标准抽样检验简单随机抽样与抽样分配.docx
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标准抽样检验简单随机抽样与抽样分配
(标准抽样检验)简单随机抽样与抽样分配
第9章簡單隨機抽樣與抽樣分配
A.一般練習題
9.1一個抽樣調查以電話簿中的電話號碼來隨機抽樣,並從事電話訪問,這種抽樣方法會漏掉所有沒裝電話的人。
這是非抽樣誤差還是抽樣誤差的來源。
非抽樣誤差。
9.2某大學學務處從大學部學生名單當中,隨機抽取了100個學生來訪問,聽取他們對大學生活的意見。
若他們同時隨機抽取了兩組100人的簡單隨機樣本,從這兩個樣本得出的結果,恐怕會有些不一樣。
這種變異是抽樣誤差或是非抽樣誤差的來源?
抽樣誤差。
9.3.一個生日宴會中有30個滿20歲的學生以及20個未滿20歲的學生。
你從滿20歲的當中隨機抽出3個,另外從未滿20歲的當中隨機抽出2個,然後問他們對喝酒的看法,請問此時每位學生被抽中的機率為何?
此種抽樣方法是簡單隨機抽樣嗎?
為什麼?
這種是何種抽樣方法?
均為,不是簡單隨機抽樣,而是分層抽樣,因為此時的抽樣方法是將母體分為二層,再自各層中按比例抽取,此時的抽樣方法未能使所有可能抽出的樣本抽出的機率均相等,例如此時5個滿20歲的學生的樣本不可能被抽出。
9.4.何謂抽樣誤差與非抽樣誤差?
試舉例說明之。
請參閱課本第271~272頁。
9.5試分別說明簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣、部落抽樣及系統抽樣四種抽樣方法適用的情形,並說明這些抽樣方法的優缺點。
請參閱課本第275~278頁及第305~310頁。
9.6設有一母體之機率分配如下:
2
6
9
0.3
0.2
0.5
若自該母體以抽出放回之方式隨機抽二個樣本,表為():
求之抽樣分配。
求之期望值及變異數,其與母體之均數及變異數間有何關係?
X的機率分配表為:
X
2
6
9
f(X)
0.3
0.2
0.5
的聯合機率分配表為:
\
2
6
9
2
0.09
0.06
0.15
6
0.06
0.04
0.1
9
0.15
0.1
0.25
的機率分配為:
2
0.09
4
0.12
5.5
0.3
6
0.04
7.5
0.2
9
0.25
母體X之平均數與變異數為:
與母體X之平均數及變異數之關係為:
,其中n為樣本數。
9.7謂「中央極限定理」?
說明中央極限定理的重要性。
請參閱課本第289頁。
9.8盒中放有4球,其編號分別是1、2、3、4,今自此盒中隨機抽出2球(採抽出不放回法),令、為其編號數,且:
求之抽樣分配。
求與。
組合
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(2,3)
(2,4)
(3,4)
1.5
2
2.5
2.5
3
3.5
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
9.9武陵某農場生產水梨,其重量為一常態分配,平均數為560公克,標準差為20公克,試求下列各小題:
水梨重量大於580公克的機率。
抽取16個水梨,16個水梨平均重量大於580公克的機率。
若10個水梨裝成一盒,問一盒水梨重量的平均數與變異數為何?
若要求一盒的水梨重量要在5500~5700之間時,則有多少箱的水梨不符合規定?
9.10某蛋行所用的塑膠袋,一個最多只能裝1,250公克的東西。
設該蛋行所賣的雞蛋的重量為一平均數60公克,標準差4公克的常態分配。
某人買了20個雞蛋,請問塑膠袋會破掉的機率為多少?
續上題,設又知該蛋行所賣的鴨蛋的重量為一平均數為70公克,標準差為6公克的常態分配。
某人買了12個雞蛋與6個鴨蛋,請問塑膠袋會破掉的機率為何?
令X表20個雞蛋的重量,,,塑膠袋會破掉的機率為0.0026。
令Y表12個雞蛋和6個鴨蛋的重量,,,塑膠袋會破掉的機率很小,幾乎為0。
9.11已知某紡織公司員工為200人,其平均年資為10年,標準差為6年。
若以抽出放回的方式隨機抽取49人,求這49人的平均年資介於9與11年之間的機率。
若以抽出不放回的方式隨機抽取49人,求這49人的平均年資介於9與11年之間的機率。
母體的分配未知,但為大樣本,故可用中央極限定理求解。
此49人平均年資X的分配趨近於,
此49人平均年資X的分配趨近於,。
9.12設某一國的國民中,習慣用左手的人佔總人數的30%。
若隨機抽選25名該國人民,試問其中習慣用左手的人的比例的分配為何?
若隨機抽選225名該國人民,試問其中習慣用左手的人的比例的分配趨近何種分配?
其平均值、變異數、偏態係數、峰態係數各為何?
續題2,試問其比例落在母體比例0.08之間的機率為何?
為二項分配
趨近常態分配,平均數,變異數。
偏態係數,峰態係數
9.13A牌手錶的平均使用年限為8年,標準差為1.4年,B牌手錶的平均使用年限為9年,標準差為1.9年。
若將A、B兩種牌子的手錶各選出64個樣本,求B牌手錶平均使用年限比A牌手錶長1.5年的機率。
令與分別表示A牌與B牌手錶的樣本平均使用年限。
雖然母體分配未知,但樣本數夠大,故由中央極限定理可知:
,
9.14大熹食品公司在其出品的豆乾上標示平均重量為250公克,標準差為5公克。
為驗證該公司之標示是否屬實,消基會前往抽查100包豆乾,試問:
以標示重量為中心試求100包豆乾的平均重量涵蓋90%的範圍。
這100包豆乾的平均重量為小於248公克的機率為何?
令表這100包豆乾的平均重量。
雖然不知母體的分配為何,但樣本數夠大,故由中央極限定理可得
,90%的範圍是249.1775公克~250.8225公克。
9.15某農場出產的蜂蜜,每瓶重量呈常態分配,平均重量為500公克,標準差為24公克。
一食品檢驗單位抽檢16瓶該農場的蜂蜜,試問:
該16瓶蜂蜜的平均重量在490至510公克之間的機率為多少?
該16瓶蜂蜜的平均重量在多少公克以上的機率為0.1?
令表16瓶蜂蜜的平均重量,。
9.16假設一公司的生產線上每天約產生0.05的瑕疵品,該公司的品管部門每天都要抽驗100個成品,若抽驗的成品中有超過8%為瑕疵品,則當天所有的成品均作廢。
試問:
每天抽驗成品中瑕疵品比例的分配為何?
每天抽驗成品中瑕疵品的比例超過0.06的機率為何?
300工作天中約有幾天的成品須作廢?
令表抽驗的成品中瑕疵品所佔的比例,為二項分配因抽驗成品數夠大,由中央極限定理知趨近常態分配:
,約有38天的成品須作廢。
9.17假設若有一母體包含6個值:
123456。
將此6值視為一組樣本,求其標準差。
若自此母體中抽出之隨機樣本,並假設抽出放回,求樣本平均數的平均數及變異數。
若抽出不放回,則其樣本平均數的平均數及變異數又為何?
。
,
。
B.應用題
9.18臺北市”110”報案電話受理刑事案件,民國89年1至12月每月受理件數如下表:
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
件數
692
612
691
644
679
636
661
807
791
846
846
958
資料來源:
《臺北市警務統計年報》,臺北市政府警察局,2001年7月。
該年平均每月受理多少刑事案件?
若隨機選取2、3、5、7、8、9月的資料為一組樣本,則由此組樣本所得的每月受理案件數為多少?
抽樣誤差為多少?
若隨機選取3、4、5、11月的資料為另一組樣本,則由此組樣本所得的每月受理案件數為多少?
抽樣誤差又為多少?
臺北市”110”報案電話受理刑事案件,民國89年1至12月每月受理件數如下表:
月份
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
件數
692
612
691
644
679
636
661
807
791
846
846
958
(資料來源:
《臺北市警務統計年報》,臺北市政府警察局,2001年7月)
該年平均每月受理739件刑事案件。
第一組樣本所得的每月受理案件數為709件
抽樣誤差(件)
第二組樣本所得的每月受理案件數為715件
抽樣誤差(件)
9.19臺閩地區領有身心障礙者手冊之身心障礙者的平均月薪為25,881,標準差為19,150元。
(資料來源:
《身心障礙者生活需求調查報告(就業服務與職業訓練篇)》,內政部統計處、行政院衛生署、行政院勞工委員會,2001年1月,標準差為分組資料估算值,。
)
現隨機選取144位領有身心障礙者手冊之人為樣本,請問:
平均月薪的分配為何?
平均月薪超過30,000元的機率為何?
平均月薪不到25,000元的機率為何?
母體分配未知,但樣本數夠大(),所以根據中央極限定理,平均月薪的分配為常態分配,其平均數與標準差為:
平均月薪超過30,000元的機率僅0.0049。
平均月薪不到25,000元的機率為0.2912。
9.20受桃芝颱風影響,90年8月份菜價飆漲,臺北市第一、第二果菜批發市場90年8月份青蔥的平均批發價為每公斤59.4元,標準差為9元。
(資料來源:
標準差為估算值,《果菜運銷統計月報》,臺北農產運銷股份有限公司,2001年8月。
)為監督菜價,一民間消費者團體於8月份派員赴臺北市第一、第二果菜批發市場抽查菜價,其中青蔥部份共取樣16件。
假設青蔥每公斤的批發價為常態分配,問:
樣本青蔥每公斤平均批發價的分配為何?
樣本青蔥每公斤的平均批發價超過65元的機率為何?
樣本青蔥每公斤的平均批發價介於55元和58元之間的機率為何?
令表示樣本青蔥每公斤的平均批發價,因母體為常態分配,故樣本青蔥每公斤平均批發價的分配亦為常態,其平均數與標準差為:
樣本青蔥每公斤的平均批發價超過65元的機率為0.0064。
樣本青蔥每公斤的平均批發價介於55元和58元之間的機率為0.2426。
9.2189學年度臺北市國中老師的年資為一右偏分配,平均年資約14.5年,標準差約9年。
(資料來源:
平均數和標準差為分組資料估算值,《臺北市教育統計》,臺北市政府教育局,2001年6月。
)
隨機抽選40位國中老師為第一組樣本,其平均年資的分配為何?
續題,平均年資超過16年的機率為何?
再隨機抽選40位國中老師為第二組樣本,兩組樣本互為獨立,則兩組樣本的平均年資皆超過16年的機率為何?
令表示第一組樣本的平均年資,因樣本數夠大(),所以根據中央極限定理,平均年資的分配為常態分配,其平均數與標準差為:
即平均年資的分配為,。
平均年資超過16年的機率為0.1423。
因兩組樣本互為獨立,所以兩組樣本的平均年資皆超過16年的機率為:
。
9.22內政部統計,民國88年底台灣地區共有志願工作者45,029人,其中女性占絕大多數,有31,517人。
(資料來源:
《內政統計分析專輯》,內政部統計處,2001年1月。
)現隨機抽選60位志工,發現其中有40位是女性。
問全體志工中女性所占比例為何?
樣本比例又是多少?
抽樣誤差有多大?
全體志工中女性所占比例為
樣本比例為
抽樣誤差
9.23依據健保局統計,民國89年全年,未依規定期限繳交健保費的案件計995,107筆,其中42.56%有補繳。
(資料來源:
《全民健康保險統計》,中央健康保險局,2001年6月。
)
隨機抽選160件案例,試問其中會補繳的比例的分配為何?
續題,其比例超過50%的機率為何?
續題,其比例介於40%~45%的機率為何?
樣本比例的抽樣分配因母體相對於樣本很大,根據中央極限定理知其趨近於常態分配:
的標準差計算可得:
即其中會補繳的比例的分配為
比例超過50%的機率為0.0281。
其比例介於40%~45%的機率為0.4811。
9.24中華血液基金會資料顯示,民國89年全國捐血人口中,血液為O型者約占44%。
(資料來源:
中華血液基金會網站。
)
一捐血站每天約有250位捐血者來捐血,問
其中O型血所占比例的分配為何?
O型血所占比例小於35%的機率為多少?
若一日內捐O型血的比例少於35%就可能發生缺O型血的危機,問一年365天中會發生缺O型血危機的日子預期有幾天?
樣本比例的抽樣分配因母體相對於樣本很大,根據中央極限定理
知其趨近於常態分配:
的標準差計算可得:
捐血人中血液為O型者所占比例的分配為
要求O型血所占比例小於35%的機率,須先求Z值再求標準常態分配機率值:
捐血人中血液為O型者所占比例小於35%的機率為0.0013
一年365天中會發生缺O型血危機的日子預期有天,不滿一天,故不必太擔心缺O型血的問題。
9.25搭乘台鐵的乘客數逐年增加,但每人平均乘車公里數卻逐年下降。
89年每人平均乘車公里數為55.2公里,較72年最高峰時的65.5公里減少10.3公里。
(資料來源:
《台灣鐵路統計年報》,台灣鐵路管理局,2000年。
)若每人平均乘車公里數的標準差為20公里,問:
隨機抽選300位乘客為一組樣本,其平均乘車公里數介於52及55公里間的機率為何?
續題,平均乘車公里數超過60公里的機率為何?
令表示樣本平均乘車公里數,因樣本數夠大(),所以根據中央
極限定理,平均年資的分配為常態分配,其平均數與標準差為:
平均乘車公里數介於52及55公里間的機率為0.4298。
平均乘車公里數超過60公里的機率趨近於0。
9.26在學校實習儲金郵局開戶的戶數89年有694,977戶,平均每個帳戶的儲金餘額有2,422元,標準差為1,100元。
(資料來源:
標準差為虛擬,《郵政統計要覽》,交通部郵政總局,2001年6月。
)
現隨機選取35位有在實習郵局開戶的學生為一組樣本,問:
樣本儲金餘額總和的分配為何?
樣本儲金餘額總和超過十萬元的機率為何?
樣本儲金平均餘額的分配為何?
樣本儲金平均餘額介於2,000元和2,500元之間的機率為何?
令表示每一個學生的儲金餘額
則表35位學生的儲金餘額總和
因樣本數夠大(),根據中央極限定理,儲金餘額總和的分配為常態分配,其平均數與標準差為:
即,
儲金餘額總和超過100,000元的機率為0.0096。
令表示樣本儲金平均餘額,因樣本數夠大(),所以根據中央極限定理,樣本儲金平均餘額的分配為常態分配,其平均數與標準差為:
即樣本儲金平均餘額的分配為,。
樣本儲金平均餘額介於2,000元和2,500元之間的機率為0.6512。
9.27比較臺北市和高雄市的消防人員,會發現高雄市的消防人員較臺北市的消防人員年紀大一些。
根據內政部89年底的資料,北、高兩市消防人員的平均年齡分別為30.4歲及35.5歲,標準差分別為9.3歲及7.9歲。
(資料來源:
平均年齡及標準差皆為分組資料估算值,《內政統計年報》,內政部統計處,2001年9月。
)
已知臺北市消防人員的年齡分配為右偏分配,高雄市消防人員的年齡分配為常態分配,問:
隨機選取36位臺北市消防人員,其平均年齡超過35.5歲的機率為何?
隨機選取25位高雄市消防人員,其平均年齡不到30.4歲的機率為何?
令表示36位臺北市消防人員的平均年齡;母體分配未知,但樣本數夠大(),所以根據中央極限定理,平均年齡的分配為常態分配,其平均數與標準差為:
36位臺北市消防人員平均年齡超過35.5歲的機率幾乎為0。
令表示25位高雄市消防人員的平均年齡;母體分配為常態,所以平均年齡的分配亦為常態分配,其平均數與標準差為:
25位高雄市消防人員平均年齡不到30.4歲的機率幾乎為0。