完整word版随机过程复习题含答案.docx

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完整word版随机过程复习题含答案

随机过程复习题

一、填空题：

1．对于随机变量序列

和常数

，若对于任意

，有

，则称

依概率收敛于

。

2．设

是泊松过程，且对于任意

，，则

3．已知马尔可夫链的状态空间为

，初始分布为

，

，则

，

4．强度

的泊松过程的协方差函数

5．已知平稳过程

的自相关函数为

，

6.对于平稳过程

，若

，以概率1成立，则称

的自相关函数具有各态历经性。

7.已知平稳过程

的谱密度为

，则

的均方值=

的均方值

8.随机相位过程

其中

为常数，

为

上服从均匀分布的随机变量，则

，

9．设马尔可夫链

的状态空间

，则一步转移概率矩阵为

，初始分布为

，则

的分布律为

，

10.设

是只有两个状态的齐次马氏链，其

步转移概率矩阵为

，则

13．设

，

，则由切比雪夫不等式

；

14．随机变量序列

独立同分布,且

>0

则对任意实数

二、计算与证明：

1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为

，晴天转雨天的概率为

，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，

表示第

天的状态（0或1）。

（1）写出马氏链

的一步转移概率矩阵；

（2）在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨天的概率各是多少？

；

解：

，

（1）

（2）

2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为

，证明此链具有遍历性，并求其平稳分布。

解：

由于

中不含有零元，故此链具有遍历性。

解方程组

和

，即

解得

，故平稳分布为

。

3．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以

表示经过

次交换后甲盒子中的红球数，则

是一齐次马尔可夫链，试求：

（1）求初始分布；

（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明

是遍历链。

解：

（1）

故初始分布

。

（2）

（3）

由于

中不含有零元，故此链具有遍历性。

4．设

，

是常数，

与

为相互独立的随机变量，且

，

（1）证明

是平稳过程；

（2）证明

均值具有各态历经性；

（3）求

的平均功率。

解：

（1）

与

相互独立，

故

是平稳过程

（2）

故

均值具有各态历经性

（3）

5.随机过程

，其中

为独立同分布的随机变量，

它们的分布律为：

X

-1

2

Y

-1

2

P

2/3

1/3

P

2/3

1/3

（1）证明

为平稳过程；

（2）证明

的均值具有各态历经性.

解：

（1）

与

相互独立，

故

是平稳过程

（2）

故

均值具有各态历经性

6．设有随机过程

，其中

与

独立且都是均值为零，方差为

的正态随机变量，求

（1）

和

的概率密度；

（2）问

是否是平稳过程？

解：

（1）

（2）

故

是平稳过程

7．设

，

为随机变量，具有瑞利分布，其密度函数为

，

是

上服从均匀分布与

相互独立的随机变量，问

是否是平稳过程？

解：

其密度函数为

8．设

是平稳过程，令

，

为常数，试证：

（1）

；

（2）

。

解：