五年级数学培优平面图形问题一.docx
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五年级数学培优平面图形问题一
五年级数学培优：
平面图形问题
（一）
怎样验证三角形的高
小明是个爱动脑筋的孩子。
一天，老师让大家画出三角形的高，小明认真地画出了每个三角形的高。
他发现这两个锐角三角形的三条高相交于三角形内一点，为了验证这个发现对其他的三角形是否合适，小明在草稿纸上又画了直角三角形和钝角三角形以及它们的高。
这次小明发现，直角三角形三条高的交点其实就是直角顶点，因为两条直角边分别就是两条高，它们相交于直角顶点，而斜边上的高是必须经过这个顶点的。
因此，小明得出了结论：
锐角三角形和直角三角形的三条高都相交于一点，而钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以三条高不相交。
回到家后，小明把他的发现告诉了爸爸，爸爸高兴地表扬了小明，但同时也向小明指出他的发现不完全正确。
爸爸告诉小明：
“其实钝角三角形的高所在的直线也相交于一点。
”这可奇怪了，小明怎么没有看出来呢？
爸爸鼓励小明动动脑筋，把三条高延长试试看。
于是小明在原来图形的基础上画了三条高的延长线，成为下面的图形。
画完以后，小明高兴地跳了起来，说：
“高被延长以后真的相交了！
”看到小明高兴的样子，爸爸笑着说：
“钝角三角形的三条高看上去不相交，但延长以后一定相交。
所以呀，只要肯动脑动手，就能发现规律。
”
现在小明把他的结论修改完整了：
不论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，它们的三条高或延长线总相交于一点。
爸爸在一旁告诉小明，这一点叫做三角形的垂心。
不同的是，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心就是直角顶点，而钝角三角形的垂心在三角形外。
用这个结论可以验证三角形的三条高画得是否正确。
１、计算下列图形各部分的面积。
（单位：
厘米）
①82①5
②
②4
10②③①③
3465
２、利用一面墙，用篱笆围一块养鸡场（如下图）。
篱笆的全长是41米，这块养鸡场的面积有多少平方米？
15米
３、比较下列各图形的面积大小。
⑴2厘米3厘米
4③④
厘①②
米2厘米2厘米
面积相等的图形有：
，它们有什么共同点？
⑵2厘米2厘米3厘米1厘米
4
厘①②③④
3厘米3厘米2厘米3厘米
面积相等的图形有：
，它们有什么共同点？
第一部分必做题
１、（☆）红领巾的面积大约有多大？
２、（☆）已知一块三角形地的面积和一块平行四边形地的面积相等，已知三角形的面积为2280平方厘米，平行四边形的一条边为40厘米，求平行四边形这条边上的高是多少厘米？
３、（☆☆）如图，三角形的底长4厘米，面积是8平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？
8平方厘米
4厘米
４、（☆☆）A、B是长方形宽边上的中点（如图），不计算，你能找出哪些三角形面积相等吗？
①②③
A⑤B
④
５、（☆☆）一个三角形的面积是8平方厘米，与之相等面积的梯形的上下底分别为2厘米和6厘米，则这个梯形高是多少厘米？
６、（☆☆）已知梯形的高是10厘米，∠1=∠2=45°，求梯形的面积。
1
2
10
７、（☆☆☆）你能在方格纸上分别画出面积都是10平方厘米的三角形、平行四边形、梯形吗？
（每个小方格表示1平方厘米）
８、（☆☆）如图，平行四边形相邻两条边的长度分别为10厘米、5厘米，其中一条底边上的高是8厘米，求这个平行四边形的面积。
5
９、（☆☆）画出与左图面积相等的两个三角形。
10、（☆☆☆）有一个长方形，如果它的宽减少2米，或它的长减少3米，那么它的面积都减少24平方米，求原来这个长方形的面积？
11、（☆☆☆）下图中，延长平行四边形ABCD的一边BC至E，使BC=CE，已知三角形DCE的面积是15平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
AD
BCE
12、（☆☆☆）在直角梯形ABCD中，上底AD为20厘米，下底BC为60厘米，已知三角形ABD的面积是300平方厘米，梯形面积是多少？
（你能用多种方法解答吗？
）
AD
BC
废物利用
如下图，有一块中间有洞的废木板，一个聪明的木匠一计算，算出它的面积是6400平方厘米。
他突然想到，能不能把这块木板锯开，拼成一个边长是80厘米的正方形呢？
经过认真思考，他终于找到了一种最简单的方法——只要锯成两块，就可以拼成一个正方形。
你知道这个木匠是怎么锯的吗？
平面图形问题
（二）
大洋相
“三角形的面积等于底乘以高除以2”这句话，却让小花猫出了个“大洋相”。
原来，小花猫最近在动物动物里学习了三角形的面积计算后，非常高兴，十分得意美观处夸耀自己在计算三角形的面积时计算得如何正确、迅速，似乎是一位计算三角形面积的专家。
一天，消息传到了老槐树爷爷那里去了。
老槐树爷爷请来了小花猫、山羊妹妹、小兔兄弟等伙伴们到家里玩。
休息的时候，老爷爷用树枝条摆了一个大三角形，还标上了三角形的底和高，说是要请聪明的小伙伴们来计算一下这个三角形的面积（如图）。
小花猫一看是计算三角形的面积，高兴极了，巴不得乘机表现一番。
只见它眼睛一眨，算式和得数脱口而出：
“8×6÷2=24（平方米）。
”
“再仔细地看一看题目。
”老爷爷在一旁提醒说。
“错不了。
”小花猫信心十足地说，“还可以这样算：
8×7÷2=28（平方米）。
”话一出口，立刻引来了哄堂大笑。
小花猫自己也感到不对头，怎么同一个三角形，用两种方法来计算面积，结果不相同呢？
“底×高÷2”有错吗？
老爷爷真有耐心，他先请小伙伴们观察一下这个三角形的底和高，再请大伙儿帮助小花猫建筑计算错误的原因。
还是山羊妹妹说得好：
“三角形的面积，‘底×高÷2’没有错，但选取的底和高是相对应的，高要是底边上的高，不能任意选取不相关的底和高来计算三角形的面积。
”
小花猫再一细看，大吃一惊。
原来，这个三角形的面积计算还缺少条件。
你看它有的有底但无相对应的高，有的有高但无相对应的底。
出了这个“大洋相”之后，小花猫才懂得了“认真、谦虚”这四个字的含义。
１、下图是由若干个边长为1厘米的小正方形拼成的，你能求出这个图形的面积是多少平方厘米吗？
1厘米
2厘米2厘米
2厘米2厘米
２、下图是一个机器零件的横截面图，求出阴影部分的面积。
4厘米5厘米
10厘米
7厘米
16厘米
３、如右图。
一个正方形中套着一个长方形。
已知正方形边长是24厘米，AB＝3BC。
求长方形面积是多少？
４、街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路。
如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？
第一部分 必做题
１、（☆）计算下面各图形的面积。
（单位：
厘米）
30
10
16
2016
2020
188
6
10
121610
28
２、（☆）下图是由若干个边长为1厘米的小正方形组合而成的，你能求出它的面积是多少平方厘米吗？
1厘米
2厘米2厘米
2厘米2厘米
３、（☆）如下图所示，正方形边长为36厘米。
图中长方形的顶点正好是正方形边长的三等分点，求图中长方形的面积。
水池
４、（☆☆）有一个正方形水池，如图中的阴影部分，在它的周围修一个宽8米的花池，花池的面积为480平方米。
求水池的边长。
５、（☆☆）一个正方形，如果将它的两条边分别延长4分米，变成一个大正方形，它的面积将会增加96平方分米（如图），原来正方形的面积是多少平方分米？
第二部分 选做题
６、（☆☆）两个长方形重叠一角如下图,求阴影部分面积。
（单位：
厘米）
3
4剪去
12
34
７、（☆☆）将一张正方形的纸沿两条边的中点剪去一个角后，剩下的面积是560平方厘米，求剪去部分的面积是多少平方厘米？
（☆☆）已知下图中每个三角形都是正三角形，阴影部分小三角形的面积是10平方厘米，求大三角形的面积是多少？
（☆☆☆）四个一样的长方形和一个小的正方形（如图）拼成了一个大正方形，大正方形的面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米。
问长方形的长是多少米？
使积逐步减少
如图1所示，用十二根火柴棒摆成一个面积是9的正方形。
第一次移动两根变成图2，面积就由9减少到8；第二次移动两根，变成图3，面积就由8减少到7。
依次移动两根，你能使面积分别变成6、5、4、3吗？
图1图2图3
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