最新整理历届高考数学真题汇编专题14复数理.docx

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最新整理历届高考数学真题汇编专题14复数理

【高考真题与模拟题汇编】

一、选择题（共11题）

2*（北京卷）在复平面内，复数

对应的点位于

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

解：

故选D

3*（福建卷）设a、b、c、d∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是

A*ad－bc=0B*ac－bd=0C?

ac+bd=0D*ad+bc=0

4*（广东卷）若复数

满足方程

，则

A*

B?

C?

D?

解析：

由

，故选D*

5*（江西卷）已知复数z满足（

＋3i）z＝3i，则z＝（）

A*

B?

C?

D*

解：

故选D。

6*（全国卷I）如果复数

是实数，则实数

A*

B*

C*

D*

解析：

复数

=（m2－m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=－1，选B*

8*（陕西卷）复数

等于（）

A*1－iB*1+iC*－1+iD*－1－i

解析:

复数

=

，选C*

11*（浙江卷）已知

（A）1+2i（B）1-2i（C）2+i（D）2-i

【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。

解析：

，由

、

是实数，得

∴

，故选择C。

二、填空题（共4题）

12*（湖北卷）设

为实数，且

，则

。

解：

，

而

所以

，解得x＝－1，y＝5，

所以x＋y＝4。

13*（上海卷）若复数

同时满足

－

＝2

，

＝

（

为虚数单位），则

＝*

解：

已知

；

14*（上海卷）若复数

满足

（

为虚数单位），其中

则

。

【2005高考试题】

1（广东卷）若

，其中

、

，

使虚数单位，则

（D）

（Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）

（Ｄ）５

2*（北京卷）若

，且

为纯虚数，则实数a的值为

*

3?

（福建卷）复数

的共轭复数是（B）

A*

B*

C*

D*

4?

（湖北卷）

（C）

A*

B*

C*

D*

5?

（湖南卷）复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是　（B）

　A*－1　　B*0　　C*1　　D*i

6?

（辽宁卷）复数

在复平面内，z所对应的点在（B）

A*第一象限B*第二象限C*第三象限D*第四象限

7?

（全国卷II）设

、

、

、

，若

为实数，则（A）

（A）

（B）

（C）

（D）

8?

（全国卷III）已知复数

*

9?

（山东卷）

（1）

（D）

（A）

（B）

（C）1（D）

10?

（天津卷）2*若复数

（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（C）

A*－2B*4C*－6D*6

11?

（浙江卷）在复平面内，复数

＋（1＋

i）2对应的点位于（B）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

12?

（重庆卷）

（A）

A*

B*－

C*

D*－

13?

（江西卷）设复数：

为实数，则x=（A）

A*－2B*－1C*1D*2

14*（上海）在复数范围内解方程

（i为虚数单位）

【2004高考试题】

1*（北京）当

时，复数

在复平面上对应的点位于（D）

A?

第一象限B?

第二象限C?

第三象限D?

第四象限

2*（上海）若复数

满足

，则

的实部是1。

3*（湖北）复数

的值是（A）

A*－16B*16C*

D*

4*（湖南）复数

的值是（D）

A*

B*－

C*4D*－4

【2003高考试题】

※3*（2002京皖春，4）如果θ∈（

，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角的主值是（）

A*θ＋

B*θ＋

C*θ

D*θ＋

4*（2002全国，2）复数（

i）3的值是（）

A?

－iB*iC*－1D*1

5*（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（）

※6*（2001全国文，5）已知复数ｚ＝

，则arg

是（）

A*

B*

C*

D*

※9*（2000上海理，13）复数z＝

（i是虚数单位）的三角形式是（）

A*3［cos（

）＋isin（

）］B*3（cos

＋isin

）

C*3（cos

＋isin

）D*3（cos

＋isin

）

10*（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（）

A*第一象限B*第二象限

C*第三象限D*第四象限

※12*（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）

A*

B*

C*±

D*±

13*（1996全国，4）复数

等于（）

A*1+

iB*－1+

i

C*1－

iD*－1－

i

14*（1994上海，16）设复数z=－

i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（）

A*3B*4C*6D*7

15*（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（）

A*1B*

C*2D*

二、填空题

16*（2003上海春，6）已知z为复数，则z+

＞2的一个充要条件是z满足*

17*（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：

z1⊙z2＝x1x2＋y1y2*设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点*如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为*

18*（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝*

19*（2001上海春，2）若复数z满足方程

i=i－1（i是虚数单位），则z=_____*

20*（1997上海理，9）已知a=

（i是虚数单位），那么a4=_____*

21*（1995上海，20）复数z满足（1+2i）

=4+3i，那么z=_____*

三、解答题

26*（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝*

（Ⅰ）设α是方程x＋

的一个根，试用列举法表示集合Mα；

（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：

Mω

Mz*

27*（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝zn，n∈N｝*

（Ⅰ）设z是方程x+

=0的一个根，试用列举法表示集合Mz*若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；

（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由*

28*（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|

z－m|＝5

（m∈R），求z和m的值*

※30*（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ*求函数y＝θ－argz（0＜θ＜

）的最大值以及对应的θ值*

※31*（1999上海理，19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且z=a+bi，求复数

（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围*

※32*（1999上海文，19）设复数z满足4z+2

=3

+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）*求z的值和|z－ω|的取值范围*

※33*（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模*

※34*（1998上海理，18）已知向量

所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，将

绕原点O按顺时针方向旋转

得

，设

所表示的复数为z′，求复数z′+

i的辐角主值*

※35*（1997全国文，20）已知复数z=

i，w=

i，求复数zw+zw3的模及辐角主值*

38*（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+

是实数，且－1＜ω＜2*

（Ⅰ）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（Ⅱ）设u=

，求证：

u为纯虚数；

（Ⅲ）求w－u2的最小值*

39*（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|＝1，且z1+z2=

i*求z1、z2的值*

※40*（1995全国文，22）设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）*求复数z2+z的模和辐角*

※41*（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+

i，求Z1和Z3对应的复数*

※42*（1994全国理，21）已知z=1+i，

（Ⅰ）设w=z2+3

－4，求w的三角形式*

（Ⅱ）如果

=1－i，求实数a，b的值*

43*（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为

π，且

为实数，求复数w*

●答案解析

2*答案：

A

解析：

由已知z=

［（m－4）－2（m+1）i］在复平面对应点如果在第一象限，则

而此不等式组无解*即在复平面上对应的点不可能位于第一象限*

3*答案：

B

解析：

（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝

（cos

＋isin

）（cosθ＋isinθ）

＝

［cos（θ＋

）＋isin（θ＋

）］

∵θ∈（

，π）∴θ＋

∈（

，

）

∴该复数的辐角主值是θ＋

*

6*答案：

D

解法一：

解法二：

∴

∴

应在第四象限，tanθ＝

，θ＝arg

*

∴arg

是

π*

8*答案：

B

解析：

根据复数乘法的几何意义，所求复数是

*

9*答案：

C

解法一：

采用观察排除法*复数

对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除*而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C*

解法二：

把复数

直接化为复数的三角形式，即

12*答案：

D

解法一：

∵－i=cos

+isin

∴－i的三个立方根是cos

（k=0，1，2）

当k=0时，

；

当k=1时，

；

当k=2时，

*

13*答案：

B

解法一：

，

故（2+2i）4=26（cosπ+isinπ）=－26，1－

，

故

*

于是

所以选B*

解法二：

原式=

∴应选B

14*答案：

B

解析：

z=－

i是z3=1的一个根，记z=ω，ω4=ω，故选B*

17*答案：

解析：

设

∵w1⊙w2＝0∴由定义x1x2＋y1y2＝0

∴OP1⊥OP2∴∠P1OP2＝

*

21*答案：

2+i

解析：

由已知

，

故z=2+i*

22*