,
∴由复合函数的单调性得到函数f(x)=log
(-x2+2x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.
例2 解 令g(x)=x2-ax+a,g(x)在
上是减函数,∵0<
<1,∴y=log
g(x)是减函数,而已知复合函数y=log
(x2-ax+a)在区间(-∞,
)上是增函数,
∴只要g(x)在(-∞,
)上单调递减,且g(x)>0,x∈(-∞,
)恒成立,
即
∴2
≤a≤2(
+1),
故所求a的取值范围是[2
,2(
+1)].
跟踪训练2 B
例3 解 由
>0可得-2所以函数的定义域为(-2,2),关于原点对称.
f(-x)=ln
=ln(
)-1
=-ln
=-f(x),
即f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)=ln
是奇函数.
引申探究 解 由
>0得-b∵f(x)为奇函数,∴-(-b)=a,即a=b.
当a=b时,f(x)=ln
.
f(-x)+f(x)=ln
+ln
=ln
=ln1=0,
∴有f(-x)=-f(x),
∴此时f(x)为奇函数.
故f(x)为奇函数时,a=b.
跟踪训练3 解 由
-x>0可得x∈R,
f(x)+f(-x)=lg(
-x)+lg(
+x)
=lg[(
-x)(
+x)]
=lg(1+x2-x2)=0.
所以f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)=lg(
-x)是奇函数.
例4 解 ∵f(x)=loga(1-ax),
∴f
(1)=loga(1-a).
∴1-a>0.∴0<a<1.
∴不等式可化为loga(1-ax)>loga(1-a).
∴
即
∴0<x<1.
∴不等式的解集为(0,1).
跟踪训练4 A
当堂训练
1.A 2.D 3.A 4.(0,
] 5.(-∞,0)